Orthogonal Functions, Fourier Analysis and Communication

2026-09-06 40 minute read

복잡한 신호를 여러 기본 파형으로 분해하면 무엇이 좋아질까? 어떤 필터가 신호의 어느 부분을 없애는지, 서로 겹쳐 보이는 통신 신호를 어떻게 분리하는지, 샘플링이 왜 원래 신호를 잃게 만들 수 있는지를 계산할 수 있다. 푸리에 해석은 이 질문들에 공통으로 사용하는 언어이다.

급수해와 특수함수에서 베셀·르장드르 함수의 유도를, 라플라스 변환에서 초기값 문제를 배웠다면 해당 내용을 연결하며 읽을 수 있다.

먼저 풀고 싶은 문제를 하나 잡자. 오실로스코프에 구형파가 보인다. 이 파형을 RC 회로에 넣으면 왜 모서리가 둥글어질까? 회로가 구형파 전체에 어떻게 작용하는지 한 번에 계산하는 대신, 구형파를 단순한 사인파들의 합으로 나누고 각 사인파의 변화를 계산하면 된다. 그러려면 먼저 어떤 기본 파형으로 나눌지, 각 파형이 얼마나 들어 있는지 어떻게 구할지를 알아야 한다. 1~3절은 이 두 질문을 다룬다.

그다음에는 반복되지 않는 펄스까지 분해하는 Fourier 변환을 배우고, 이를 필터와 디지털 샘플링에 적용한다. 7~8절에서는 같은 계산이 통신 신호를 만들고 분리하는 송수신기가 된다는 것을 확인한다. 9절부터는 시간 대신 공간에 이 생각을 적용하여 전송선과 전자기장을 보고, 마지막으로 복소함수를 이용해 전달함수와 전위를 계산한다. 뒤의 도구를 처음부터 알고 있어야 읽을 수 있도록 구성하지 않고, 필요한 지점에서 정의하고 연결한다.

1. 함수의 직교성과 신호를 분해하는 원리

1.1 함수도 벡터처럼 좌표를 가질 수 있다

평면벡터 $(3,2)$는 가로 단위벡터 $(1,0)$의 3배와 세로 단위벡터 $(0,1)$의 2배를 합친 것이다. 가로 성분만 알고 싶으면 $(1,0)$과 내적하면 된다. $(3,2)\cdot(1,0)=3$이고, 세로 성분은 $(0,1)\cdot(1,0)=0$이어서 결과에 끼어들지 않는다. 직교하는 기준을 고르면 원하는 성분만 골라낼 수 있다는 것이 핵심이다.

함수에서도 같은 일을 하고 싶다. 예를 들어 $x(t)=3\cos(2\pi t)+2\sin(2\pi t)$에서 3과 2를 각각 읽어낼 수 있을까? 벡터의 내적은 같은 위치의 값끼리 곱한 뒤 더한다. 함수에서는 같은 시각의 값끼리 곱한 뒤 관측구간 전체에서 적분한다. 우선 실수 신호로 직접 확인해 보자.

\[\int_0^1\cos(2\pi t)\sin(2\pi t)dt =\frac12\int_0^1\sin(4\pi t)dt=0,\] \[\int_0^1\cos^2(2\pi t)dt=\frac12\]

따라서 $\int_0^1x(t)\cos(2\pi t)dt=3/2$이다. 기준 코사인 자체의 제곱 적분 $1/2$로 나누면 원하는 계수 3을 얻는다. 사인에 대해서도 같은 계산으로 2를 얻는다. 이처럼 기준과 곱해서 적분하고, 기준 자체의 크기로 나누는 계산을 투영이라고 부른다. 여기서 기저란 신호를 표현하는 데 사용하는 기본 함수들의 모음이다.

전자공학에서는 사인과 코사인을 한꺼번에 다루기 위해 복소수를 사용한다. 허수단위를 전류 $i$와 구분하여 $j$라고 쓰며 $j^2=-1$이다. $a+jb$의 복소켤레는 $a-jb$이고, 두 수를 곱하면 $a^2+b^2$가 된다. 이 성질을 반영하여

복소 신호의 내적을

\[\boxed{\langle x,y\rangle=\int_a^b x(t)y^*(t)\,dt}\]

로 정의한다. $[a,b]$는 비교할 시간 구간이고, 별표는 복소켤레이다. 실수 함수에서는 켤레를 취해도 값이 같으므로 방금 계산한 $\int xy$가 된다. 신호를 더하거나 상수배한 뒤 내적해도 각각 계산해서 더하거나 상수배한 결과와 같다는 선형성을 갖는다. 복소 상수배를 할 때는 첫 번째 자리에 대해 선형인 관례를 사용한다.

왜 복소켤레가 필요한가? 자기 자신과의 내적이

\[\langle x,x\rangle=\int_a^b\vert x(t)\vert^2dt\ge0\]

가 되어야 크기나 에너지로 해석할 수 있기 때문이다. 켤레 없이 $x^2$를 적분하면 양수라는 보장이 없다.

두 함수의 내적이 0이면 해당 구간과 가중치에 대해 직교한다. 파형이 시간축에서 겹치지 않아야 한다는 뜻이 아니다. 양과 음 또는 복소 위상의 기여가 적분에서 정확히 상쇄될 수도 있다.

1.2 왜 복소지수를 기준 파형으로 고르는가?

앞에서는 코사인과 사인을 따로 사용했다. 그런데 주파수마다 두 종류의 계수를 관리하기보다, 다음 Euler 공식으로 두 파형을 묶으면 계산이 간단해진다.

\[e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta.\]

이 식의 실수부는 코사인이고 허수부는 사인이다. 복소평면에서 보면 크기가 1인 점이 각도 $\theta$만큼 회전한 좌표이다. $\theta=2\pi ft$이면 초당 $f$바퀴 회전하므로 복소지수는 낯선 별개의 진동이 아니라 사인과 코사인을 함께 적는 표현이다. 실제 전압은 실수이지만, 계산 중 두 좌표를 함께 보관하는 데 복소수가 편리하다.

분해할 신호가 $T_0$초마다 반복된다고 하자. 가장 느린 기본 진동은 한 주기에 한 바퀴 도는 $f_0=1/T_0$이다. 한 주기에 두 바퀴, 세 바퀴 도는 진동도 같은 구간에서 반복을 마치므로 $2f_0,3f_0,\ldots$를 기준으로 사용할 수 있다. 이를 고조파라고 한다. 그 기준들을 번호 $k$로 묶어

\[\phi_k(t)=e^{j2\pi kt/T_0}\]

라고 쓰자. $\phi$는 기준 함수의 이름일 뿐이며, 아래첨자 $k$는 몇 번째 주파수인지를 나타낸다. $k=0$이면 $\phi_0=1$로 일정한 DC 성분이다. $k=1$은 기본파, $k=2$는 2차 고조파이다. 음의 $k$는 반대 방향 회전이며, 실수 사인·코사인을 복소지수의 합으로 되돌릴 때 함께 필요하다. 그 관계는 3절에서 직접 계산한다.

이제 이 기준들이 정말 서로 섞이지 않는지 확인하자. $k$번과 $m$번 파형을 비교할 때, 두 번째 파형의 켤레는 지수의 부호를 바꾼다. 따라서

\[\phi_k(t)\phi_m^*(t) =e^{j2\pi kt/T_0}e^{-j2\pi mt/T_0} =e^{j2\pi(k-m)t/T_0}.\]

주파수를 빼는 형태가 된다는 점이 중요하다. 같은 번호면 회전이 멈춰 1이 되고, 다른 번호면 한 관측구간에 정수 번 회전한다. 정수 번 회전한 코사인과 사인은 양과 음의 면적이 상쇄된다. 계산으로 확인하기 위해 한 주기 적분을 $T_0$로 나눈 평균 내적을 사용하자. 이 나눗셈은 관측시간이 길다고 같은 신호의 계수가 커지는 일을 막아 준다.

먼저 $k\ne m$이면 지수의 미분계수 $j2\pi(k-m)/T_0$로 나누어 적분한다.

\[\begin{aligned} \frac1{T_0}\int_0^{T_0}\phi_k(t)\phi_m^*(t)\,dt &=\frac1{T_0}\int_0^{T_0}e^{j2\pi(k-m)t/T_0}\,dt\\ &=\frac1{T_0}\left[ \frac{T_0e^{j2\pi(k-m)t/T_0}}{j2\pi(k-m)} \right]_0^{T_0}\\ &=\frac{e^{j2\pi(k-m)}-1}{j2\pi(k-m)}=0. \end{aligned}\]

마지막 분자가 0인 이유는 $k-m$이 정수이므로 $e^{j2\pi(k-m)}=1$이기 때문이다. 예를 들어 $k=2,m=1$이면 곱한 파형은 한 바퀴 돌고 평균은 0이다. 반면 $k=m$일 때 위 식에 대입하면 분모도 0이 되므로 별도로 계산해야 한다. 이때는 적분함수가 $e^0=1$이어서 $(1/T_0)\int_0^{T_0}1dt=1$이다. 두 경우를 묶으면

\[\boxed{\frac1{T_0}\int_0^{T_0}\phi_k\phi_m^*dt=\delta_{km}}.\]

여기서 $\delta_{km}$은 방금 구한 두 경우를 짧게 적는 기호이다. $k=m$이면 1, 다르면 0이며 Kronecker 델타라고 부른다. 새로운 계산법을 추가한 것이 아니다.

내적이 0인 기준들을 직교한다고 하고, 각 기준과 자기 자신의 내적까지 1이면 정규직교한다고 한다. 지금의 $\phi_k$는 평균 내적에서 정규직교한다. 1.1절처럼 $1/T_0$ 없이 적분만 하면 자기 내적은 $T_0$이다. 그 관례에서 길이를 1로 만들려면 기준을 $\sqrt{T_0}$로 나누면 된다. 이후 주기신호의 계수에는 평균 내적을 계속 사용하여 이 정규화가 중간에 바뀌지 않도록 하겠다.

1.3 푸리에 계수는 왜 투영인가?

이제 기준을 골랐으니 각 기준이 얼마나 들어 있는지 구할 차례다. $c_k$를 $k$번 성분의 복소 계수라 하고 $x(t)=\sum_k c_k\phi_k(t)$로 표현된다고 하자. 예를 들어 $x=3\phi_1+2\phi_2$이면 $\phi_1^*$를 곱해 평균낼 때 첫 항은 3, 둘째 항은 직교성 때문에 0이 된다. 그래서 계수 3만 남는다.

같은 계산을 임의의 번호 $m$에 적용하면 다음과 같다. 우선 유한한 합에서 계산하고, 제곱적분 가능한 주기신호의 무한 전개는 평균제곱 수렴의 의미로 이어서 이해한다.

\[\frac1{T_0}\int_0^{T_0}x(t)\phi_m^*(t)\,dt =\sum_kc_k\delta_{km}=c_m.\]

따라서

\[\boxed{c_m=\frac1{T_0}\int_0^{T_0}x(t)e^{-j2\pi mt/T_0}\,dt}.\]

수신기 관점에서는 관측 신호에 특정 기준 파형을 곱하고 적분하는 상관 검파이다. 그 기준 파형과 같은 성분은 남고 직교하는 다른 성분은 사라진다. 뒤에서 I/Q 수신기와 OFDM이 이 계산을 실제로 수행한다.

1.4 유한한 성분으로 표현할 때 왜 최적 근사인가?

실제 계산에서는 무한히 많은 주파수를 더할 수 없다. 예를 들어 기본파와 3차 고조파만 사용하기로 했다면, 그 두 계수를 어떻게 고르는 것이 원 신호에 가장 가까울까? 앞에서 구한 투영 계수가 바로 답이라는 것을 확인하자.

사용할 유한한 번호들의 집합을 $K$라 하고, 임의로 고른 계수 $d_k$로 만든 근사 신호를 $\hat x=\sum_{k\in K}d_k\phi_k$라고 쓰자. 여기서는 앞 절과 같은 평균 내적을 사용하며, $\Vert v\Vert^2=(1/T_0)\int_0^{T_0}\vert v(t)\vert^2dt$를 신호의 제곱 노름이라고 정의한다. 따라서 $\Vert x-\hat x\Vert^2$는 시각마다 생기는 오차의 크기를 제곱하여 평균낸 값이다.

직교성으로 $\Vert\hat x\Vert^2=\sum_{k\in K}\vert d_k\vert^2$이고, $c_k=\langle x,\phi_k\rangle_{\mathrm{avg}}$라 하면 $\langle x,\hat x\rangle_{\mathrm{avg}}=\sum_{k\in K}c_kd_k^*$이다. 따라서

\[\begin{aligned} \Vert x-\hat x\Vert^2 &=\Vert x\Vert^2-2\operatorname{Re}\sum_{k\in K}c_kd_k^* +\sum_{k\in K}\vert d_k\vert^2,\\ \vert d_k-c_k\vert^2 &=\vert d_k\vert^2-2\operatorname{Re}(c_kd_k^*)+\vert c_k\vert^2. \end{aligned}\]

두 번째 식으로 첫 번째 식의 항들을 묶으면

\[\left\Vert x-\sum_{k\in K}d_k\phi_k\right\Vert^2 =\Vert x\Vert^2-\sum_{k\in K}\vert c_k\vert^2 +\sum_{k\in K}\vert d_k-c_k\vert^2,\]

가 된다. 오른쪽에서 처음 두 항은 원 신호와 선택한 주파수가 정해지면 변하지 않는다. 바꿀 수 있는 부분은 마지막 합뿐이며, 제곱 크기들의 합이므로 항상 0 이상이다. 모든 $d_k=c_k$로 선택하면 그 합이 0이 되어 오차가 최소가 된다.

즉 푸리에 계수는 단순한 관례가 아니라 선택한 기저 안에서 평균제곱 오차를 최소로 만드는 좌표이다. 다만 평균제곱 오차가 작다는 것과 모든 시점의 최대오차가 작다는 것은 다르다. 불연속점의 Gibbs 현상이 이 차이를 보여 준다.

2. 실수 푸리에 급수와 계산 예제

1절에서 성분을 구하는 원리를 배웠다. 이제 실제 파형을 넣어 계수를 계산해 보자. 실수 전압을 손으로 계산할 때는 코사인과 사인으로 나누는 편이 대칭성을 보기 쉽다. 복소지수와 다른 이론으로 넘어가는 것이 아니라, Euler 공식의 실수·허수 성분을 따로 쓰는 것이다.

2.1 일반 주기의 계수 유도

주기 $T_0$인 실수 신호를 평균값과 각 고조파의 코사인·사인 성분으로 전개하자. $a_n$은 $n$번 코사인의 계수, $b_n$은 $n$번 사인의 계수이다. 평균값은 관례적으로 $a_0/2$라고 쓴다. 구간별로 매끄러운 신호를 생각하면, 불연속점에서의 해석은 2.3절에서 따로 확인하면서 다음 식을 사용할 수 있다.

\[x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \big[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\big], \qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\]

로 표현한다. 한 주기에서 서로 다른 주파수끼리 적분하면 0이고,

\[\int_{t_0}^{t_0+T_0}\cos^2(n\omega_0t)\,dt =\int_{t_0}^{t_0+T_0}\sin^2(n\omega_0t)\,dt=\frac{T_0}{2}\]

이다. 양변에 코사인을 곱해 적분하면 $a_nT_0/2$만 남으므로

\[\boxed{ \begin{aligned} a_0&=\frac2{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\,dt,\\ a_n&=\frac2{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\cos(n\omega_0t)\,dt,\\ b_n&=\frac2{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\sin(n\omega_0t)\,dt. \end{aligned}}\]

$a_0/2$가 평균값, 즉 DC 성분이다. DC 기저 1의 제곱 적분은 $T_0$이고 사인·코사인은 $T_0/2$인 차이가 $a_0/2$라는 관례에 반영되어 있다.

대칭구간에서 $x$가 짝함수이면 $b_n=0$, 홀함수이면 $a_0=a_n=0$이다. 대칭성은 선택한 시간 원점에 대한 것이므로 파형을 이동하면 사인·코사인 계수가 섞일 수 있다.

2.2 예제: 양극성 구형파

한 주기를 $-T_0/2<t<T_0/2$로 두고

\[x(t)= \begin{cases} -A,&-T_0/2<t<0,\\ A,&0<t<T_0/2 \end{cases}\]

를 주기적으로 반복한다. 홀함수이므로 $a_0=a_n=0$이다.

\[\begin{aligned} b_n&=\frac4{T_0}\int_0^{T_0/2}A\sin(n\omega_0t)\,dt\\ &=\frac{4A}{T_0n\omega_0}\big[1-\cos(n\pi)\big]\\ &=\frac{2A}{n\pi}\big[1-(-1)^n\big]. \end{aligned}\]

짝수 $n$에서는 0, 홀수 $n$에서는 $4A/(n\pi)$이다.

\[\boxed{x(t)=\frac{4A}{\pi} \left[\sin\omega_0t+\frac13\sin3\omega_0t +\frac15\sin5\omega_0t+\cdots\right]}.\]

홀수 고조파만 남는 것은 50% 듀티의 이 양극성 구형파가 반주기 반대칭 $x(t+T_0/2)=-x(t)$을 갖기 때문이다. 일반적인 듀티의 펄스에는 짝수 고조파도 존재한다.

급격한 변화를 표현하려면 높은 고조파가 필요하다. 따라서 대역폭이 제한된 회로를 통과하면 모서리가 둥글어질 수 있다. 단, 실제 회로의 파형은 진폭응답뿐 아니라 각 고조파의 위상응답에도 의존한다.

구형파는 어떻게 사인파의 합이 되는가?직접 조절하며 확인하기

2.3 불연속점과 Gibbs 현상

구간별로 매끄러운 주기함수의 푸리에 급수는 연속점에서는 함수값으로, 점프점에서는

\[\frac{x(t^-)+x(t^+)}2\]

로 수렴한다. 위 구형파의 점프점에서는 0으로 수렴한다.

항을 늘리면 점프 주변의 진동 구간은 좁아지지만, 최대 오버슈트는 점프 높이의 약 8.95%로 남는다. 점프가 $-A$에서 $A$이면 높이는 $2A$이므로 최고값은 점프 가까이에서 약 $A+0.0895(2A)=1.179A$에 접근한다.

이는 급수가 아예 수렴하지 않는다는 뜻이 아니다. 오버슈트가 생기는 위치도 항수에 따라 점프점으로 이동한다. 신호의 불연속을 유한 대역으로 근사할 때 생기는 현상이다.

2.4 예제: 톱니파와 위상 기준

$-\pi<t<\pi$에서 $x(t)=t$를 주기적으로 반복하자. 홀함수이므로

\[b_n=\frac2\pi\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt.\]

부분적분 $u=t$, $dv=\sin(nt)dt$를 적용하면

\[\int_0^\pi t\sin(nt)dt =\left[-\frac{t\cos(nt)}n+\frac{\sin(nt)}{n^2}\right]_0^\pi =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.\]

따라서

\[\boxed{t=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n\sin(nt)} \qquad(-\pi<t<\pi).\]

주기연장한 함수는 $t=\pi$에서 값이 $\pi$에서 $-\pi$로 점프한다. 급수의 그 지점 수렴값은 0이다. 원래 구간에 적힌 식 $x=t$와 그 식을 주기연장한 함수를 구분해야 한다.

2.5 반구간 코사인·사인 급수

지금까지는 한 주기 전체가 주어졌다. 그런데 길이 $L$인 전송선의 초기 전압처럼 $0<t<L$에 해당하는 한 구간의 값만 주어진 경우도 있다. 여기의 $t$는 우선 함수의 독립변수이며, 공간 문제에서는 이를 위치 $x$로 바꾸어 사용한다. 구간 밖의 값을 어떻게 정해야 앞의 푸리에 계산을 쓸 수 있을까?

주어진 구간을 거울처럼 복사하는 방법이 두 가지 있다. $x(-t)=x(t)$로 복사하면 짝연장이고, $x(-t)=-x(t)$로 부호까지 뒤집어 복사하면 홀연장이다. 둘 다 $-L<t<L$을 만든 뒤 주기 $2L$로 반복한다. 원래 구간 안에서는 같은 함수를 나타내지만, 구간 밖에서 반복하는 방식이 다르므로 서로 다른 급수가 된다.

짝연장하면 코사인 급수가 된다.

\[x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi t}{L}, \qquad a_n=\frac2L\int_0^Lx(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt.\]

홀연장하면 사인 급수가 된다.

\[x(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi t}{L}, \qquad b_n=\frac2L\int_0^Lx(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt.\]

예를 들어 $x(t)=t$이면

\[a_0=L,\qquad a_n=\frac{2L}{n^2\pi^2}\big[(-1)^n-1\big], \qquad b_n=\frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi}.\]

코사인 계수는 $\int t\cos(kt)dt=t\sin(kt)/k+\cos(kt)/k^2$를 양 끝점에 대입해 얻는다. 결과적으로

\[t=\frac L2-\frac{4L}{\pi^2} \sum_{\substack{n\ge1\\n\text{ 홀수}}}\frac1{n^2}\cos\frac{n\pi t}{L},\] \[t=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}n\sin\frac{n\pi t}{L}.\]

둘 다 $0<t<L$에서는 같은 함수지만 구간 밖의 연장 방식은 다르다. 코사인 연장은 삼각파가 되어 연속이므로 계수가 $1/n^2$로 빨리 감소하고, 사인 연장은 끝점에 점프가 있어 $1/n$로 감소한다.

사인 기저는 양 끝에서 0인 경계조건에, 코사인 기저는 도함수가 0인 경계조건에 자연스럽다. 이후 전송선·열 확산의 공간 경계조건에서 이 선택이 다시 등장한다.

3. 복소 푸리에 급수, 스펙트럼과 전력

구형파의 계수 $4A/(n\pi)$를 주파수 $nf_0$ 위치에 표시하면, 시간에 따른 파형 대신 어느 주파수가 얼마나 들어 있는지 보여 주는 그림을 얻는다. 이것이 스펙트럼이다. 통신에서는 여기에 위상도 함께 필요하므로 코사인·사인의 두 계수를 다시 복소수 하나로 묶는다.

3.1 실수 계수와 복소 계수의 관계

Euler 공식을 더하고 빼면

\[\cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}2, \qquad \sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.\]

따라서 $a_k\cos(k\omega_0t)+b_k\sin(k\omega_0t)$에서 $e^{jk\omega_0t}$ 앞에는 $a_k/2+b_k/(2j)=(a_k-jb_k)/2$가 붙는다. 반대 회전인 $e^{-jk\omega_0t}$ 앞에는 $(a_k+jb_k)/2$가 붙는다. 이들을 각각 $c_k,c_{-k}$로 부르면

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jk\omega_0t},\] \[\boxed{c_0=\frac{a_0}{2},\qquad c_k=\frac{a_k-jb_k}{2},\quad c_{-k}=\frac{a_k+jb_k}{2}\quad(k>0)}.\]

실수 신호에서는 $c_{-k}=c_k^*$이다. 음의 주파수는 신호를 복소지수로 표현할 때 필요한 반대 방향 회전 성분이며, 독립적인 추가 실수 파형이 숨어 있다는 뜻은 아니다.

\[A\cos(2\pi f_ct+\phi) =\frac A2e^{j\phi}e^{j2\pi f_ct} +\frac A2e^{-j\phi}e^{-j2\pi f_ct}.\]

따라서 양쪽 스펙트럼에는 각각 크기 $A/2$가 나타난다. 단측 진폭 스펙트럼에서 $A$로 표시하는 관례와 혼동하면 2배 오류가 생긴다.

3.2 예제: 계수를 읽어 파형 복원

\[x(t)=1+2\cos\omega_0t+3\sin2\omega_0t\]

이면

\[c_0=1,\quad c_1=c_{-1}=1,\quad c_2=-\frac{3j}{2},\quad c_{-2}=\frac{3j}{2}.\]

$k=2$의 위상은 $-\pi/2$이다. 실제로 $3\sin2\omega_0t=3\cos(2\omega_0t-\pi/2)$이므로 일치한다.

신호를 $\tau$만큼 지연하면

\[x(t-\tau)=\sum_k\underbrace{c_ke^{-jk\omega_0\tau}}_{\text{새 계수}} e^{jk\omega_0t}.\]

크기는 그대로이고 위상만 주파수에 비례해 변한다. 진폭 스펙트럼만으로 시간 파형을 일반적으로 복원할 수 없는 이유이다.

3.3 Parseval 관계와 RMS

계수를 알면 원래 파형을 다시 그리지 않고도 전력을 구할 수 있을까? 저항의 순간 소비전력은 전압의 제곱에 비례하므로, 한 주기 평균제곱을 계산하면 된다. 평균제곱의 제곱근을 RMS(root mean square, 실효값)라고 부른다. 예를 들어 코사인의 평균전압은 0이어도 저항을 가열하므로 RMS는 0이 아니다.

아래의 $\int_{T_0}$는 길이가 $T_0$인 임의의 한 주기 적분을 뜻한다. 직교성을 이용하면

\[\boxed{P_x=\frac1{T_0}\int_{T_0}\vert x(t)\vert^2dt =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\vert c_k\vert^2}.\]

실수 계수로 쓰면

\[P_x=\frac{a_0^2}{4}+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).\]

유도에서는 제곱 크기를 두 합의 곱으로 풀어 쓴다.

\[\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)x^*(t)dt =\sum_k\sum_m c_kc_m^* \underbrace{\frac1{T_0}\int_{T_0}\phi_k(t)\phi_m^*(t)dt}_{\delta_{km}} =\sum_kc_kc_k^*.\]

서로 다른 번호의 교차항은 사라지고 자기 성분의 제곱만 남는다. 이것이 Parseval 관계의 이유다. 먼저 유한 합에서 성립하고, 평균제곱 수렴하는 급수로 확장한다.

전압 신호라면 $P_x$의 단위는 $\mathrm{V^2}$이다. 저항 $R$에 전달되는 실제 평균전력은 $P_x/R$이고, RMS 전압은 $\sqrt{P_x}$이다.

앞 예제는

\[P_x=1^2+\frac{2^2}{2}+\frac{3^2}{2}=7.5, \qquad V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{7.5}\approx2.739\,\mathrm V\]

이다. $50\,\Omega$ 부하에 걸린 전압이라면 평균전력은 $7.5/50=0.15\,\mathrm W$이다.

구형파는 언제나 크기 $A$이므로 $P_x=A^2$이다. 기본파만의 평균제곱은

\[\frac12\left(\frac{4A}{\pi}\right)^2=\frac{8A^2}{\pi^2}\approx0.8106A^2.\]

전체의 약 81.1%가 기본파에 있지만 나머지 고조파가 모서리를 만든다. 전력을 많이 보존해도 파형 모양까지 똑같다는 보장은 없다.

3.4 에너지 신호와 전력 신호 구분

유한 펄스의 에너지는 $E_x=\int_{\mathbb R}\vert x(t)\vert^2dt$로 정의한다. 영이 아닌 주기신호를 무한히 관측하면 총에너지는 무한대이므로 대신 시간평균 전력을 사용한다.

한 번만 나타나는 펄스는 주기 급수 대신 다음 절에서 배울 Fourier 변환으로 분해한다. 그때의 스펙트럼을 $X(f)$라고 쓰면, 에너지 역시 주파수별 제곱 크기를 모아 구할 수 있다. 지금은 아래 식을 급수의 제곱합에 대응하는 결과로만 읽고, $X(f)$의 실제 계산은 4절에서 따라가자.

\[\boxed{\int_{\mathbb R}\vert x(t)\vert^2dt =\int_{\mathbb R}\vert X(f)\vert^2df}\]

이다. 주기신호는 관측시간을 무한히 늘려도 계속 에너지를 공급하므로, 이 유한 에너지 식 대신 앞에서 구한 한 주기 평균과 급수 계수의 제곱합을 사용한다.

4. 급수에서 Fourier 변환으로

구형파처럼 반복되는 신호는 $f_0,2f_0,\ldots$라는 일정 간격의 주파수로 나타냈다. 하지만 통신 패킷 속 펄스 하나나 회로를 켤 때 생기는 한 번의 변화에는 반복 주기 $T_0$가 없다. 주기를 정할 수 없는 신호도 주파수별로 분해하려면 어떻게 해야 할까? 펄스를 아주 멀리 떨어뜨려 반복시킨 뒤, 반복 간격을 무한히 늘리는 방법으로 답을 찾자.

4.1 선 스펙트럼이 연속 스펙트럼이 되는 과정

유한 펄스 $x(t)$ 하나를 주기 $T_0$마다 반복한 신호를 $x_{T_0}(t)$라고 하자. 원래의 펄스와 반복된 신호를 구분하기 위한 표기이다. 먼저 펄스 하나에 대해, 정수배 주파수에만 한정하지 않고 임의의 실수 주파수 $f$와 비교하는 적분을 정의한다.

\[\boxed{X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}.\]

이것이 Fourier 변환이다. 소문자 $x(t)$는 시간 파형이고 대문자 $X(f)$는 주파수에 따른 복소수 값이다. 급수의 계수와 달리 $1/T_0$로 나누지 않았으므로, 전압 신호라면 $X(f)$의 단위는 V·s이다. 아래에서 $X(f)df$를 더해야 전압 단위로 돌아오는 이유이기도 하다. $\mathbb R$은 실수축 전체, 즉 적분 범위 $-\infty$부터 $\infty$까지를 짧게 쓴 기호이다.

펄스들이 겹치지 않을 정도로 $T_0$를 길게 잡으면, 한 주기에서 펄스 바깥은 0이다. 따라서 급수 계수의 적분을 실수축 전체로 늘려도 값이 같고

\[c_k=\frac1{T_0}\int_{\mathbb R}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt =f_0X(kf_0).\]

급수는

\[x_{T_0}(t)=\sum_kX(kf_0)e^{j2\pi kf_0t}f_0.\]

$T_0\to\infty$이면 $f_0=1/T_0\to0$이다. 위 합에서 $kf_0$는 주파수축 위의 위치이고, 마지막 $f_0$는 이웃한 주파수 사이의 폭이다. 직사각형 넓이를 더해 적분을 만드는 것처럼, 이 폭을 0으로 보내면 $kf_0$가 연속변수 $f$가 되고 $f_0$가 $df$가 된다. 시간축에서는 다른 반복 펄스들이 무한히 멀어져 펄스 하나가 남는다. 그래서

\[x(t)=\int_{\mathbb R}X(f)e^{j2\pi ft}df.\]

이것이 Fourier 적분과 역변환을 이해하는 방법이다. 엄밀한 극한 교환에는 적절한 수렴 조건이 필요하다. 절대적분 가능 신호, 제곱적분 가능 신호, 델타를 포함하는 일반화 함수는 각각의 의미에서 변환을 다룬다.

4.2 예제: 직사각형 펄스의 sinc 스펙트럼

방금 정의한 변환을 실제로 계산해 보자. $A$는 펄스 높이이고 $\tau>0$는 지속시간이다. 원점의 양쪽으로 $\tau/2$씩 놓으면 시간 이동에 따른 위상인자 없이 폭의 효과를 볼 수 있다. 계산 결과에 반복해서 등장하는 함수를 먼저 이름 붙이면 편리하다.

\[\operatorname{sinc}(u)= \begin{cases}\dfrac{\sin(\pi u)}{\pi u},&u\ne0,\\1,&u=0.\end{cases}\]

이 글에서는 이 정규화 sinc를 사용한다. $u=0$의 값은 $\sin v/v\to1$이라는 극한으로 정한다. 이제

\[x(t)= \begin{cases}A,&\vert t\vert<\tau/2,\\0,&\vert t\vert>\tau/2\end{cases}\]

이면

\[\begin{aligned} X(f)&=A\int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-j2\pi ft}dt\\ &=A\frac{e^{j\pi f\tau}-e^{-j\pi f\tau}}{j2\pi f}\\ &=\boxed{A\tau\operatorname{sinc}(f\tau)}. \end{aligned}\]

$f=0$에서는 극한으로 $X(0)=A\tau$, 즉 펄스 면적이다. 첫 영점은 $f=\pm1/\tau$이다. 펄스가 짧아지면 주엽이 넓어진다.

직사각형 펄스는 엄밀히 대역제한된 신호가 아니다. sinc의 부엽이 무한히 이어진다. $2/\tau$는 양쪽 첫 영점 사이의 주엽 폭이지 전체 대역폭이 아니다.

펄스 폭과 스펙트럼 폭직접 조절하며 확인하기

일반적인 시간 스케일 성질도 같은 결론을 준다.

\[x(at)\;\longleftrightarrow\; \frac1{\vert a\vert}X\left(\frac fa\right),\qquad a\ne0.\]

시간을 압축하면 주파수축은 확장된다. 통신에서 심볼 시간을 짧게 하여 더 빠르게 전송하려면 보통 더 넓은 대역이 필요한 이유와 연결된다.

4.3 변환 성질을 계산에 쓰는 법

펄스를 지연시키거나 반송파에 곱할 때마다 적분을 처음부터 다시 할 필요는 없다. 원 신호의 변환을 알면 다음 성질로 바뀐 스펙트럼을 구할 수 있다. 표의 화살표 관계는 같은 신호의 시간 표현과 주파수 표현을 연결한다. 여기서 $*$가 두 함수 사이에 있으면 합성곱으로, $(x*h)(t)=\int_{\mathbb R}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$이다. 위첨자 별표인 복소켤레와 다른 표기다. 합성곱이 회로에서 왜 필요한지는 5.1절에서 이어서 설명한다.

시간영역	주파수영역
$a x(t)+b y(t)$	$aX(f)+bY(f)$
$x(t-\tau)$	$e^{-j2\pi f\tau}X(f)$
$e^{j2\pi f_ct}x(t)$	$X(f-f_c)$
$x’(t)$	$j2\pi fX(f)$
$(x*h)(t)$	$X(f)H(f)$
$x(t)h(t)$	$(X*H)(f)$

미분 성질은 부분적분에서 경계항이 사라지는 신호에 직접 적용한다. 상수나 계단처럼 경계항을 단순히 버릴 수 없는 신호는 델타를 포함한 일반화 함수로 처리한다.

예를 들어 $u(t)$를 $t<0$에서 0, $t>0$에서 1인 단위계단 함수라 하자. $e^{-at}u(t)$는 $t=0$에서 시작하여 이후 지수적으로 감소하는 신호다. $a>0$에서 $x(t)=e^{-at}u(t)$이면

\[X(f)=\int_0^\infty e^{-(a+j2\pi f)t}dt =\boxed{\frac1{a+j2\pi f}}.\]

시간 신호가 빠르게 감소할수록, 즉 $a$가 클수록 스펙트럼이 넓어진다.

4.4 주기신호의 Fourier 변환

펄스와 주기신호의 스펙트럼을 같은 주파수축에 표시하려면 한 가지 도구가 더 필요하다. 무한히 지속되는 순수 사인파의 에너지는 특정 주파수에 집중되어 있어서, 펄스처럼 유한한 높이의 연속 곡선으로 나타내기 어렵다. 이때 사용하는 Dirac 델타는 폭이 0인 곳에 면적을 모은 것을 적분으로 다루는 기호이다.

\[\int_{\mathbb R}\delta(f-f_c)df=1, \qquad \int_{\mathbb R}G(f)\delta(f-f_c)df=G(f_c).\]

두 번째 식이 핵심이다. 적분 안에서 곱해진 함수의 $f_c$ 위치 값만 골라낸다. 1절의 $\delta_{km}$는 정수 번호를 비교하는 0 또는 1인 수였고, 여기의 $\delta(f-f_c)$는 연속변수 적분에서 작용하는 Dirac 델타이다.

이 성질을 역변환에 넣으면 $\int\delta(f-f_c)e^{j2\pi ft}df=e^{j2\pi f_ct}$가 된다. 따라서 일반화 함수 의미에서

\[e^{j2\pi f_ct}\longleftrightarrow\delta(f-f_c).\]

따라서 주기신호의 변환은

\[\boxed{X(f)=\sum_kc_k\delta(f-kf_0)}\]

이다. 선의 위치는 고조파 주파수이고 가중치는 $c_k$이다. 그래프의 막대 높이를 델타 함수의 유한한 실제 높이라고 해석하지 않는다. 델타는 적분 안에서 면적과 위치로 작용한다.

5. 합성곱, 필터와 회로의 주파수응답

이제 신호를 분해할 수 있으니, 처음의 질문인 “RC 회로가 구형파를 어떻게 바꾸는가?”로 돌아오자. 회로의 시간영역 설명은 미분방정식이나 합성곱이고, 주파수영역 설명은 각 성분에 곱하는 이득이다. 두 설명이 같은 결과를 준다는 것을 먼저 확인한다.

5.1 왜 LTI 시스템에서 복소지수가 특별한가?

LTI는 linear time-invariant, 즉 선형 시불변이라는 뜻이다. 선형성은 입력들을 더하면 출력들도 더해진다는 성질이고, 시불변성은 같은 입력을 늦게 넣으면 출력도 그만큼 늦어질 뿐 모양은 같다는 성질이다. 계수가 시간에 따라 바뀌지 않는 이상적인 RLC 회로는 이 모델로 다룰 수 있다.

아주 짧고 면적이 1인 입력을 이상화한 $\delta(t)$에 대한 출력을 임펄스응답 $h(t)$라고 한다. $\tau$만큼 늦게 넣으면 $h(t-\tau)$가 나온다. 임의의 입력을 $x(t)=\int x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$처럼 작은 입력들의 합으로 생각하면, 선형성으로 출력은 $\int x(\tau)h(t-\tau)d\tau$가 된다. 적분변수를 바꾸면 다음 합성곱 식이다. 초기상태가 0이라는 조건은 커패시터 등에 미리 저장된 에너지의 별도 응답이 없다는 뜻이다.

\[y(t)=\int_{\mathbb R}h(\tau)x(t-\tau)d\tau\]

이다. 입력을 $x(t)=e^{j2\pi ft}$로 두면

\[y(t)=e^{j2\pi ft}\int_{\mathbb R}h(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau =\boxed{H(f)e^{j2\pi ft}}.\]

파형의 주파수는 바뀌지 않고 복소수 $H(f)$만 곱해진다. 그래서 복소지수는 LTI 시스템의 고유함수라고 부른다. $\vert H(f)\vert$는 진폭 변화, $\arg H(f)$는 위상 변화이다.

여러 주파수의 합도 선형성으로 각각 처리할 수 있다.

\[y(t)=\sum_kc_kH(kf_0)e^{j2\pi kf_0t}.\]

다만 스위치를 켠 직후의 초기조건에 의한 과도응답까지 무조건 이 식 하나로 설명하는 것은 아니다. 안정한 시스템의 주기 정상상태 응답을 계산할 때 특히 유용하다.

5.2 예제: RC 저역통과 필터

입력 전압을 $x(t)$, 커패시터 양단의 출력 전압을 $y(t)$라 하자. 저항과 커패시터가 직렬이므로 같은 전류 $i=C y’$가 흐른다. 저항 전압은 $Ri=RCy’$이고, 입력은 저항 전압과 커패시터 전압의 합이다. Kirchhoff 전압법칙으로

\[RC\,y'(t)+y(t)=x(t).\]

영초기조건에서 Fourier 변환하면

\[(1+j2\pi fRC)Y(f)=X(f), \qquad \boxed{H(f)=\frac1{1+jf/f_c}},\] \[f_c=\frac1{2\pi RC},\quad \vert H(f)\vert=\frac1{\sqrt{1+(f/f_c)^2}},\quad \arg H(f)=-\tan^{-1}(f/f_c).\]

$f=f_c$에서는 진폭이 $1/\sqrt2$, 전력이 절반이다. $20\log_{10}(1/\sqrt2)\approx-3.01\,\mathrm{dB}$이다.

기본주파수가 $f_0$인 구형파를 입력하고 $f_c=f_0$라 하자. 홀수 $n$의 출력 진폭과 위상은

\[A_{n,\mathrm{out}}=\frac{4A}{n\pi\sqrt{1+n^2}}, \qquad \phi_n=-\tan^{-1}n.\]

기본파 진폭은 약 $0.900A$, 3차는 약 $0.134A$, 5차는 약 $0.050A$이다. 입력에서 $1/n$이던 고조파 감소가 필터를 거쳐 높은 $n$에서 대략 $1/n^2$가 된다.

RC 필터가 구형파의 고조파를 바꾸는 과정직접 조절하며 확인하기

위 그래프는 유한 고조파로 구성한 정상상태 출력이다. 시간영역에서도 반주기 동안 $RC\,y’+y=\pm A$를 풀어 지수적인 충·방전 곡선을 얻을 수 있다. 서로 다른 방법으로 같은 현상을 보는 것이다.

5.3 위상과 군지연

왜 크기만 맞으면 충분하지 않을까? 서로 다른 고조파의 상대위상이 변하면 합쳐진 파형도 달라지기 때문이다.

이상적인 지연은 $H(f)=e^{-j2\pi f\tau_0}$이고, 위상을 $\phi(\omega)$로 쓸 때 군지연은

\[\boxed{\tau_g=-\frac{d\phi}{d\omega}}.\]

$\phi=-\omega\tau_0$이면 모든 주파수가 동일한 $\tau_0$만큼 지연된다. 비선형 위상에서는 대역 내 성분의 상대지연이 달라져 펄스가 퍼질 수 있다. 군지연의 포락선 지연 해석은 신호가 충분히 좁은 대역에 있고 그 대역에서 응답이 완만하다는 조건을 함께 본다.

5.4 Laplace 변환과 Fourier 변환의 연결

양측 Laplace 변환은

\[X(s)=\int_{\mathbb R}x(t)e^{-st}dt,\qquad s=\sigma+j2\pi f\]

이므로 $e^{-\sigma t}x(t)$의 Fourier 변환으로 볼 수 있다. 수렴영역이 허수축을 포함할 때 $s=j2\pi f$에서 Fourier 변환과 연결된다.

예를 들어 $e^{-at}u(t)$의 수렴영역은 $\operatorname{Re}s>-a$이고 $a>0$이면 허수축을 포함한다. 반면 $e^{at}u(t)$, $a>0$의 변환 $1/(s-a)$에 형식적으로 $s=j2\pi f$를 넣어도 원 신호의 보통 Fourier 적분이 수렴하는 것은 아니다.

회로의 초기조건과 과도응답에는 Laplace가 편리하고, 안정한 시스템의 주파수별 응답과 통신 대역 분석에는 Fourier가 편리하다.

6. 샘플링, DFT와 FFT

6.1 샘플링하면 왜 스펙트럼이 반복되는가?

아날로그 필터 뒤에는 보통 ADC가 있다. ADC는 연속시간 파형 전체를 저장하지 않고 일정한 간격의 값들을 읽는다. 진폭을 유한 비트로 표현하는 양자화는 별개의 단계이며, 여기서는 먼저 시간을 띄엄띄엄 읽는 것만으로 어떤 정보가 사라질 수 있는지 살펴본다.

샘플 주기 $T_s$, 샘플링 주파수 $f_s=1/T_s$로 두고 이상적인 임펄스 샘플링을

\[x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) =\sum_nx(nT_s)\delta(t-nT_s)\]

로 쓴다. 임펄스열의 Fourier 변환은 $f_s\sum_k\delta(f-kf_s)$이다. 시간의 곱이 주파수의 합성곱이므로

\[\boxed{X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(f-kf_s)}.\]

원래 스펙트럼이 $f_s$ 간격으로 복제된다. $\vert f\vert\le B$에 대역제한된 저역 신호라면 $f_s>2B$일 때 복제본이 겹치지 않아 이상적인 저역통과 필터로 분리할 수 있다. 실제 설계에서는 아날로그 필터의 전이대역과 여유를 둔다.

등호 $f_s=2B$에서는 경계의 사인파 위상 등에 따라 정보가 사라질 수 있으므로 일반적으로 안전한 복원 조건으로 엄격한 부등식을 사용한다.

6.2 예제: 900 Hz가 100 Hz처럼 보이는 이유

$f_s=1000\,\mathrm{Hz}$에서

\[\cos\left(2\pi900\frac n{1000}\right) =\cos(2\pi n-2\pi0.1n) =\cos(2\pi0.1n).\]

따라서 900 Hz와 100 Hz 코사인은 완전히 같은 샘플을 만든다. 디지털 처리만으로 둘 중 무엇이 원래 입력이었는지 알 수 없다.

샘플링 후 서로 구분되지 않는 주파수직접 조절하며 확인하기

이것이 aliasing이다. ADC 앞에 아날로그 anti-aliasing 필터를 두는 이유는 샘플링 전에 원래의 고주파 성분을 제거하기 위해서다. 샘플링 후의 디지털 필터로 이미 겹친 성분을 일반적으로 분리할 수는 없다.

6.3 이상적인 복원과 sinc 보간

샘플값을 직선으로 이으면 원래 파형이 정확히 돌아올까? 일반적으로는 아니다. 앞에서 복제된 스펙트럼 가운데 중앙의 한 벌만 남기는 이상적인 저역통과 필터를 생각하자. 통과대역을 $\vert f\vert<f_s/2$, 이득을 $T_s$로 잡으면 복제식의 배율 $f_s$도 상쇄된다. 이 필터의 임펄스응답은

\[h_{\mathrm{rec}}(t)=T_s\int_{-f_s/2}^{f_s/2}e^{j2\pi ft}df =\operatorname{sinc}(t/T_s).\]

샘플 임펄스 $x(nT_s)\delta(t-nT_s)$ 하나를 넣으면 그 높이만큼 키우고 그 시각만큼 이동한 sinc가 나온다. 전부 더하면, 앞의 대역제한 조건 아래에서

\[\boxed{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right)}.\]

각 sinc는 자기 샘플 위치에서는 1, 다른 정수 샘플 위치에서는 0이다. 그래서 모든 샘플값을 정확히 통과한다. 다만 정확한 sinc 복원은 무한한 시간 길이와 이상적인 대역제한을 가정한다. 실제 DAC와 재구성 필터는 이를 근사한다.

6.4 DFT는 유한한 샘플 벡터의 좌표 변환

실제 컴퓨터에는 연속함수도 무한 샘플열도 넣을 수 없다. $x[n]=x(nT_s)$라는 표기로 $N$개의 샘플 $x[0],\ldots,x[N-1]$을 모았다고 하자. 대괄호는 정수 번호로 값을 고르는 이산시간 표기다. $N$차원 벡터를 $N$개의 서로 직교하는 복소지수 벡터로 표현하는 것이 DFT(discrete Fourier transform, 이산 푸리에 변환)이다. $n$은 시간 샘플 번호, $k$는 주파수 성분 번호이며 각각 $0$부터 $N-1$까지 사용한다.

\[\boxed{X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}}, \qquad \boxed{x[n]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}}.\]

연속 적분이 유한 합으로 바뀌었다. 직교성은

\[\sum_{n=0}^{N-1}e^{j2\pi(k-m)n/N} =\begin{cases}N,&k=m\pmod N,\\0,&\text{그 외}\end{cases}\]

이다. 여기서 $k=m\pmod N$은 두 번호의 차이가 $N$의 정수배라는 뜻이다. 실제로 $q=e^{j2\pi(k-m)/N}$로 놓으면, 번호가 다를 때 $q\ne1$이고 $q^N=1$이다. 따라서 합은 $(1-q^N)/(1-q)=0$이다. 번호가 같으면 모든 항이 1이어서 합이 $N$이다. 1.2절의 “정수 바퀴의 회전이 상쇄된다”는 원리가 이번에는 유한 합에서 나타난 것이다.

이 정의에서는 정변환에서 $N$으로 나누지 않으므로 $X[k]$는 평균 계수보다 $N$배 크다. 대신 역변환에서 $1/N$을 넣어 원 샘플을 복원한다.

FFT는 이 같은 DFT를 효율적으로 계산하는 알고리즘이다. 별도의 새로운 변환이 아니다. 대표적인 알고리즘은 계산량을 직접 계산의 $O(N^2)$에서 $O(N\log N)$ 수준으로 줄인다.

6.5 주파수 눈금, 정규화와 누설

DFT의 각 주파수 칸을 bin이라고 부른다. $k$번 기저는 $N$개 샘플 동안 $k$바퀴 회전하므로 주파수는 $kf_s/N$이다. 관측 블록의 길이를 $T_{\mathrm{obs}}=NT_s$라고 하면 이웃 bin 간격은

\[\Delta f=\frac{f_s}{N}=\frac1{T_{\mathrm{obs}}}.\]

예를 들어 $f_s=8000\,\mathrm{Hz}$, $N=800$이면 관측시간은 $0.1\,\mathrm s$, 간격은 10 Hz이다. 1000 Hz는 정확히 100번 bin에 놓이지만 1003 Hz는 정수 bin 사이에 놓인다.

유한 관측은 무한 신호에 창함수 $w(t)$를 곱하는 것이다. 따라서 주파수에서는 원 스펙트럼과 $W(f)$가 합성곱되어 퍼진다. 이를 스펙트럼 누설이라고 한다. 사각창 대신 Hann 창 등을 쓰면 부엽을 낮추지만 주엽이 넓어져 가까운 두 주파수를 구분하는 능력과 교환관계가 생긴다.

DFT bin과 유한 관측에 의한 누설직접 조절하며 확인하기

0을 뒤에 붙이는 zero padding은 주파수축을 더 촘촘히 그릴 수 있게 하지만, 실제 관측시간을 늘리지 않으므로 두 가까운 성분을 구분할 물리적 정보를 새로 만들지 않는다.

DFT 뒤쪽 번호는 음의 주파수로도 읽는다. 예를 들어 $N-1$번 기저는 샘플 시점에서 $-1$번 기저와 같으므로 $-f_s/N$ 성분이다. 실수 코사인은 양·음 주파수 한 쌍을 만든다. 정확한 정수 bin의 코사인 $A\cos(2\pi k_0n/N)$은 그 두 bin에 $AN/2$씩 나타나므로, 양의 쪽만 그리는 단측 진폭을 구할 때 $2\vert X[k]\vert/N$을 사용한다. DC와, 짝수 $N$일 때 $f_s/2$에 해당하는 Nyquist bin은 별도의 짝이 없어 2배 하지 않는다.

창을 곱하면 진폭도 줄어든다. 창의 평균 $G_c=(1/N)\sum_n w[n]$를 coherent gain이라고 부르며, 다른 성분의 누설이 무시되는 bin 중심 성분의 진폭을 읽을 때 이 배율을 보정한다. 전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 단위 주파수 폭당 전력을 나타내므로, 지금의 진폭 표시와 정규화가 다르다. 여기서는 우선 단측 진폭을 정확히 읽는 데 집중한다.

DFT의 Parseval은 위 관례에서

\[\sum_n\vert x[n]\vert^2=\frac1N\sum_k\vert X[k]\vert^2\]

이다.

7. 통신: 변조, I/Q와 펄스 성형

지금까지는 이미 주어진 신호를 분석했다. 이제 정보를 담은 신호를 직접 만들어 보자. 통신 송신기는 비트나 음성 정보를 전송하기 좋은 파형으로 바꾸고, 수신기는 그 파형에서 정보를 다시 읽는다. 여기에서도 필요한 일은 주파수를 옮기고, 직교하는 성분의 계수를 추출하는 것이다.

7.1 왜 반송파에 곱하는가?

음성이나 심볼 펄스처럼 정보 자체를 나타내는 비교적 낮은 주파수의 신호를 메시지 $m(t)$라고 하자. 그 스펙트럼 $M(f)$가 0 Hz 주변에 있으면 기저대역(baseband) 신호라고 부른다. 무선으로 보낼 때는 할당된 주파수 대역과 안테나·회로에 맞춰 이 정보를 높은 주파수 주변으로 옮겨야 한다. 그 이동을 위해 곱하는 빠른 사인파가 반송파(carrier)이고, 정보를 반송파에 싣는 과정이 변조이다.

메시지의 대역이 $\vert f\vert\le B$이고 $f_c>B$인 반송파를 사용하자. 가장 직접적인 방법은 메시지와 코사인을 곱하는 것이다. 이 방식을 DSB-SC(double-sideband suppressed-carrier, 양측파대 억압 반송파)라고 한다. 이름의 뜻은 계산 결과에서 확인할 수 있다.

\[s(t)=m(t)\cos(2\pi f_ct)\]

의 변환은

\[\boxed{S(f)=\frac12M(f-f_c)+\frac12M(f+f_c)}.\]

Euler 공식으로 코사인을 두 복소지수로 분리하면 주파수 이동 성질이 곧바로 나온다. 원래 0 Hz 주변에 있던 정보가 $\pm f_c$ 주변으로 이동한다.

예를 들어 $m(t)=\cos(2\pi1000t)$, $f_c=100\,\mathrm{kHz}$이면

\[s(t)=\frac12\cos(2\pi101000t)+\frac12\cos(2\pi99000t).\]

99 kHz와 101 kHz의 두 측파대가 생긴다. 일반적인 대역 $B$의 메시지는 양의 반송파 주변에서 $f_c-B$부터 $f_c+B$까지, 즉 폭 $2B$를 차지한다.

곱셈이 스펙트럼을 이동시키는 모습직접 조절하며 확인하기

위 예에서 반송파 중심인 100 kHz 자체는 없고 양옆의 두 성분만 있다. 그래서 “양측파대”, 그리고 메시지에 DC가 없을 때 별도 반송파 선이 없다는 뜻의 “억압 반송파”라는 이름을 사용한다.

일반 AM은 $s=A_c[1+\mu m(t)]\cos(2\pi f_ct)$처럼 일정한 반송파 성분을 추가한다. $A_c$는 반송파 진폭이고 $\mu$는 정보에 따라 진폭을 얼마나 변화시킬지 정하는 변조지수이다. 빠르게 진동하는 파형의 바깥 윤곽을 포락선이라고 하는데, $\vert m(t)\vert\le1$이고 $0\le\mu\le1$이면 $1+\mu m(t)$가 음수가 되지 않아 이 윤곽에서 메시지를 읽을 수 있다. 반면 DSB-SC는 메시지가 음수가 될 때 반송파 위상이 뒤집히므로, 윤곽만 읽으면 부호 정보를 잃는다. 그래서 다음의 동기 복조가 필요하다.

7.2 동기 복조와 위상 오차

수신 신호에 $2\cos(2\pi f_ct)$를 곱하면

\[2s(t)\cos(2\pi f_ct) =m(t)\big[1+\cos(4\pi f_ct)\big].\]

저역통과 필터가 $2f_c$ 주변 항을 제거하면 $m(t)$가 남는다.

수신 반송파에 위상 오차 $\phi$가 있으면 저역 성분은 $m(t)\cos\phi$가 된다. $\phi=\pi/2$이면 정보가 사라질 수 있다. 반송파 동기화가 필요한 이유다. 주파수 오차가 있으면 $\phi$가 시간에 따라 변하여 복조 신호가 흔들린다.

7.3 I/Q는 두 개의 직교 좌표이다

동기 복조에서는 코사인 기준으로 메시지 하나를 읽었다. 그러면 그와 90도 다른 사인 기준에도 다른 정보를 실을 수 있지 않을까? 한 주기에서 사인과 코사인의 곱 평균은 0이므로 두 좌표를 나눠 읽을 수 있다. 코사인 쪽 계수를 I(in-phase), 90도 차이 나는 쪽 계수를 Q(quadrature)라고 한다.

두 실수 신호를 $u(t)=I(t)+jQ(t)$로 묶은 것을 복소 포락선이라 부르자. 앞에서 포락선을 외곽의 크기로 설명했지만, 복소 포락선은 크기 $\vert u\vert$와 위상 $\arg u$를 모두 보관한다. 여기의 $u(t)$는 이 절에서 정의한 복소 신호이며, 지수감쇠 예제의 단위계단 $u(t)$와 역할이 다르다. 실수 RF(radio frequency, 무선주파수) 신호는

\[\boxed{s(t)=\operatorname{Re}\{u(t)e^{j2\pi f_ct}\} =I(t)\cos(2\pi f_ct)-Q(t)\sin(2\pi f_ct)}.\]

$I,Q$는 실제로 별도의 허수 전압이 아니라, 서로 90도 차이 나는 두 기준파의 계수이다. 수신기에서 $2\cos(2\pi f_ct)$와 $-2\sin(2\pi f_ct)$를 각각 곱해 저역통과시키면 $I,Q$를 얻는다.

이상적인 대역 분리와 동기화를 가정하면, 교차항은 고주파로 이동하여 제거되고 자기 성분의 $\cos^2,\sin^2$ 평균인 $1/2$가 앞의 2와 상쇄된다.

I/Q 좌표와 반송파의 진폭·위상직접 조절하며 확인하기

$I=1$, $Q=1$이면 $u=\sqrt2e^{j\pi/4}$이므로

\[s(t)=\sqrt2\cos(2\pi f_ct+\pi/4).\]

한 번의 전송 구간에 선택하는 값 하나를 심볼이라고 부른다. QPSK(quadrature phase-shift keying)는 복소평면의 네 위상점을 사용하여 한 심볼에 2비트를 대응시킨다. 예를 들어 $00,01,11,10$을 차례로 $(1+j),(-1+j),(-1-j),(1-j)$에 대응시키고 $\sqrt2$로 나누면, 모든 점의 제곱 크기가 1이 된다. 수신기는 복원한 I/Q 좌표가 어느 점에 가까운지 보고 비트를 판단한다. 이렇게 가능한 심볼 점들을 표시한 그림이 성상도이다.

16-QAM(quadrature amplitude modulation)은 여러 진폭과 위상을 가진 16개 점을 사용하므로 한 심볼에 4비트를 대응시킬 수 있다. 하지만 이 점들은 아직 시간 파형이 아니다. 한 점을 얼마 동안 어떤 모양으로 보낼지 정해야 실제 송신 신호가 된다. 다음 절의 펄스 성형이 그 단계다.

7.4 심볼을 보낼 때 왜 ISI가 생기는가?

심볼을 순간적인 값으로만 보내지 않고 공통된 기본 펄스 $p(t)$에 곱해서 보낸다고 하자. $a_k$는 $k$번째 심볼의 실수 또는 복소 계수이고, $T$는 심볼을 보내는 시간 간격이다. 첫 심볼은 $a_0p(t)$, 다음은 $a_1p(t-T)$처럼 $T$씩 늦춰 보낸다. 전부 합친 송신 신호는

\[x(t)=\sum_ka_kp(t-kT)\]

로 만들자. 송신필터, 채널, 수신필터를 합친 펄스를 $g(t)$라 하면 수신 샘플은

\[y(nT)=a_ng(0)+\sum_{k\ne n}a_kg((n-k)T).\]

두 번째 항은 다른 심볼의 영향, 즉 심볼간 간섭(ISI)이다. 무ISI 조건은 정규화하여

\[\boxed{g(0)=1,\qquad g(nT)=0\quad(n\ne0)}\]

이다. 펄스들이 시간에서 완전히 겹치지 않아야 한다는 뜻은 아니다. 샘플 시점에서 다른 펄스의 기여가 0이면 된다.

이상적인 $g(t)=\operatorname{sinc}(t/T)$는 이를 만족하며 대역은 $B=1/(2T)$이다. 하지만 시간으로 무한히 길기 때문에 실제로는 유한 길이 필터로 근사한다.

이상적인 sinc의 스펙트럼은 끝에서 갑자기 끊기는 직사각형이다. 그 경계를 부드럽게 만들어 시간 꼬리를 더 빨리 줄이는 대표적인 선택이 raised-cosine(상승 코사인) 펄스다. 이상적 합성 펄스를 $g(0)=1$로 정규화하면

\[g(t)=\operatorname{sinc}(t/T) \frac{\cos(\pi\alpha t/T)}{1-(2\alpha t/T)^2}, \qquad 0\le\alpha\le1.\]

분모가 0인 $t=\pm T/(2\alpha)$에서는 극한값을 사용하며, 실제 발산점이 아니다. 그 값은 $(\pi/4)\operatorname{sinc}(1/(2\alpha))$이다. $\alpha=0$이면 sinc로 돌아간다. 정수 심볼 시점에서는 sinc의 영점이 남아 무ISI 조건을 만족한다. $\alpha$는 roll-off라고 부르며 스펙트럼 경계의 완만한 전이 부분에 얼마나 여유 대역을 쓸지 정한다. 이에 따라 대역을

\[B=\frac{1+\alpha}{2T}\]

로 넓히는 대신 시간 꼬리 특성을 조절한다. 정확한 펄스는 여전히 무한 길이이지만, 실제 필터로 잘라 구현할 때의 특성이 달라진다. 송신기와 수신기에 필터를 나눠 둘 때는, 원하는 주파수응답 $G(f)$의 제곱근을 각각 맡길 수 있다. 두 응답을 곱하면 $\sqrt{G(f)}\sqrt{G(f)}=G(f)$가 되기 때문이다. 이들이 root-raised-cosine(RRC) 필터이며, 채널 왜곡이 보상된 이상적 상황에서 두 필터의 합성 응답이 raised-cosine이 된다. 무ISI 조건은 수신 샘플에 도달한 합성 펄스에 적용한다.

예를 들어 $1/T=1\,\mathrm{Msymbol/s}$, $\alpha=0.25$이면 복소 기저대역의 한쪽 대역은 625 kHz이고, RF에서 전체 점유 폭의 이상적 기준은 1.25 MHz이다. 실제 점유대역은 스펙트럼 마스크와 측정 정의에 따라 따로 정한다.

7.5 정합필터와 상관 검파

펄스 모양을 정했어도 수신 신호에는 잡음이 섞인다. 이제 질문은 “정해진 판정 시점에서 펄스를 잡음보다 가장 뚜렷하게 보이게 하는 필터는 무엇인가?”이다. 이를 신호전력 대 잡음전력의 비인 SNR(signal-to-noise ratio)을 최대화하는 문제로 쓴다.

앞 절의 심볼 간격과 혼동하지 않도록 여기서는 판정 시점을 $t_d$라고 하자. 수신 신호가 $r(t)$일 때 필터 출력은 $y(t_d)=\int r(\tau)h(t_d-\tau)d\tau$이다. 이 값이 알려진 펄스와의 내적 $\int r(\tau)p^{*}(\tau)d\tau$ 가 되게 하려면 $h(t_d-\tau)=Kp^*(\tau)$이면 된다. 즉

\[h(t)=Kp^*(t_d-t)\]

형태가 된다. $K$는 전체 이득을 정하는 상수다. 원 펄스의 시간을 뒤집고 켤레를 취한 뒤 판정 시점에 맞게 이동한 이 필터를 정합필터라고 한다. 이 구조가 왜 최적인지도 확인하자.

백색잡음은 주파수별 잡음 전력 밀도가 일정한 이상모델이다. 이때 출력 잡음의 분산은 필터 에너지 $\int\vert h\vert^2dt$에 비례한다. 신호의 판정 시점 출력은 $\int p(t)h(t_d-t)dt$이다. 두 벡터의 내적 크기가 두 길이의 곱을 넘을 수 없다는 Cauchy–Schwarz 부등식을 함수에 적용하면

\[\left\vert\int p(t)h(t_d-t)dt\right\vert^2 \le \left(\int\vert p\vert^2dt\right) \left(\int\vert h\vert^2dt\right).\]

양변을 $\int\vert h\vert^2dt$로 나누면 SNR에 비례하는 양의 상한이 펄스 에너지 $\int\vert p\vert^2dt$로 정해진다. $h(t_d-t)=Kp^*(t)$일 때 등호가 성립하므로 정합필터가 그 상한에 도달한다. 반면 주파수별 잡음의 세기가 다른 유색잡음에서는 모든 주파수를 같은 기준으로 모으면 최적이 아니다. 잡음이 큰 주파수의 비중을 줄여 잡음을 평탄하게 만드는 whitening 과정까지 고려해야 한다.

8. OFDM: 겹치는 부반송파를 어떻게 분리하는가?

I/Q에서는 한 반송파에 두 직교 좌표를 실었다. 이번에는 서로 다른 여러 반송파에 각각 심볼을 싣고 동시에 보내자. 이를 다중반송파 전송이라고 한다. 각 작은 반송파를 부반송파라 부르며, 주파수 간격과 관측시간을 맞춰 직교하도록 만든 방식이 OFDM(orthogonal frequency-division multiplexing, 직교 주파수 분할 다중화)이다. 1.2절의 복소지수 직교성을 실제 수신기에 사용하는 단계다.

8.1 직교성은 관측시간과 주파수 간격의 약속

한 OFDM 블록에서 $N$개의 심볼 $a_0,\ldots,a_{N-1}$을 각각 $N$개 부반송파에 배정하자. 여기서는 RF 반송파로 올리기 전의 복소 기저대역 신호를 쓰므로, 이 합 자체가 실수 전압일 필요는 없다. 유효 심볼 시간 $T_u$에서

\[s(t)=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{j2\pi kt/T_u}, \qquad 0\le t<T_u\]

를 송신한다. 부반송파 간격은 $\Delta f=1/T_u$이다. $m$번 수신기는

\[\frac1{T_u}\int_0^{T_u}s(t)e^{-j2\pi mt/T_u}dt=a_m\]

를 계산한다. 첫 절에서 유도한 직교성 그대로이다.

각 부반송파는 유한한 시간창 때문에 sinc 스펙트럼을 가지므로 서로 겹친다. 그러나 다른 부반송파의 중심 주파수가 자기 sinc의 영점에 놓인다. 적절한 시간 구간의 내적으로 보면 간섭이 상쇄된다.

OFDM의 직교성, sinc 중첩과 주파수 오차직접 조절하며 확인하기

그래프에서는 먼저 주파수 오차를 0으로 두어 각 중심 주파수에서 나머지 sinc가 0인지 확인하자. 그다음 오차를 늘리면 그 영점이 중심에서 벗어난다. 송수신기의 발진 주파수가 정확히 같지 않아 생기는 이 오차를 부반송파 간격 단위로 나타낸 값이 $\epsilon$이다. 실제 오차가 $\epsilon/T_u$ Hz이면 직교 적분은

\[\frac1{T_u}\int_0^{T_u}e^{j2\pi(k-m+\epsilon)t/T_u}dt =e^{j\pi(k-m+\epsilon)} \operatorname{sinc}(k-m+\epsilon).\]

$\epsilon=0$에서는 $k\ne m$ 항이 0이지만 오차가 있으면 0이 아니게 된다. 이를 부반송파간 간섭(ICI)이라고 한다.

8.2 IFFT와 FFT가 송·수신기를 구현한다

$t=nT_u/N$에서 샘플링하면

\[s[n]=\sum_ka_ke^{j2\pi kn/N}.\]

IDFT와 같은 형태이다. 사용하는 라이브러리의 $1/N$ 정규화에 맞추어 스케일만 조절하면 된다. 수신 FFT는 각 부반송파와의 내적을 한꺼번에 계산한다.

즉 FFT는 통신과 무관한 분석용 그래프 도구만이 아니라, 심볼을 실제로 합성하고 분리하는 송·수신 알고리즘이다.

8.3 다중경로가 있으면 왜 cyclic prefix가 필요한가?

다중경로 채널은 지연된 복사본들의 합이다.

\[h(t)=\sum_\ell h_\ell\delta(t-\tau_\ell), \qquad y=x*h.\]

샘플 모델에서 채널 길이가 $L$이면 $y[n]=\sum_{\ell=0}^{L-1}h[\ell]x[n-\ell]$이다. 심볼의 앞부분에는 이전 심볼의 샘플이 섞이므로 그냥 FFT만 한다고 독립적인 부반송파가 되는 것은 아니다.

심볼 끝의 $N_{\mathrm{CP}}$개 샘플을 앞에 복사한 cyclic prefix(CP)를 붙이자. $N_{\mathrm{CP}}\ge L-1$이고 수신 타이밍이 맞으며 채널이 심볼 동안 거의 일정하면, CP를 버린 유효 구간에서

\[y[n]=\sum_{\ell=0}^{L-1}h[\ell]x[(n-\ell)\bmod N]\]

이 된다. 선형 합성곱이 그 블록에서는 순환 합성곱으로 보인다. DFT를 적용하면

\[\boxed{Y[k]=H[k]X[k]+W[k]}.\]

$X[k]$는 송신 블록의 DFT, $H[k]$는 채널의 DFT, $Y[k]$는 수신 블록의 DFT이고, $W[k]$는 수신 잡음의 DFT이다. 각 주파수에 다른 번호가 섞이지 않고 $H[k]$만 곱해져 있다. 따라서 채널을 알고 있으면 $\hat X[k]=Y[k]/H[k]$로 왜곡을 되돌릴 수 있다. 이렇게 채널 효과를 보정하는 것이 등화이며, 부반송파마다 복소수 하나만 적용하므로 단일 탭 등화라고 부른다.

다만 $\hat X[k]=X[k]+W[k]/H[k]$이므로 $H[k]$가 작으면 잡음도 크게 증폭된다. 평균제곱오차를 최소화하는 MMSE 등화는 채널 이득뿐 아니라 잡음 크기도 고려하여 무리한 나눗셈을 완화하는 방식이다. 여기서는 우선 CP가 있어야 왜곡 보정이 주파수별 곱셈 문제로 단순해진다는 점을 잡으면 된다.

예를 들어 블록 $[x_0,x_1,x_2,x_3]$ 앞에 마지막 값 $x_3$를 복사하면 $[x_3,x_0,x_1,x_2,x_3]$을 보낸다. 현재 샘플과 한 샘플 전 값이 섞이는 채널에서는 CP를 버린 첫 출력이 $h_0x_0+h_1x_3$이다. 이전 블록의 값이 아니라 현재 블록의 끝 값을 참조하므로 인덱스가 원처럼 연결된다. 이것이 $(n-\ell)\bmod N$이라는 순환 인덱스의 실제 의미다.

8.4 작은 수치 예제와 비용

$h[0]=1$, $h[1]=0.5$, 나머지 0인 채널이면 CP가 최소 1샘플 필요하다. $N$점 DFT의 채널은

\[H[k]=1+0.5e^{-j2\pi k/N}.\]

$k=0$에서는 $H[0]=1.5$, 짝수 $N$의 $k=N/2$에서는 $H[N/2]=0.5$이다. 같은 송신 진폭이어도 주파수별로 출력 크기가 달라진다.

$T_u=64\,\mu\mathrm s$, $T_{\mathrm{CP}}=16\,\mu\mathrm s$인 예라면 $\Delta f=15.625\,\mathrm{kHz}$이고 유효 시간 비율은 $64/80=80\%$이다. CP는 새로운 정보를 싣지 않으므로 시간과 에너지 비용을 쓴다. 이 수치는 원리를 설명하는 예이며 특정 표준 규격을 뜻하지 않는다.

또 여러 부반송파가 같은 위상으로 더해지면 순간 최고 진폭이 커진다. 순간 최대전력을 평균전력으로 나눈 비를 PAPR(peak-to-average power ratio)이라고 한다. 전력증폭기는 이 큰 순간값도 찌그러뜨리지 않아야 하므로 평균 출력에 비해 넓은 여유가 필요하다. 따라서 OFDM의 높은 PAPR은 증폭기의 효율에 부담이 된다. 주파수를 효율적으로 겹쳐 쓰는 이점과 실제 회로에서의 비용을 함께 보는 것이다.

9. 경계값 문제와 Sturm–Liouville: 공간에도 스펙트럼이 있다

여기서부터는 관심 변수가 시간에서 공간으로 넓어진다. 신호·통신의 계산만 먼저 익히려면 8절까지의 예제를 연습한 뒤 이 절로 돌아와도 된다. 다만 전송선의 공진과 전자기장의 분포를 공부할 때는 이 연결이 중요하다. 어떤 주파수가 존재하는가를 고르던 직교성이 이제 어떤 공간 모양이 물리적 경계를 만족하는가를 고르는 도구가 된다.

9.1 시간 주파수와 공간 모드는 같은 투영 구조를 갖는다

지금까지 $x(t)$를 시간의 사인파로 분해했다. 장이나 온도가 위치에 따라 달라지는 문제에서는 $u(x,t)$를 공간의 기본 패턴으로 분해한다.

구간 $0<x<L$의 양 끝에서 값이 0이라면 $\sin(n\pi x/L)$는 경계를 자동으로 만족한다. 양 끝에서 공간 미분이 0이라면 $\cos(n\pi x/L)$가 자연스럽다. 경계조건이 기저를 고르는 것이다.

모든 공간 함수가 허용되는 것은 아니다. 예를 들어 양 끝이 0인 진동 패턴은 $\phi’’+\lambda\phi=0$과 $\phi(0)=\phi(L)=0$을 동시에 만족해야 한다. 여기서 $\lambda$는 곡률과 함수값 사이의 비율을 정하는 수이고, 아무 값이나 선택하면 경계조건을 만족하는 0 아닌 해가 나오지 않는다. 허용되는 $\lambda$를 고유값, 대응하는 모양 $\phi$를 고유함수 또는 모드라고 한다.

재료나 좌표계가 달라져도 이 구조를 정리할 수 있게 한 표준 형태가 Sturm–Liouville 문제이다.

\[\boxed{-\frac d{dx}\left[p(x)\frac{d\phi}{dx}\right] +q(x)\phi=\lambda w(x)\phi}.\]

$p(x),q(x),w(x)$는 재료와 좌표계에서 정해지는 계수 함수다. $w$는 각 위치의 기여에 곱하는 가중치이며, 다음의 직교 적분에도 들어간다. 가장 단순한 $-\phi’’=\lambda\phi$는 $p=w=1,q=0$인 경우다.

유한 구간에서 계수들이 충분히 매끄럽고 $p,w>0$인 정칙 문제를 생각하자. 끝점에서 함수값을 정하는 조건을 Dirichlet, 도함수를 정하는 조건을 Neumann, 둘의 실수 선형결합을 정하는 조건을 Robin 조건이라고 부른다. 이 중 다음 절의 경계항을 0으로 만드는 조건을 자기수반 경계조건이라고 한다. 이름을 외우기보다, 적분 후 남는 끝점 항이 왜 없어지는지를 확인하면 된다.

서로 다른 고유값의 고유함수는 가중 내적

\[\langle\phi_n,\phi_m\rangle_w =\int_0^Lw(x)\phi_n(x)\phi_m(x)\,dx\]

에 대해 직교한다. 무조건 가중치 1로 적분하는 것은 아니다.

9.2 직교성은 경계항이 사라지기 때문에 나온다

$n$번 방정식에 $\phi_m$, $m$번 방정식에 $\phi_n$을 곱해 빼면

\[(\lambda_n-\lambda_m)\int_0^Lw\phi_n\phi_m\,dx =\left[p(\phi_n\phi_m'-\phi_m\phi_n')\right]_0^L.\]

이 식은 미분항을 부분적분하여 얻는다. $[\cdots]_0^L$는 $L$에서의 값에서 0에서의 값을 뺀 것이다. 양 끝에서 두 함수값이 모두 0이면 오른쪽의 각 곱에 0이 들어간다. 양 끝에서 두 도함수가 모두 0인 경우도 마찬가지다. 이처럼 경계항이 사라지고 $\lambda_n\ne\lambda_m$이면 남은 적분은 0이어야 한다. 푸리에 직교성은 이 더 넓은 구조의 한 예이다.

$\phi’’+\lambda\phi=0$, $\phi(0)=\phi(L)=0$이면 비자명한 해는

\[\phi_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\quad n=1,2,\ldots\]

이다. 구체적으로 $\lambda=k^2>0$라 쓰면 일반해는 $A\cos kx+B\sin kx$다. $\phi(0)=0$에서 $A=0$, $\phi(L)=0$에서 $B\sin kL=0$이다. 영함수 이외의 해를 원하므로 $B\ne0$이고, 따라서 $kL=n\pi$여야 한다. $\lambda=0$의 직선 해와 $\lambda<0$의 쌍곡함수 해는 이 두 0 경계에서 영함수만 남긴다. 공간에서 라디안/길이 단위로 변화하는 속도 $k$를 파수라고 하며, 경계조건이 허용 파수를 이산적으로 선택한 것이다.

9.3 열방정식: 높은 공간 주파수가 먼저 사라진다

긴 막대 또는 단순화한 열 전달 경로의 온도편차 $u$가

\[u_t=D u_{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0\]

을 만족한다고 하자. $D$는 열확산계수이며 단위는 $\mathrm{m^2/s}$이다. 양 끝은 기준 온도로 고정한다.

한 번에 모든 해를 찾기보다, 공간 모양 $X(x)$와 시간 배율 $T(t)$의 곱으로 유지되는 해를 먼저 찾자. 이것이 변수분리법이다. 여기서 $T(t)$는 시간 함수의 이름이며, 앞의 심볼 간격 $T$와 다르다. $u=X(x)T(t)$를 대입하면 $XT’=DX’‘T$이고, 곱이 0이 아닌 곳에서 양변을 $DXT$로 나누어

\[\frac{T'}{DT}=\frac{X''}{X}=-\lambda.\]

를 얻는다. 왼쪽은 $t$만, 오른쪽은 $x$만의 함수인데 모든 $x,t$에서 같아야 하므로 둘 다 상수여야 한다. 앞에서 구한 공간 문제와 맞추어 그 상수를 $-\lambda$라고 부른 것이다. 따라서 $X’’+\lambda X=0$이고 $T’=-D\lambda T$이다. 경계조건으로 $\lambda_n=(n\pi/L)^2$가 선택되므로 $X_n=\sin(n\pi x/L)$, $T_n=e^{-D(n\pi/L)^2t}$이다. 방정식이 선형이어서 이 해들을 더해도 해가 된다. 초기 온도분포 $g(x)$를 사인 급수로 전개하면

\[\boxed{u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_ne^{-D(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}},\] \[b_n=\frac2L\int_0^Lg(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\]

초기분포가 $g(x)=\sin(\pi x/L)+0.5\sin(3\pi x/L)$이면

\[u=e^{-D\pi^2t/L^2}\sin\frac{\pi x}{L} +0.5e^{-9D\pi^2t/L^2}\sin\frac{3\pi x}{L}.\]

3번 공간 모드는 1번보다 지수감쇠율이 9배 크다. 그래서 날카로운 온도 변화는 먼저 완만해진다.

열 확산은 높은 공간 주파수를 빠르게 줄인다직접 조절하며 확인하기

반도체의 상세 열해석은 재료·경계·3차원 구조가 더 복잡하지만, 공간 패턴을 분해하고 각 모드의 감쇠를 계산한다는 원리는 동일하다. 여기서는 실제 칩의 수치 설계가 아니라 그 구조를 이해하는 모델이다.

9.4 파동방정식과 전송선의 공진

열 문제에서 시간 배율은 감소하는 지수함수였다. 전송선에서는 에너지가 인덕턴스와 커패시턴스 사이를 오가므로 시간 배율이 진동한다. 공간을 사인 모드로 분해하는 과정은 같지만, 시간에 대한 미분방정식이 달라져 모드의 시간 변화가 달라지는 것이다.

이상적인 무손실 전송선의 단위길이당 인덕턴스·커패시턴스를 $L’,C’$라 하면

\[\frac{\partial v}{\partial x}=-L'\frac{\partial i}{\partial t}, \qquad \frac{\partial i}{\partial x}=-C'\frac{\partial v}{\partial t}.\]

첫 식을 $x$로 미분하고 둘째 식을 대입하면

\[v_{xx}=L'C'v_{tt},\qquad \boxed{v_{tt}=c_p^2v_{xx}},\quad c_p=\frac1{\sqrt{L'C'}}.\]

길이 $L$의 양 끝을 단락하여 $v(0,t)=v(L,t)=0$이라 하면

\[v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left[A_n\cos(\omega_nt)+B_n\sin(\omega_nt)\right] \sin\frac{n\pi x}{L},\] \[\omega_n=\frac{n\pi c_p}{L},\qquad f_n=\frac{nc_p}{2L}.\]

$A_n$은 초기 전압분포의 사인 계수이다. 초기 시간미분 $v_t(x,0)=h(x)$가 주어지면 $B_n$은 $h$의 사인 계수를 $\omega_n$으로 나누어 구한다. 두 초기함수가 필요한 이유는 시간에 대해 2계 방정식이기 때문이다.

한쪽 단락·한쪽 개방이면 경계조건이 달라져 $f_n=(2n+1)c_p/(4L)$ 형태의 1/4파장 계열이 나타난다. 같은 파동방정식이라도 경계조건이 공진주파수를 바꾼다.

9.5 Laplace 방정식과 전극의 공간 패턴

이번에는 시간이 지나도 변하지 않는 정전기장이다. Laplace 방정식은 공간 미분들의 합이 0이라는 식이며, 시간함수를 $s$영역으로 옮기는 Laplace 변환과 구분해야 한다. 공간 경계의 전압 패턴을 푸리에로 분해하면, 각 패턴이 전극에서 멀어질 때 얼마나 빠르게 약해지는지 계산할 수 있다.

전하가 없는 균일 매질에서 전위는 $V_{xx}+V_{yy}=0$이다. 영역 $0<x<L$, $y>0$의 양 옆은 접지, 아래쪽 전위는 $V(x,0)=g(x)$이고 위로 멀어지면 전위가 사라진다고 하자.

$V=X(x)Y(y)$로 분리하면

\[\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-k^2.\]

옆면 경계에 의해 $X_n=\sin(n\pi x/L)$이고, 무한대에서 사라지는 해는 $Y_n=e^{-n\pi y/L}$이다.

\[\boxed{V(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L}e^{-n\pi y/L}}, \qquad b_n=\frac2L\int_0^Lg(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.\]

전극의 작은 공간 구조, 즉 큰 $n$의 패턴은 멀리 갈수록 빠르게 사라진다. 열방정식의 시간 감쇠와 닮았지만 여기서는 정전위의 공간 감쇠이다. 시간 신호의 저역통과와 수학적으로 비슷한 작용을 한다.

9.6 두 공간 변수의 푸리에 전개

직사각형 $0<x<L_x$, $0<y<L_y$의 경계에서 값이 0인 분포는

\[g(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} b_{mn}\sin\frac{m\pi x}{L_x}\sin\frac{n\pi y}{L_y}\]

로 전개한다.

\[b_{mn}=\frac4{L_xL_y} \int_0^{L_x}\int_0^{L_y} g(x,y)\sin\frac{m\pi x}{L_x}\sin\frac{n\pi y}{L_y}\,dy\,dx.\]

각 방향의 제곱 적분이 $L_x/2$, $L_y/2$이므로 정규화 계수는 $4/(L_xL_y)$이다. 열방정식에서는 이 모드의 감쇠율이

\[D\left[\left(\frac{m\pi}{L_x}\right)^2+ \left(\frac{n\pi}{L_y}\right)^2\right]\]

가 된다. 영상의 2차원 DFT와도 “가로·세로 공간 주파수의 좌표”라는 관점이 연결된다. 다만 영상 DFT의 주기 경계와 여기의 고정값 경계는 서로 다르다.

10. 원통·구면에서의 직교 전개

직선 구간에서는 사인파가 경계조건에 잘 맞았다. 그런데 원형 도파관의 반지름 방향이나 구면의 각도 방향에 그대로 사인파를 넣으면 해당 좌표계의 미분방정식을 만족하지 않을 수 있다. 급수해 글에서 배운 베셀·르장드르 함수가 여기서 필요한 이유다. 계수를 내적으로 구하는 방법은 유지하고, 기하에 맞게 기본 함수와 가중치를 바꾼다.

10.1 베셀 급수의 가중치는 왜 반지름인가?

원통좌표의 반지름을 $r$, 방위각을 $\varphi$라고 하자. 같은 폭 $dr$인 띠라도 바깥쪽일수록 둘레가 길어져 더 큰 면적을 차지한다. 그래서 반지름 방향의 확산이나 파동을 계산할 때 단순한 두 번 미분 대신 다음 연산이 나타난다.

\[\frac1r\frac d{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right)\]

각도 방향도 분리하여 $e^{jm\varphi}$로 쓰면 한 바퀴 뒤 같은 값이 되어야 하므로 $m$은 정수다. $m=0$이면 각도에 따라 변하지 않는 축대칭이고, 그 밖에는 둘레 방향으로도 패턴이 변한다. 이 각도 성분을 분리한 반지름 함수 $R(r)$의 방정식은

\[-\frac d{dr}(rR')+\frac{m^2}{r}R=k^2rR.\]

Sturm–Liouville 형태에서 가중치가 $w(r)=r$임을 볼 수 있다. 면적요소 $dA=r\,dr\,d\phi$와도 일치한다.

중심에서 유한하고 벽 $r=a$에서 0인 기저는

\[R_n(r)=J_m\left(\chi_{mn}\frac ra\right),\]

여기서 $J_m$은 $m$차 제1종 베셀 함수이고, $\chi_{mn}$은 그 함수의 $n$번째 양의 영점, 즉 $J_m(\chi_{mn})=0$인 수다. $r=a$를 대입하면 정확히 그 영점이 되어 벽 조건을 만족한다. 예를 들어 $m=0,n=1$에서는 $\chi_{01}\approx2.4048$이다. 원점에서 발산하는 다른 해는 중심의 유한성 조건으로 제외한다. 이 모델은 벽에서 해당 스칼라 성분이 0인 경우이며, 도파관에서 도함수 조건을 갖는 성분은 다른 영점을 선택한다.

같은 $m$의 서로 다른 $n$은

\[\int_0^a rR_n(r)R_\ell(r)dr=0\qquad(n\ne\ell)\]

으로 직교한다. 따라서 $g(r)=\sum_nb_nR_n(r)$의 계수는

\[\boxed{b_n= \frac{\int_0^a r\,g(r)R_n(r)\,dr} {\int_0^a r\,R_n^2(r)\,dr}}.\]

직교성만 확인하려고 $\int R_nR_\ell dr$를 계산하면 올바른 결과가 나오지 않을 수 있다. 기하와 미분 연산이 내적의 가중치를 정한다.

10.2 르장드르 급수는 구면의 각도 성분을 분리한다

구면에서는 $\theta$를 북극에서부터 잰 각도라고 하자. 방위각에는 의존하지 않는 축대칭 분포라면, $\theta$에 따른 변화를 르장드르 다항식 $P_\ell$로 분해할 수 있다. 여기서 $\ell$은 각도 패턴의 차수다. 처음 세 함수는 $P_0(x)=1$, $P_1(x)=x$, $P_2(x)=(3x^2-1)/2$이므로, 일정한 분포·남북 부호가 다른 분포·극과 적도에서 다른 분포를 각각 만든다. $x=\cos\theta$로 치환하고

\[g(\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}c_\ell P_\ell(\cos\theta)\]

를 사용한다. 르장드르 직교성은 $\int_{-1}^1P_\ell P_mdx=0$ ($\ell\ne m$)이고, 자기 제곱 적분은 $2/(2\ell+1)$이다. 1.1절에서 코사인 계수를 구했듯, 원하는 기준을 곱해 적분하고 이 자기 제곱 적분으로 나누면 된다. $dx=-\sin\theta\,d\theta$이고 $\theta=0,\pi$가 각각 $x=1,-1$이므로 적분 방향까지 바꾸면

\[\boxed{c_\ell=\frac{2\ell+1}{2} \int_0^\pi g(\theta)P_\ell(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta}.\]

여기서도 구면 면적요소의 $\sin\theta$가 나타난다. $\ell=0$은 각도에 무관한 성분, $\ell=1$은 쌍극자형, $\ell=2$는 사중극자형 분포에 연결된다.

방위각에도 의존하면 보통 르장드르 다항식만으로는 부족하고 연관 르장드르 함수와 $e^{jm\phi}$를 결합한 구면조화함수를 사용한다. 안테나의 모든 방사장을 $P_\ell$ 하나로 설명할 수 있다고 생각하면 안 된다.

10.3 신호처리와 전자기학의 공통 구조

대상	기저	성분을 고르는 기준
주기 시간신호	$e^{jk\omega_0t}$	한 주기 직교성
직사각형 고정 경계	사인·코사인 공간 함수	끝점 경계조건
원형 단면	베셀 함수와 각도 함수	중심 유한성·금속 벽
구면	르장드르·구면조화함수	양극 유한성·각도 주기성

푸리에만 유일한 분해법인 것이 아니다. 구조에 맞는 직교 기저를 선택하면 계수들이 서로 섞이지 않아 계산이 쉬워진다.

11. 복소함수: 위상과 전달함수를 읽는 언어

시간과 공간의 분해를 배웠으니, 이제 그 성분을 바꾸는 시스템 자체를 조금 더 자세히 읽어 보자. RC 필터에서 $H(f)=1/(1+j2\pi fRC)$를 얻었고, Laplace에서는 $H(s)=1/(1+sRC)$라고 썼다. 주파수 한 줄에서 계산하던 식을 복소평면 전체의 함수로 보면 극점과 위상, 역변환 사이의 관계가 드러난다. 또 9.5절의 정전위 문제도 복소함수로 풀 수 있다. 다음 세 절은 이 두 목적에 필요한 복소해석을 다룬다.

11.1 크기, 위상과 복소로그

이제 $z=x+jy$에서 $x,y$는 신호의 입력·출력이 아니라 복소평면의 가로·세로 좌표이다. $j$는 앞과 같은 허수단위다. 원점에서 점 $z$까지의 거리를 $r$, 양의 실수축과 이루는 각을 $\theta$라고 하면

\[z=re^{j\theta},\quad r=\sqrt{x^2+y^2}=\vert z\vert.\]

곱셈은 크기를 곱하고 위상을 더한다. 이 성질이 페이저 계산과 I/Q 표현의 바탕이다.

왜 여기서 로그가 필요할까? 전달함수들이 곱해진 직렬 시스템을 분석할 때, 로그를 취하면 크기의 곱은 합이 되고 위상도 합으로 정리된다. 그런데 $e^{j\theta}=e^{j(\theta+2\pi k)}$이므로 같은 복소수에 대응하는 각도는 하나가 아니다. $e^w=z$를 만족하는 $w$를 구하면 실수부는 $\ln r$, 허수부는 $\theta+2\pi k$여서

\[\log z=\ln\vert z\vert+j(\arg z+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z.\]

가 된다. 이런 식으로 한 입력에 여러 값이 가능한 것을 다가함수라고 한다. 각도를 $-\pi<\theta<\pi$로 제한하면 음의 실수축을 제외한 영역에서 주값 로그 $\operatorname{Log}z=\ln r+j\theta$를 사용할 수 있다. 이처럼 한 값을 연속적으로 선택하는 규칙이 가지이고, 그 선택을 유지하기 위해 잘라 둔 선이 가지절단이다.

예를 들어 음의 실수축 바로 위의 위상은 $\pi$에 가깝고 바로 아래는 $-\pi$에 가깝다. 두 점은 가깝지만 표시된 위상은 거의 $2\pi$ 차이가 난다. 따라서 측정 위상이 $+\pi$에서 $-\pi$로 점프해 보이는 것은 물리적 신호의 갑작스러운 변화가 아니라 각도를 일정 범위로 표시하는 규칙 때문일 수 있다. 위상 펼치기는 연속적인 변화로 해석할 수 있도록 이 $2\pi$ 차이를 이어 주는 과정이다.

복소 분수 거듭제곱 $z^\alpha=e^{\alpha\log z}$도 로그의 가지에 의존한다. 실수의 지수법칙을 복소평면에서 아무 조건 없이 적용하면 안 된다.

11.2 Cauchy–Riemann 방정식은 왜 필요한가?

앞에서 복소수의 크기와 각도를 읽었다면, 이번에는 복소함수를 미분할 수 있는 조건을 보자. 실수축에서는 증분이 왼쪽 또는 오른쪽으로만 다가오지만, 복소평면에서는 모든 방향으로 접근할 수 있다. 복소미분은 그 모든 방향에서 $(F(z+\Delta z)-F(z))/\Delta z$가 같은 극한을 가져야 한다. 어떤 점 주변의 열린 영역 전체에서 복소미분 가능한 함수를 해석함수라고 한다.

$F(z)=u(x,y)+jv(x,y)$로 쓰자. 여기의 $u,v$는 각각 함수의 실수부와 허수부다. $u_x$는 $x$에 대한 편미분, $u_y$는 $y$에 대한 편미분이다. 다른 좌표를 고정하고 해당 방향의 변화율을 구한다는 뜻이다.

실수 방향으로 접근하면 $F’=u_x+jv_x$이고, 허수 방향으로 접근하면

\[F'=\frac{u_y+jv_y}{j}=v_y-ju_y.\]

두 결과를 비교하면

\[\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x}\]

가 나온다. 이것이 Cauchy–Riemann 조건이다. 한 근방에서 편도함수가 연속이고 이 조건이 성립하면 해석성을 보장한다. 한 점에서 식만 맞는다는 사실과 근방 전체에서 해석적이라는 것은 구분한다.

예를 들어 $F(z)=z^2=(x^2-y^2)+j2xy$는 $u_x=2x=v_y$, $u_y=-2y=-v_x$를 만족한다. 반면 $F(z)=z^*=x-jy$는 $u_x=1$, $v_y=-1$이라 만족하지 않는다.

11.3 해석함수와 Laplace 방정식

이 미분 조건이 전자기학에 어떻게 연결될까? 9.5절에서 전하가 없는 영역의 전위는 두 공간방향의 두 번째 미분을 더하면 0이었다. Cauchy–Riemann 조건도 같은 식을 만들어 준다. $u_x=v_y$를 $x$로 미분하고 $u_y=-v_x$를 $y$로 미분해 더하면

\[u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0,\] \[v_{xx}+v_{yy}=0.\]

충분히 매끄러운 해석함수의 실수부와 허수부는 모두 조화함수이다. 그래서 해석함수로 전하가 없는 2차원 전위 문제를 구성할 수 있다.

$u$를 전위로 해석하면 전기장은 $-\nabla u$이다. 또

\[\nabla u\cdot\nabla v=u_xv_x+u_yv_y=0\]

이므로 $\nabla u\ne0$인 곳에서 $u=\text{상수}$와 $v=\text{상수}$ 곡선은 서로 직교한다. 전위선과 전기력선의 관계가 복소함수에 담겨 있다.

11.4 극점과 영점의 크기·위상 효과

이번에는 다시 회로로 돌아가자. 분자·분모가 다항식인 함수를 유리함수라고 한다. 공통 인자를 정리한 전달함수에서 분자가 0이 되는 점은 영점, 분모가 0이 되어 함수가 발산하는 점은 극점이다. 단순극점 근처에서는 $A/(s-p)$처럼 발산하고, 2중 극점 근처에서는 $A/(s-p)^2$ 같은 항이 나타난다. $s$평면의 이 위치들이 시간응답과 주파수응답을 정한다.

영점을 $z_i$, 극점을 $p_\ell$, 전체 상수를 $K$라고 하면 유리 전달함수를

\[H(s)=K\frac{\prod_i(s-z_i)}{\prod_\ell(s-p_\ell)}\]

로 쓰면

\[\vert H(j\omega)\vert =\vert K\vert\frac{\prod_i\vert j\omega-z_i\vert} {\prod_\ell\vert j\omega-p_\ell\vert},\] \[\arg H(j\omega)=\arg K+ \sum_i\arg(j\omega-z_i)-\sum_\ell\arg(j\omega-p_\ell).\]

즉 $j\omega$에서 각 영점·극점까지의 거리와 각도를 계산하는 문제이다. 안정성은 인과적 유리 LTI 시스템에서 실제 전달함수의 극점과 수렴영역을 함께 확인한다. 불안정한 내부 모드를 극점·영점 약분으로 숨긴 경우에는 내부 안정성까지 보장되지 않는다.

예를 들어

\[H_1(s)=\frac1{1+s\tau},\qquad H_2(s)=\frac{1-s\tau}{1+s\tau}\]

를 비교하자. $H_2$는 $\vert H_2(j\omega)\vert=1$이지만 위상은 $-2\tan^{-1}(\omega\tau)$이다. 모든 주파수의 크기를 보존해도 위상을 바꿀 수 있다. 이런 all-pass 예는 크기만 보고 시스템을 완전히 알 수 없다는 것을 보여 준다.

12. 복소적분과 유수: 역변환을 계산하는 방법

전달함수의 극점 위치를 알면 진동과 감쇠의 종류를 예상할 수 있다. 그러나 각 시간 성분이 얼마나 큰 계수로 나오는지도 계산해야 한다. 간단한 유리함수는 부분분수로 해결되지만, Fourier 역변환 같은 실수축 적분을 직접 해야 할 때도 있다. 복소평면의 경로로 적분을 확장하면 이 계산이 극점 주변의 몇 개 계수만 구하는 문제로 바뀐다. 그 계수가 유수이며, 이를 이해하기 위해 경로적분부터 시작한다.

12.1 복소 경로적분의 뜻

실수 정적분에서는 실수축의 구간을 따라 움직였다. 복소적분에서는 복소평면에 그린 곡선을 따라 움직인다. 경로 이름을 $C$라고 하고, 그 위의 위치를 실수 매개변수 $t$로 $z=z(t)$, $a\le t\le b$처럼 나타내자. 여기의 $t$는 반드시 물리적인 시간일 필요는 없다. 아주 조금 움직였을 때 $dz=z’(t)dt$이므로

\[\boxed{\int_C F(z)\,dz=\int_a^bF(z(t))z'(t)\,dt}.\]

복소평면에 있는 경로를 따라 함수값에 작은 복소 변위 $dz$를 곱해 더하는 것이다.

출발점으로 돌아오는 닫힌 경로에는 적분 기호에 원을 붙여 $\oint$라고 쓴다. 단위원 $z=e^{j\theta}$를 반시계방향으로 돌면 $0\le\theta\le2\pi$이고 $dz=je^{j\theta}d\theta$이므로

\[\oint_C\frac1z\,dz =\int_0^{2\pi}j\,d\theta=2\pi j.\]

0이 아닌 이유는 원점에 특이점이 있기 때문이다.

12.2 Cauchy 정리와 적분공식

앞의 적분이 $2\pi j$라는 사실은 특별하다. 예를 들어 $F(z)=1$을 같은 원에서 적분하면 $\oint dz=0$이다. 출발점으로 돌아오므로 전체 변위가 0이기 때문이다. 해석적인 함수에 대해서는 이와 같은 닫힌 적분의 상쇄가 일반적으로 성립한다.

함수가 단순 닫힌 경로와 그 내부의 한 근방에서 해석적이면 Cauchy–Goursat 정리에 의해

\[\oint_C F(z)\,dz=0.\]

경로 위에서만 해석적인 것으로는 충분하지 않다. 앞의 $1/z$는 내부 원점 때문에 이 조건을 만족하지 않는다.

해석적인 $F$와 내부점 $z_0$에 대해서는

\[\boxed{F(z_0)=\frac1{2\pi j} \oint_C\frac{F(z)}{z-z_0}\,dz}.\]

경로는 $z_0$를 한 번 반시계방향으로 둘러싼다고 가정한다. $F=1,z_0=0$이면 앞서 계산한 $\oint dz/z=2\pi j$를 그대로 되찾는다. 일반적인 경우도 $F(z)=F(z_0)+(z-z_0)G(z)$로 나누어 보면 이해할 수 있다. 첫 항을 적분하면 $2\pi jF(z_0)$이고, 남은 $G$는 해석적이어서 닫힌 적분이 0이 된다. 즉 경계의 값으로 내부 함수값을 계산할 수 있다. 미분형은

\[F^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi j} \oint_C\frac{F(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\]

이다. 해석함수가 Taylor 급수와 강하게 연결되는 이유이기도 하다.

12.3 Taylor와 Laurent 급수의 차이

급수해에서 함수를 $1,z,z^2,\ldots$로 전개했다. 하지만 $1/z$는 원점 근처에서 발산하므로 원점을 포함하는 보통의 Taylor 급수로 표현할 수 없다. 이처럼 미분 가능한 함수로 정의되지 못하는 점을 특이점이라고 한다. 극점은 그중 음의 거듭제곱으로 발산하는 종류다.

특이점이 없는 중심 $z_0$의 근방에서는 $a_n=F^{(n)}(z_0)/n!$인

\[F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\]

의 Taylor 급수를 사용한다. 중심에 특이점이 있거나 중심을 뺀 환형 영역에서는

\[\boxed{F(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n}\]

의 Laurent 급수를 사용한다. 음의 거듭제곱이 주부를 만든다.

예를 들어

\[\frac1{z(z-1)} =-\frac1z\frac1{1-z} =-\frac1z-1-z-z^2-\cdots,\qquad 0<\vert z\vert<1.\]

하지만 $\vert z\vert>1$에서는

\[\frac1{z(z-1)}=\frac1{z^2}\frac1{1-1/z} =\frac1{z^2}+\frac1{z^3}+\cdots.\]

같은 함수도 전개 영역이 다르면 급수가 달라진다. 변환의 수렴영역과 닮은 주의점이다.

12.4 유수는 왜 음의 1차 계수인가?

Laurent 급수가 복잡해 보여도 닫힌 경로적분에서는 대부분의 항이 사라진다. 왜 그런지 각 거듭제곱 한 항을 계산하자. 작은 원 $z-z_0=re^{j\theta}$에서 $dz=jre^{j\theta}d\theta$이므로

\[\oint_C(z-z_0)^n dz =jr^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{j(n+1)\theta}d\theta.\]

$n+1\ne0$인 정수이면 1.2절에서 배운 정수 회전의 상쇄로 적분이 0이다. $n=-1$일 때만 지수가 0이 되어 $2\pi j$가 남는다. 따라서

\[\oint_C(z-z_0)^n dz =\begin{cases}2\pi j,&n=-1,\\0,&n\ne-1.\end{cases}\]

따라서 Laurent 급수의 $a_{-1}$만 경로적분에 남는다. 이 계수가 유수(residue)이다.

\[\boxed{\oint_C F(z)dz=2\pi j\sum_{z_k\text{ 내부}} \operatorname{Res}(F,z_k)}\]

이다. 이를 유수정리라고 한다. 경로와 그 내부에서 유한 개의 고립 특이점을 제외하고 해석적인 함수를 생각하며, 경로는 단순 닫힌 곡선을 반시계방향으로 돌고 경로 위에는 특이점이 없어야 한다. 큰 경로를 각 특이점 주위의 작은 원들로 줄이면 해석적인 나머지 영역의 적분은 상쇄되고 작은 원의 적분만 남는 것으로 이해할 수 있다.

단순극점 근처에서는 $F(z)=a_{-1}/(z-z_0)+$해석적인 부분이다. 따라서 $(z-z_0)$를 곱한 뒤 $z\to z_0$로 보내면 원하는 계수만 남는다.

\[\operatorname{Res}(F,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)F(z).\]

$F=N/D$이고 $D(z_0)=0$, $D’(z_0)\ne0$이면 $D(z)\approx D’(z_0)(z-z_0)$이므로 유수는 $N(z_0)/D’(z_0)$이다. $m$중 극점에서는 $(z-z_0)^mF(z)$로 발산을 없앤 뒤 Taylor 계수 중 $m-1$차를 고르면 된다. 이것이 원래 함수의 음의 1차 계수이므로

\[\operatorname{Res}(F,z_0)=\frac1{(m-1)!} \lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^mF(z)\right].\]

12.5 예제: 유수로 실적분 계산

$a>0$일 때

\[I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{\omega^2+a^2}\]

를 구하자. 복소변수 $z$로 바꾸면 $z^2+a^2=(z-ja)(z+ja)$이므로 극점은 $\pm ja$이다. 실수축의 $-R$에서 $R$까지 이동한 뒤, 위쪽 반원으로 $-R$에 돌아오는 경로를 선택한다. $R>a$이면 내부 극점은 $ja$ 하나이다. 우리가 원하는 실적분은 이 닫힌 경로 중 직선 구간에 해당한다.

\[\operatorname{Res}\left(\frac1{z^2+a^2},ja\right) =\frac1{2ja}.\]

원호에서 $\vert z^2+a^2\vert\ge R^2-a^2$이고 길이가 $\pi R$이므로, 원호 적분의 크기는 $\pi R/(R^2-a^2)$ 이하이다. 이 상한은 $R\to\infty$에서 0으로 간다. 닫힌 경로 적분은 “실수축 적분 + 원호 적분”이었으므로 극한에서 원하는 실적분만 남는다. 따라서

\[\boxed{I=2\pi j\frac1{2ja}=\frac\pi a}.\]

극점을 찾는 것만으로 끝내지 않고, 무한대 원호 적분이 사라지는지도 확인해야 한다.

12.6 예제: 주파수응답으로부터 양측 시간함수 복원

\[X(f)=\frac1{a^2+(2\pi f)^2},\qquad a>0\]

의 역변환을 구하자. $\omega=2\pi f$로 바꾸면

\[x(t)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R} \frac{e^{j\omega t}}{\omega^2+a^2}\,d\omega.\]

$t>0$에서는 $z=u+jv$에 대해 $\vert e^{jzt}\vert=e^{-vt}$이므로 상반평면에서 감소한다. 상반평면의 극점 $ja$의 유수는

\[\frac{e^{-at}}{2ja}.\]

역변환 앞의 $1/(2\pi)$까지 곱하면 $x(t)=(1/(2\pi))(2\pi j)e^{-at}/(2ja)=e^{-at}/(2a)$이다. $t<0$에서는 하반평면에서 지수의 크기가 감소하므로 아래로 닫는다. 이때 극점 $-ja$의 유수는 $e^{at}/(-2ja)$이고 경로 방향은 시계방향이어서 유수정리에 $-2\pi j$가 붙는다. 따라서 $(1/(2\pi))(-2\pi j)e^{at}/(-2ja)=e^{at}/(2a)$이다. 두 경우 모두 선택한 반원에서 지수의 크기가 1 이하이므로 앞 예제의 원호 상한을 사용해 원호 적분이 사라짐을 확인할 수 있다.

\[\boxed{x(t)=\frac1{2a}e^{-a\vert t\vert}}.\]

$t=0$에서도 앞 실적분 결과로 $1/(2a)$가 되어 일치한다. $df=d\omega/(2\pi)$의 정규화를 놓치면 계수가 틀린다.

12.7 회로 극점의 유수는 시간모드의 계수이다

인과적인 전달함수

\[H(s)=\frac1{(s+a)(s+b)},\qquad 0<a<b\]

를 보자. 각 단순극점의 부분분수 계수는

\[\operatorname{Res}(H,-a)=\frac1{b-a},\qquad \operatorname{Res}(H,-b)=-\frac1{b-a}.\]

따라서 영초기조건 임펄스응답은

\[\boxed{h(t)=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}u(t)}.\]

역 Laplace 적분 관점에서는 $e^{st}H(s)$의 유수에서 각 지수함수가 나온다. 반복극점이라면 $t e^{-at}$ 같은 다항식 곱이 나타난다. 예를 들어 $1/(s+a)^2$의 역변환은 $t e^{-at}u(t)$이다.

$a=1$, $b=3$이면 $h=(e^{-t}-e^{-3t})u(t)/2$이다. $h(0^+)=0$이고 $\int_0^\infty h(t)dt=1/3=H(0)$이라 DC 이득도 검산된다.

최종정리

이 글 전체를 관통하는 연산은 적절한 기저에 대한 투영이다.

푸리에 계수는 신호에서 주파수 성분을 추출한다. 정합필터는 수신 신호에서 알려진 펄스와 같은 성분을 추출한다. OFDM 수신기는 부반송파의 계수를 추출한다. 경계값 문제에서는 공간분포를 사인·베셀·르장드르 모드로 분해한다.

그다음 시스템은 각 성분에 서로 다른 크기·위상·감쇠를 적용한다. 마지막에 그 성분을 다시 합치면 관측되는 파형과 장이 된다. 복소함수와 유수는 그 시스템을 표현하고 역변환하는 계산 도구이다.