Signals and Systems & Digital Signal Processing

2026-09-07 17 minute read

신호와 시스템 · 디지털 신호처리

공업수학에서 미분방정식, 선형대수, 복소수, 푸리에 급수, 푸리에 변환, 라플라스 변환을 배웠다면 이제 질문이 바뀐다.

그 수학을 실제 전자공학 신호에 어떻게 쓰는가?

마이크가 만든 전압은 시간에 따라 변하는 함수다. 센서의 출력도 함수이고, 통신 안테나가 받는 전압도 함수다. ADC를 지나면 이 함수는 숫자의 열이 된다. 필터는 이 신호를 바꾸고, 통신기는 신호에 정보를 싣고, DSP는 원하는 성분을 남기고 나머지를 줄인다.

이 과목의 전체 흐름은 다음과 같다.

\[\boxed{ \text{물리량} \longrightarrow \text{신호} \longrightarrow \text{시스템} \longrightarrow \text{LTI} \longrightarrow \text{주파수 해석} \longrightarrow \text{샘플링} \longrightarrow \text{DSP} }\]

앞에서 배운 공업수학은 여기서 다음처럼 다시 등장한다.

공업수학	신호와 시스템에서의 역할
미분방정식	회로와 시스템의 시간응답 모델
선형대수	상태공간, DFT, 직교기저
복소수	진폭과 위상, 복소지수
푸리에 급수	주기신호의 주파수 성분
푸리에 변환	비주기신호의 스펙트럼
라플라스 변환	전달함수, 극점, 과도응답
수열과 급수	이산시간 시스템과 차분방정식

Part I. 신호

0. 왜 신호와 시스템을 배우는가?

전자공학에서 중요한 장치는 대부분 입력을 받아 출력을 만든다.

\[\boxed{ x \xrightarrow{\mathcal{T}} y }\]

여기서 $x$는 입력신호, $y$는 출력신호, $\mathcal{T}$는 시스템이다.

예를 들어 마이크부터 스피커까지의 흐름은 다음과 같다.

\[\text{음압} \rightarrow \text{마이크 전압} \rightarrow \text{ADC} \rightarrow \text{디지털 필터} \rightarrow \text{DAC} \rightarrow \text{스피커}\]

이 과목에서 계속 답하려는 질문은 크게 네 가지다.

신호를 어떤 수학적 함수로 표현할까?
시스템이 신호를 어떻게 바꾸는가?
시간영역에서 복잡한 계산을 주파수영역에서 더 쉽게 할 수 있는가?
연속 신호를 디지털 숫자로 바꿀 때 무엇을 잃고 무엇을 보존하는가?

신호가 전자 시스템을 통과하는 전체 흐름

1. 신호란 무엇인가?

1.1 신호의 정의

신호(signal)는 독립변수에 따라 어떤 물리량이나 정보를 나타내는 함수다.

시간에 따라 변하는 전압은

\[x(t)\]

라고 쓸 수 있다.

온도센서 출력도 $x(t)$, 마이크 전압도 $x(t)$, ECG도 $x(t)$로 나타낼 수 있다.

그러나 모든 신호가 시간만을 독립변수로 가지는 것은 아니다. 흑백영상은

\[x[m,n]\]

처럼 가로와 세로 두 개의 이산 좌표를 갖는다.

따라서 신호를 더 일반적으로 보면

\[\boxed{ \text{신호} = \text{독립변수에 정보를 대응시키는 함수} }\]

이다.

1.2 왜 함수를 사용하나?

함수로 표현하면 다음을 계산할 수 있다.

신호의 순간값
평균값
에너지와 전력
주기
주파수 성분
시스템을 통과한 출력
다른 신호와의 유사도

즉 실제 파형을 수학적 대상으로 바꾸는 순간 미적분, 선형대수, 복소수, 푸리에 해석을 사용할 수 있다.

1.3 예제: 마이크 신호

마이크 출력이

\[x(t)=0.2\cos(2\pi\cdot440t)\]

라고 하자.

이 식에서

진폭은 $0.2$
주파수는 $440\,\mathrm{Hz}$
주기는 $1/440\,\mathrm{s}$

이다.

즉 하나의 함수에서 물리적 특성을 바로 읽을 수 있다.

2. 연속시간 신호와 이산시간 신호

2.1 연속시간 신호

연속시간 신호는 모든 실수 시간 $t$에서 정의된다.

\[\boxed{x(t)}\]

예:

\[x(t)=\cos(2\pi t)\]

2.2 이산시간 신호

이산시간 신호는 정수 인덱스 $n$에서만 정의된다.

\[\boxed{x[n]}\]

예:

\[x[n]=\cos(0.2\pi n)\]

대괄호는 단순한 표기 차이가 아니라 독립변수가 정수라는 사실을 강조한다.

2.3 샘플링으로 연결

연속시간 신호 $x(t)$를 $T_s$초 간격으로 읽으면

\[\boxed{ x[n]=x(nT_s) }\]

가 된다.

여기서

\[f_s=\frac{1}{T_s}\]

를 샘플링 주파수라 한다.

연속시간 신호와 이산시간 샘플

3. 연속시간과 아날로그는 같은 말이 아니다

많이 헷갈리는 부분이다.

신호는 두 축으로 구분할 수 있다.

시간축

연속시간
이산시간

진폭축

연속진폭
양자화된 진폭

따라서 다음처럼 구분할 수 있다.

시간	진폭	예
연속	연속	이상적인 아날로그 전압
이산	연속	ADC의 샘플링 직후 이상모델
이산	이산	실제 디지털 데이터

즉

\[\boxed{ \text{샘플링} \ne \text{양자화} }\]

이다.

샘플링은 시간축을 이산화하고, 양자화는 진폭축을 이산화한다.

4. 기본 신호

기본 신호를 배우는 이유는 복잡한 신호를 이 신호들의 조합으로 표현할 수 있기 때문이다.

4.1 상수 신호

\[x(t)=A\]

시간에 따라 값이 변하지 않는다. 전자회로에서 일정한 DC 전압을 표현할 수 있다.

4.2 단위 계단 신호

\[u(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ 1, & t>0 \end{cases}\]

특정 시각부터 입력이 켜지는 상황을 표현한다.

예를 들어 $t=2$에서 $5\,\mathrm{V}$가 켜지면

\[x(t)=5u(t-2)\]

이다.

4.3 단위 임펄스

Dirac 임펄스 $\delta(t)$의 핵심 성질은

\[\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1 }\]

과

\[\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0)\,dt = x(t_0) }\]

이다.

왜 배우는가? LTI 시스템에 $\delta(t)$를 넣었을 때의 출력 $h(t)$만 알면 그 시스템의 모든 입력에 대한 출력을 구할 수 있기 때문이다.

4.4 램프 신호

\[r(t)=t\,u(t)\]

이고

\[\frac{d}{dt}r(t)=u(t)\]

이다.

또 분포의 의미에서

\[\frac{d}{dt}u(t)=\delta(t)\]

이다.

따라서

\[\boxed{ r(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} u(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} \delta(t) }\]

이다.

4.5 실수 지수신호

\[x(t)=e^{at}\]

에서

$a<0$: 감쇠
$a=0$: 상수
$a>0$: 성장

이다.

공업수학에서 안정성을 고유값 실수부로 판단했던 이유와 같은 구조다.

4.6 복소 지수신호

\[x(t)=e^{j\omega t}\]

이고 Euler 공식에 의해

\[\boxed{ e^{j\omega t} = \cos(\omega t)+j\sin(\omega t) }\]

이다.

복소지수는 사인과 코사인을 한 번에 표현한다.

4.7 사인파

\[\boxed{ x(t)=A\cos(\omega_0t+\phi) }\]

여기서

\[\omega_0=2\pi f_0, \qquad T_0=\frac{1}{f_0}\]

이다.

왜 $2\pi$인가? 사인과 코사인의 한 주기가 각도로 $2\pi$이기 때문이다.

단위계단 · 램프 · 지수 · 사인 신호

5. 신호의 기본 연산

5.1 진폭 스케일링

\[y(t)=Ax(t)\]

5.2 시간 이동

\[y(t)=x(t-t_0)\]

은 오른쪽으로 $t_0$만큼 이동한다.

5.3 시간 반전

\[y(t)=x(-t)\]

는 좌우 반전이다.

5.4 시간 스케일링

\[y(t)=x(at)\]

에서

$\lvert a\rvert>1$: 압축
$0<\lvert a\rvert<1$: 확대
$a<0$: 시간반전 포함

이다.

5.5 복합변환

\[y(t)=x(2t-4) = x(2(t-2))\]

와 같은 식은 특징점의 위치를 방정식으로 추적하는 것이 안전하다.

원래 특징점이 $t=t_0$이었다면

\[2t-4=t_0\]

이므로 새 위치는

\[t=\frac{t_0+4}{2}\]

이다.

시간 이동 · 반전 · 스케일링

6. 신호의 분류

6.1 연속시간 주기신호

어떤 $T_0>0$가 존재하여

\[x(t+T_0)=x(t)\]

이면 주기신호다.

6.2 이산시간 주기신호

어떤 양의 정수 $N_0$가 존재하여

\[x[n+N_0]=x[n]\]

이면 주기신호다.

6.3 이산시간 복소지수의 주기 조건

\[x[n]=e^{j\omega_0n}\]

이 주기적이려면

\[e^{j\omega_0N}=1\]

이어야 하므로

\[\omega_0N=2\pi k\]

인 정수 $k$가 존재해야 한다.

즉

\[\boxed{ \frac{\omega_0}{2\pi} \text{가 유리수일 때 주기적이다} }\]

이다.

6.4 짝·홀 분해

짝신호:

\[x(-t)=x(t)\]

홀신호:

\[x(-t)=-x(t)\]

모든 신호는

\[x(t)=x_e(t)+x_o(t)\]

로 분해 가능하며

\[x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\] \[x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\]

이다.

7. 에너지 신호와 전력 신호

7.1 에너지

\[\boxed{ E_x= \int_{-\infty}^{\infty} \lvert x(t)\rvert^2\,dt }\]

7.2 평균전력

\[\boxed{ P_x= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \lvert x(t)\rvert^2\,dt }\]

전압이 저항 $R$에 걸리면 순간전력은 $v^2/R$이므로 제곱이 실제 물리량과 직접 연결된다.

예제: 유한 펄스

\[x(t)= \begin{cases} A,&0<t<T_0,\\ 0,&\text{그 외} \end{cases}\]

이면

\[E_x=A^2T_0\]

이다.

예제: 사인파

\[x(t)=A\cos(\omega_0t)\]

의 총에너지는 무한하지만 평균전력은

\[\boxed{ P_x=\frac{A^2}{2} }\]

이다.

8. 이산시간 기본 신호

단위샘플:

\[\delta[n]= \begin{cases} 1,&n=0,\\ 0,&n\ne0 \end{cases}\]

단위계단:

\[u[n]= \begin{cases} 1,&n\ge0,\\ 0,&n<0 \end{cases}\]

둘 사이에는

\[\boxed{ \delta[n]=u[n]-u[n-1] }\]

관계가 있다.

9. 이산시간 주파수의 주기성

\[e^{j(\omega+2\pi k)n} = e^{j\omega n}\]

이므로

\[\boxed{ \omega \text{와} \omega+2\pi k \text{는 동일한 이산시간 주파수다} }\]

이 성질이 aliasing과 DTFT의 주기성으로 이어진다.

10. Part I 연습문제

문제 1

\[x(t)=u(t)-u(t-2)\]

의 모양을 구하라.

풀이

\[x(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ 1,&0<t<2,\\ 0,&t>2 \end{cases}\]

이므로 폭 2의 직사각형 펄스다.

문제 2

\[x(t)=e^t\]

를 짝성분과 홀성분으로 나누어라.

풀이

\[x_e(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\cosh t\] \[x_o(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}=\sinh t\]

이다.

문제 3

\[x(t)=e^{-at}u(t), \qquad a>0\]

의 에너지를 구하라.

풀이

\[E_x= \int_0^\infty e^{-2at}\,dt = \frac{1}{2a}\]

이다.

Part II. 시스템

11. 시스템이란?

시스템은 입력신호를 출력신호로 바꾸는 규칙이다.

\[\boxed{ y(t)=\mathcal{T}\{x(t)\} }\]

예:

\[y(t)=2x(t)\]

는 증폭기 모델,

\[y(t)=x(t-1)\]

은 지연 시스템이다.

12. 시스템의 핵심 성질

12.1 Memoryless

출력 $y(t_0)$가 같은 시각의 $x(t_0)$에만 의존하면 memoryless다.

\[y(t)=x^2(t)\]

는 memoryless이고,

\[y(t)=x(t-1)\]

은 memory가 있다.

12.2 Causality

현재 출력이 미래 입력에 의존하지 않으면 causal이다.

\[y(t)=x(t-1)\]

은 인과적이고,

\[y(t)=x(t+1)\]

은 비인과적이다.

12.3 Linearity

\[\boxed{ \mathcal{T}\{a x_1+b x_2\} = a\mathcal{T}\{x_1\} + b\mathcal{T}\{x_2\} }\]

를 만족하면 선형이다.

예를 들어 $y=3x$는 선형이지만 $y=x^2$은 일반적으로 비선형이다.

12.4 Time invariance

입력을 $t_0$만큼 이동했을 때 출력도 같은 만큼 이동하면 시불변이다.

\[y(t)=x(t-2)\]

는 시불변이다.

\[y(t)=t x(t)\]

는 시스템 자체가 현재 시간 $t$를 사용하므로 시변이다.

12.5 BIBO stability

\[\lvert x(t)\rvert\le M_x\]

인 모든 bounded input에 대해

\[\lvert y(t)\rvert\le M_y\]

인 유한한 $M_y$가 존재하면 BIBO stable이다.

13. 왜 LTI 시스템이 중요한가?

LTI는 linear time-invariant다.

\[\boxed{ \text{LTI} = \text{선형} + \text{시불변} }\]

LTI가 중요한 이유는 임펄스응답 하나로 시스템 전체를 표현할 수 있기 때문이다.

14. 임펄스응답

LTI 시스템에 $\delta(t)$를 입력했을 때의 출력을

\[\boxed{ h(t) }\]

라 한다.

시간불변성이 있으므로 $\delta(t-\tau)$를 입력하면 $h(t-\tau)$가 출력된다.

15. 합성곱의 유도

임의의 신호는

\[\boxed{ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau }\]

로 쓸 수 있다.

각 $\delta(t-\tau)$에 대한 출력이 $h(t-\tau)$이므로 선형성에 의해

\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau\]

이다.

따라서

\[\boxed{ y(t)=x(t)\ast h(t) }\]

이다.

합성곱은

뒤집기
이동하기
곱하기
적분하기

로 시각화할 수 있다.

합성곱: 뒤집고 · 이동하고 · 곱하고 · 적분하기

16. 이산시간 합성곱

\[\boxed{ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] }\]

이다.

연속시간의 적분이 이산시간에서는 합으로 바뀐다.

17. 합성곱의 성질

\[x\ast h=h\ast x\] \[(x\ast h_1)\ast h_2 = x\ast(h_1\ast h_2)\] \[x\ast(h_1+h_2) = x\ast h_1+x\ast h_2\]

그리고

\[\boxed{ x\ast\delta=x }\]

이다.

18. LTI 시스템의 인과성과 안정성

인과성

\[\boxed{ h(t)=0 \qquad t<0 }\]

이면 인과적이다.

BIBO 안정성

\[y(t) = \int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau\]

이고 $\lvert x(\tau)\rvert\le M_x$라면

\[\lvert y(t)\rvert \le M_x \int_{-\infty}^{\infty} \lvert h(\tau)\rvert\,d\tau\]

이다.

따라서

\[\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty} \lvert h(t)\rvert\,dt < \infty }\]

이면 BIBO stable이다.

19. 미분방정식과 LTI 시스템

RC 저역통과 회로:

\[RC\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)\]

같은 시스템은 여러 관점으로 볼 수 있다.

미분방정식

\[RC\,y'+y=x\]

임펄스응답

\[h(t) = \frac{1}{RC} e^{-t/(RC)}u(t)\]

합성곱

\[y=x\ast h\]

Laplace

\[H(s)=\frac{1}{1+sRC}\]

Fourier

\[H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}\]

서로 다른 공식이 아니라 같은 시스템을 다른 표현으로 보는 것이다.

RC 저역통과 필터: 시간응답과 주파수응답

Part III. 주파수영역

20. 왜 주파수영역을 배우는가?

구형파를 RC 회로에 넣는다고 하자.

시간영역에서는 미분방정식을 구간마다 풀어야 하지만, 구형파를

\[\sin(\omega_0t), \quad \sin(3\omega_0t), \quad \sin(5\omega_0t), \ldots\]

의 합으로 분해하면 각 사인파에 대한 회로의 반응만 계산하면 된다.

즉

\[\boxed{ \text{복잡한 파형} \longrightarrow \text{단순한 주파수 성분} }\]

이라는 관점이 주파수영역의 핵심이다.

21. 복소지수는 LTI 시스템의 고유함수

입력으로

\[x(t)=e^{j\omega t}\]

를 넣자.

합성곱으로 출력은

\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{j\omega(t-\tau)}\,d\tau\]

이다.

$e^{j\omega t}$를 적분 밖으로 빼면

\[y(t) = e^{j\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau\]

이다.

괄호 안 적분을 $H(j\omega)$라고 하면

\[\boxed{ y(t) = H(j\omega)e^{j\omega t} }\]

이다.

즉 LTI 시스템은 복소지수의 주파수를 바꾸지 않고 크기와 위상만 바꾼다.

이 성질 때문에 Fourier 해석이 LTI 시스템에 특히 잘 맞는다.

22. 푸리에 급수의 시스템 해석

주기신호를

\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk\omega_0t}\]

로 나타낼 수 있다.

각 성분은 LTI 시스템에서

\[e^{jk\omega_0t} \longrightarrow H(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\]

가 된다.

따라서 전체 출력은

\[\boxed{ y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k H(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} }\]

이다.

이 식은 왜 저역통과 필터가 구형파의 모서리를 둥글게 만드는지 설명한다.

구형파의 날카로운 모서리는 높은 고조파가 필요하지만, 저역통과 필터는 높은 주파수일수록 더 크게 감쇠시키기 때문이다.

23. 연속시간 푸리에 변환

비주기신호는 고조파 간격이 이산적이지 않다.

따라서 주파수도 연속변수로 바뀐다.

\[\boxed{ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt }\]

역변환은

\[\boxed{ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega }\]

이다.

왜 필요한가?

한 번만 발생하는 펄스, 과도현상, 통신 심볼처럼 주기적으로 반복되지 않는 신호도 주파수로 분석하기 위해서다.

24. 푸리에 변환의 핵심 성질

24.1 선형성

\[a x_1(t)+b x_2(t) \longleftrightarrow aX_1(\omega)+bX_2(\omega)\]

24.2 시간 이동

\[\boxed{ x(t-t_0) \longleftrightarrow e^{-j\omega t_0}X(\omega) }\]

시간 이동은 magnitude를 바꾸지 않고 phase만 바꾼다.

24.3 주파수 이동

\[\boxed{ e^{j\omega_ct}x(t) \longleftrightarrow X(\omega-\omega_c) }\]

이 성질이 변조의 핵심이다.

24.4 미분

\[\boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \longleftrightarrow j\omega X(\omega) }\]

미분이 주파수영역에서는 단순 곱셈으로 바뀐다.

24.5 합성곱

\[\boxed{ x(t)\ast h(t) \longleftrightarrow X(\omega)H(\omega) }\]

시간영역에서 복잡한 합성곱이 주파수영역에서는 곱셈이 된다.

25. 주파수응답

LTI 시스템에서

\[Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)\]

이므로

\[\boxed{ H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} }\]

이다.

$H(j\omega)$는 복소수이므로

\[H(j\omega) = \lvert H(j\omega)\rvert e^{j\phi(\omega)}\]

로 쓸 수 있다.

$\lvert H(j\omega)\rvert$: 진폭 변화
$\phi(\omega)$: 위상 변화

26. 필터

26.1 Low-pass filter

낮은 주파수를 통과시키고 높은 주파수를 줄인다.

26.2 High-pass filter

낮은 주파수를 줄이고 높은 주파수를 통과시킨다.

26.3 Band-pass filter

특정 대역만 통과시킨다.

26.4 Band-stop filter

특정 대역만 제거한다.

실제 필터는 이상적인 벽처럼 갑자기 0이 되지 않고 transition band를 가진다.

27. Bode plot

진폭응답을 dB로 나타내면

\[\boxed{ 20\log_{10} \lvert H(j\omega)\rvert }\]

이다.

왜 로그를 사용하는가?

곱셈이 덧셈으로 바뀐다.
매우 넓은 크기 범위를 압축해서 볼 수 있다.
극점과 영점의 효과를 직선 근사로 해석하기 쉽다.

28. Laplace 변환과 전달함수

영초기조건에서

\[\boxed{ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} }\]

를 전달함수라고 한다.

RC 저역통과 필터는

\[H(s)=\frac{1}{1+sRC}\]

이다.

수렴영역이 허수축을 포함하면

\[s=j\omega\]

를 대입하여 Fourier 주파수응답을 얻을 수 있다.

즉 Laplace와 Fourier는 별개의 과목이 아니라 서로 연결된 표현이다.

29. Pole과 Zero

전달함수를

\[H(s) = K \frac{\prod_i(s-z_i)} {\prod_\ell(s-p_\ell)}\]

로 쓰자.

$z_i$: zero
$p_\ell$: pole

pole은 자연응답과 안정성에 깊이 연결된다.

예를 들어

\[H(s)=\frac{1}{s+a}\]

이면 pole은

\[s=-a\]

이다.

$a>0$이면 시간응답에

\[e^{-at}\]

가 나타나 감쇠한다.

극점 위치와 감쇠 · 성장

Part IV. 연속시간에서 디지털로

30. ADC 앞뒤에서 무슨 일이 일어나는가?

실제 디지털 시스템은 보통 다음 흐름을 가진다.

\[\boxed{ \text{Analog} \rightarrow \text{Anti-aliasing Filter} \rightarrow \text{Sampling} \rightarrow \text{Quantization} \rightarrow \text{Digital Data} }\]

샘플링과 양자화를 구분해야 한다.

샘플링: 시간축 이산화
양자화: 진폭축 이산화

31. Sampling

샘플주기 $T_s$마다 값을 읽으면

\[\boxed{ x[n]=x(nT_s) }\]

이고

\[\boxed{ f_s=\frac{1}{T_s} }\]

이다.

32. Sampling theorem

원 신호가

\[\lvert f\rvert\le B\]

에 대역제한되어 있다고 하자.

이상적인 임펄스 샘플링을 하면 원 스펙트럼이 $f_s$ 간격으로 반복된다.

복제된 스펙트럼이 겹치지 않으려면

\[\boxed{ f_s>2B }\]

여야 한다.

이것이 Nyquist sampling condition이다.

실제 회로에서는 이상적인 brick-wall filter가 없으므로 보통 여유를 둔다.

샘플링 주파수와 aliasing

33. Aliasing

$f_s=1000\,\mathrm{Hz}$일 때 900 Hz 사인파를 샘플링하자.

\[x[n] = \cos\left( 2\pi\frac{900}{1000}n \right)\]

이다.

그런데

\[2\pi\frac{900}{1000}n = 2\pi n - 2\pi\frac{100}{1000}n\]

이고 cosine의 주기성 때문에

\[\boxed{ \cos\left( 2\pi\frac{900}{1000}n \right) = \cos\left( 2\pi\frac{100}{1000}n \right) }\]

이다.

즉 샘플만 보면 900 Hz와 100 Hz를 구분할 수 없다.

그래서 ADC 앞에 anti-aliasing filter가 필요하다.

34. Reconstruction

이상적으로 대역제한된 신호는

\[\boxed{ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \operatorname{sinc} \left( \frac{t-nT_s}{T_s} \right) }\]

로 복원할 수 있다.

각 sinc는 자기 샘플 위치에서는 1이고 다른 정수 샘플 위치에서는 0이다.

따라서 모든 샘플을 정확히 통과하는 연속 파형을 만든다.

35. Quantization

$B$ bit quantizer는 보통

\[\boxed{ L=2^B }\]

개의 레벨을 가진다.

비트수가 증가하면 더 작은 진폭 차이를 표현할 수 있다.

비트 수와 양자화 오차

36. Quantization error

\[\boxed{ e[n]=x[n]-x_q[n] }\]

라고 하자.

균일 양자화에서 step size가 $\Delta$라면 이상적인 nearest rounding 모델에서

\[-\frac{\Delta}{2} \le e[n] < \frac{\Delta}{2}\]

이다.

37. SQNR

이상적인 full-scale sinusoid와 균일 양자화 오차를 독립적 균일잡음으로 근사하면

\[\boxed{ \operatorname{SQNR} \approx 6.02B+1.76\,\mathrm{dB} }\]

가 된다.

이 식은 모든 실제 신호에 정확히 적용되는 절대법칙이 아니라 특정 가정에서의 근사다.

38. 이산시간 시스템

예를 들어

\[y[n] = 0.5x[n] + 0.5x[n-1]\]

은 현재 샘플과 직전 샘플의 평균이다.

고주파 변화가 완화되므로 간단한 low-pass 성질을 가진다.

39. Difference equation

\[y[n]-0.8y[n-1]=x[n]\]

은 과거 출력이 현재 출력에 영향을 준다.

연속시간 미분방정식이 시스템의 dynamics를 표현했던 것처럼, 차분방정식은 이산시간 시스템의 dynamics를 표현한다.

40. DTFT

\[\boxed{ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n} }\]

이다.

왜 $2\pi$ 주기인가?

\[X(e^{j(\omega+2\pi)}) = \sum_n x[n]e^{-j(\omega+2\pi)n}\]

인데

\[e^{-j2\pi n}=1\]

이므로

\[\boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega}) }\]

이다.

41. Z transform

\[\boxed{ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} }\]

이다.

DTFT는

\[z=e^{j\omega}\]

를 대입한 단위원 위의 값으로 볼 수 있다.

단, 단위원이 ROC에 포함되어야 한다.

42. ROC

ROC는 Z 변환 급수가 수렴하는 $z$의 영역이다.

같은 대수식이라도 ROC가 다르면 서로 다른 시간신호를 나타낼 수 있다.

따라서 Z 변환에서는

\[\boxed{ \text{대수식} + \text{ROC} }\]

를 함께 봐야 한다.

43. Z-plane의 pole과 stability

인과적 rational discrete-time LTI 시스템이 BIBO stable이려면 pole이 모두 단위원 안에 있어야 한다.

\[\boxed{ \lvert p_k\rvert<1 }\]

이다.

연속시간에서 왼쪽 반평면의 pole이 감쇠를 만들었던 것처럼, 이산시간에서는 단위원 내부의 pole이 감쇠를 만든다.

Part V. DFT · FFT · 디지털 필터

44. 왜 DFT가 필요한가?

DTFT는 $\omega$가 연속변수이므로 무한히 많은 주파수 값을 가진다.

하지만 컴퓨터에는 유한한 $N$개의 샘플만 있다.

그래서

\[\boxed{ N\text{개의 시간 샘플} \longrightarrow N\text{개의 주파수 좌표} }\]

로 바꾸는 DFT를 사용한다.

45. DFT

정의는

\[\boxed{ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N} }\]

이다.

역변환은

\[\boxed{ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N} }\]

이다.

왜 이 식이 나오는가?

$N$개의 샘플을 하나의 $N$차원 벡터라고 생각한다.

그리고

\[e^{j2\pi kn/N}\]

형태의 서로 직교하는 복소지수 벡터를 기저로 사용한다.

즉 DFT는 새로운 신비한 계산이 아니라 벡터의 좌표변환이다.

시간 샘플과 DFT 스펙트럼

46. DFT bin과 주파수 해상도

$k$번 bin의 주파수는

\[f_k = \frac{k}{N}f_s\]

이다.

이웃 bin 사이의 간격은

\[\boxed{ \Delta f = \frac{f_s}{N} }\]

이다.

관측시간이

\[T_{\mathrm{obs}} = NT_s\]

이므로

\[\boxed{ \Delta f = \frac{1}{T_{\mathrm{obs}}} }\]

이다.

즉 실제 주파수 분해능을 높이려면 관측시간을 늘려야 한다.

47. Spectral leakage

무한히 이어지는 사인파에서 $N$개 샘플만 잘라낸 것은 시간영역에서 rectangular window를 곱한 것과 같다.

시간영역의 곱셈은 주파수영역에서 합성곱이므로 스펙트럼이 주변 주파수로 퍼진다.

이를 spectral leakage라 한다.

왜 FFT에서 한 주파수가 여러 bin에 보이는가?

관측 구간 안에서 정확히 정수 번 반복되는 주파수는 DFT 기저와 정확히 일치한다.

하지만 정수 번 반복되지 않으면 잘린 양 끝점이 서로 이어지지 않아 불연속처럼 보이고, 여러 DFT 기저가 필요해진다.

48. Window functions

대표적인 window:

Rectangular
Hann
Hamming
Blackman

window를 사용하면 side lobe를 낮출 수 있다.

하지만 main lobe는 넓어진다.

즉

\[\boxed{ \text{누설 억제} \longleftrightarrow \text{주파수 분해능} }\]

사이의 trade-off가 있다.

Window에 따른 spectral leakage 비교

49. Zero padding

샘플 뒤에 0을 추가하면 DFT 점의 개수가 증가한다.

그래서 그래프가 더 촘촘하고 부드럽게 보인다.

하지만 실제 관측시간은 증가하지 않는다.

따라서

\[\boxed{ \text{zero padding} \ne \text{실제 주파수 해상도 증가} }\]

이다.

50. FFT

FFT는 새로운 변환이 아니다.

\[\boxed{ \text{FFT} = \text{DFT를 빠르게 계산하는 알고리즘} }\]

직접 DFT를 계산하면 대략 $N^2$개의 곱셈이 필요하다.

대표적인 radix-2 FFT는 반복되는 복소지수 계산을 재사용하여 계산량을 대략

\[O(N\log N)\]

수준으로 줄인다.

51. FIR filter

FIR은 finite impulse response다.

\[\boxed{ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_kx[n-k] }\]

이다.

입력의 현재값과 과거값만 사용하고 출력 feedback은 없다.

임펄스응답은 유한 길이이므로 계수가 유한하면 BIBO 안정하다.

52. IIR filter

IIR은 infinite impulse response다.

일반적으로

\[y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_kx[n-k] - \sum_{r=1}^{N} a_ry[n-r]\]

처럼 과거 출력이 다시 들어간다.

feedback 때문에 임펄스응답이 무한히 이어질 수 있다.

따라서 pole 위치를 확인해야 안정성을 판단할 수 있다.

53. FIR과 IIR 비교

특성	FIR	IIR
feedback	없음	있음
임펄스응답	유한	일반적으로 무한
안정성	유한 계수에서 다루기 쉬움	pole 확인 필요
선형위상	대칭계수로 가능	일반적으로 어렵다
같은 규격의 차수	상대적으로 큼	상대적으로 작음

54. 디지털 필터 사양

필터를 설계하려면 원하는 성능을 수치로 정해야 한다.

passband
stopband
cutoff
transition band
ripple
attenuation

예를 들어 음성에서 $4\,\mathrm{kHz}$ 이하를 보존하고 $6\,\mathrm{kHz}$ 이상을 줄이고 싶다면 $4$에서 $6\,\mathrm{kHz}$ 사이가 transition band다.

55. Moving average filter

\[\boxed{ y[n] = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} x[n-k] }\]

이다.

임펄스응답은

\[h[n] = \begin{cases} 1/M,&0\le n\le M-1,\\ 0,&\text{그 외} \end{cases}\]

이다.

갑자기 한 샘플만 튀는 고주파성 변화는 주변 샘플과 평균되면서 줄어든다.

그래서 간단한 low-pass 성질을 가진다.

56. Correlation

두 신호가 얼마나 비슷한지 이동량을 바꿔가며 측정하는 것이 correlation이다.

한 가지 이산시간 정의는

\[\boxed{ R_{xy}[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]y^{\ast}[n-k] }\]

이다.

복소켤레가 들어가는 이유는 내적과 에너지 구조를 유지하기 위해서다.

왜 사용하는가?

알려진 패턴 검출
radar echo delay 측정
통신 synchronization
주기 탐지
음향 delay 추정

에 사용한다.

두 신호의 이동과 correlation

57. Autocorrelation과 PSD

자기 자신과 correlation하면

\[R_{xx}[k]\]

이고 autocorrelation이라 한다.

적절한 조건에서 power spectral density와 Fourier 변환 관계를 가진다.

\[\boxed{ S_{xx}(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} R_{xx}[k]e^{-j\omega k} }\]

이다.

즉 시간차에 따른 자기 유사도와 주파수별 평균전력은 서로 연결되어 있다.

Part VI. 전자공학 응용

58. 음성 신호 처리

마이크에서 스피커까지의 전형적인 흐름은

\[\text{Microphone} \rightarrow \text{Analog LPF} \rightarrow \text{ADC} \rightarrow \text{DSP} \rightarrow \text{DAC} \rightarrow \text{Speaker}\]

이다.

각 블록은 지금까지 배운 개념과 연결된다.

Analog LPF: aliasing 방지
ADC: sampling + quantization
DSP: DFT, filter, correlation
DAC: digital-to-analog
reconstruction filter: 영상성분 제거

59. Audio equalizer

equalizer는 주파수 대역마다 서로 다른 gain을 적용한다.

\[Y(e^{j\omega}) = H(e^{j\omega}) X(e^{j\omega})\]

에서 $H$를 조절하는 것이다.

저음을 키운다는 것은 낮은 주파수 대역에서 $\lvert H\rvert$를 크게 만드는 것이고, 고음을 줄인다는 것은 높은 주파수 대역에서 $\lvert H\rvert$를 낮추는 것이다.

60. Noise removal

관측 신호가

\[y[n]=s[n]+v[n]\]

라고 하자.

$s[n]$은 원하는 신호, $v[n]$은 잡음이다.

신호와 잡음의 주파수 대역이 다르면 filter로 일부 잡음을 줄일 수 있다.

하지만 둘이 같은 대역에 겹쳐 있으면 단순 주파수 필터만으로 완전히 분리할 수 없다.

이때는 통계적 방법, adaptive filtering, spectral estimation 등이 필요할 수 있다.

61. 통신과 신호 시스템

통신에서는 정보를 반송파에 싣기 위해 주파수 이동을 사용한다.

\[m(t)e^{j\omega_ct} \longleftrightarrow M(\omega-\omega_c)\]

이다.

직교하는 두 성분을 사용하면 I와 Q를 동시에 다룰 수 있다.

공업수학에서 배운 직교함수와 내적이 실제 수신기의 correlation detector로 연결되는 예다.

62. 이미지는 왜 신호인가?

흑백영상은

\[x[m,n]\]

이라는 2차원 이산신호다.

2차원 DFT를 사용하면 가로와 세로의 공간주파수로 분해할 수 있다.

낮은 공간주파수: 천천히 변하는 밝기
높은 공간주파수: 경계, 세부무늬, 질감

즉 영상처리도 신호처리의 확장이다.

63. 종합 프로젝트: 실제 음성 신호 처리

최종적으로 다음 흐름을 하나의 시스템으로 이해할 수 있어야 한다.

\[\boxed{ \begin{aligned} \text{Microphone} &\longrightarrow \text{Anti-aliasing Filter}\\ &\longrightarrow \text{Sampling}\\ &\longrightarrow \text{Quantization}\\ &\longrightarrow \text{DFT/FFT}\\ &\longrightarrow \text{Digital Filter}\\ &\longrightarrow \text{IDFT/IFFT}\\ &\longrightarrow \text{DAC}\\ &\longrightarrow \text{Speaker} \end{aligned} }\]

이 프로젝트는 과목 전체를 한 번에 복습하는 데 가장 좋다.

64. 공업수학에서 DSP까지 전체 연결

\[\boxed{ \begin{array}{ccc} \text{미적분} & \longrightarrow & \text{신호 변화율} \\[4pt] \text{미분방정식} & \longrightarrow & \text{시스템 시간응답} \\[4pt] \text{선형대수} & \longrightarrow & \text{상태공간·DFT} \\[4pt] \text{복소수} & \longrightarrow & \text{크기·위상} \\[4pt] \text{푸리에} & \longrightarrow & \text{스펙트럼·필터} \\[4pt] \text{라플라스} & \longrightarrow & \text{전달함수·극점} \\[4pt] \text{수열} & \longrightarrow & \text{차분방정식·DSP} \end{array} }\]

전체 흐름을 다시 쓰면

\[\boxed{ \text{공업수학} \longrightarrow \text{신호와 시스템} \longrightarrow \text{DSP} \longrightarrow \text{통신·제어·회로·영상} }\]

이다.

종합 연습문제

문제 1. 시스템 성질 판별

다음 시스템이 선형인지, 시불변인지, 인과적인지 판단하라.

\[y(t)=x(t-2)+3x(t)\]

풀이

두 항 모두 입력의 선형결합이므로 선형이다.

입력을 $t_0$만큼 이동하면

\[x(t-t_0-2)+3x(t-t_0)\]

가 되어 원 출력의 $t_0$ 이동과 같으므로 시불변이다.

또 현재 $t$와 과거 $t-2$의 입력만 사용하므로 미래 입력이 필요하지 않는다.

따라서 인과적이다.

문제 2. 합성곱

\[x(t)=u(t)-u(t-1), \qquad h(t)=u(t)-u(t-1)\]

의 합성곱을 구하라.

풀이

두 폭 1 직사각형의 겹치는 길이가 출력값이 된다.

$t<0$에서는 겹치지 않는다.

$0\le t<1$에서는 겹치는 길이가 $t$이다.

$1\le t<2$에서는 겹치는 길이가 $2-t$이다.

따라서

\[\boxed{ y(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ t,&0\le t<1,\\ 2-t,&1\le t<2,\\ 0,&t\ge2 \end{cases} }\]

이다.

삼각형 파형이 된다.

문제 3. RC cutoff

\[H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega RC}\]

의 cutoff를 구하라.

풀이

magnitude는

\[\lvert H(j\omega)\rvert = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}\]

이다.

cutoff에서는 DC gain의 $1/\sqrt2$가 되므로

\[\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt2}\]

이다.

양변을 제곱하면

\[1+(\omega RC)^2=2\]

이므로

\[\omega_c=\frac{1}{RC}\]

이다.

따라서

\[\boxed{ f_c=\frac{1}{2\pi RC} }\]

이다.

문제 4. Sampling

최대 주파수가 $3\,\mathrm{kHz}$인 대역제한 신호를 이상적으로 샘플링한다.

풀이

\[B=3\,\mathrm{kHz}\]

이므로

\[f_s>2B\]

에서

\[\boxed{ f_s>6\,\mathrm{kHz} }\]

가 필요하다.

실제 시스템에서는 anti-aliasing filter의 transition band 때문에 더 높은 값을 선택한다.

문제 5. DFT bin

\[f_s=8\,\mathrm{kHz}, \qquad N=1024\]

일 때 bin 간격을 구하라.

풀이

\[\Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{8000}{1024}\]

이므로

\[\boxed{ \Delta f = 7.8125\,\mathrm{Hz} }\]

이다.

문제 6. 이산시간 주기성

\[x[n]=\cos\left(\frac{3\pi}{5}n\right)\]

의 기본주기를 구하라.

풀이

주기 $N$은

\[\frac{3\pi}{5}N = 2\pi k\]

를 만족해야 한다.

따라서

\[3N=10k\]

이다.

가장 작은 양의 정수해는 $k=3$, $N=10$이다.

따라서

\[\boxed{ N_0=10 }\]

이다.

문제 7. Moving average

\[y[n] = \frac{x[n]+x[n-1]+x[n-2]}{3}\]

의 임펄스응답을 구하라.

풀이

입력을

\[x[n]=\delta[n]\]

로 둔다.

그러면

\[h[n] = \frac{ \delta[n] + \delta[n-1] + \delta[n-2] }{3}\]

이다.

즉

\[h[n]= \begin{cases} 1/3,&n=0,1,2,\\ 0,&\text{그 외} \end{cases}\]

이다.

길이 3의 FIR filter다.

마지막 핵심 정리

핵심 1

신호는 정보를 담은 함수다.

핵심 2

시스템은 신호를 다른 신호로 바꾸는 규칙이다.

핵심 3

LTI 시스템은 임펄스응답과 합성곱으로 표현된다.

\[\boxed{ y=x\ast h }\]

핵심 4

푸리에 해석은 신호를 주파수 성분으로 분해한다.

핵심 5

LTI 시스템은 각 주파수 성분에 복소수 gain을 곱한다.

\[\boxed{ Y=HX }\]

핵심 6

샘플링은 시간축을 이산화하고 양자화는 진폭축을 이산화한다.

핵심 7

DFT는 유한한 샘플 벡터를 유한한 주파수 좌표로 바꾸는 변환이다.

핵심 8

DSP는 결국

\[\boxed{ \text{신호를 표현하고} \longrightarrow \text{분해하고} \longrightarrow \text{필요한 성분을 바꾸고} \longrightarrow \text{다시 합치는 과정} }\]

이라고 볼 수 있다.

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