Orthogonal Functions and Fourier Series
직교함수와 푸리에 급수
이번 단원은 공업수학에서 신호와 시스템으로 넘어가는 핵심 연결고리다.
앞에서는 미분방정식을 풀어서 시간에 따른 해를 구했다면, 이제부터는 하나의 함수를
\[\boxed{ \text{여러 개의 기본 함수 성분으로 분해한다} }\]는 관점을 배운다.
특히 주기함수는
\[1,\quad \cos x,\quad \sin x,\quad \cos 2x,\quad \sin 2x,\quad \cdots\]같은 삼각함수들의 합으로 표현할 수 있다.
이것이 푸리에 급수(Fourier series) 다.
전자공학에서는 이 개념이
- 주기 신호 분석
- 주파수 성분 분해
- 필터
- 통신
- 신호처리
- 회로의 주파수응답
으로 바로 연결된다.
이 단원을 왜 배우는가?
예를 들어 다음과 같은 구형파를 생각하자.
\[f(t)= \begin{cases} 1, & 0<t<\pi\\ -1, & -\pi<t<0 \end{cases}\]이 함수는 모양만 보면 삼각함수와 전혀 닮지 않았다.
그런데 실제로는
\[f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin t + \frac{1}{3}\sin 3t + \frac{1}{5}\sin 5t + \cdots \right)\]처럼 여러 사인파의 합으로 표현할 수 있다.
즉 복잡해 보이는 파형도
\[\boxed{ \text{기본 주파수 성분들의 합} }\]으로 볼 수 있다.
신호와 시스템에서는 이것을 아주 중요하게 사용한다.
1. 함수도 벡터처럼 생각할 수 있다
우리는 벡터에서
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\]이면 두 벡터가 서로 직교한다고 배웠다.
예를 들어
\[\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\]이면
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\]이므로 서로 직교한다.
푸리에 급수에서는 이 생각을 함수까지 확장한다.
2. 함수의 내적
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 내적을 구간 $[a,b]$에서
\[\boxed{ \langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx }\]로 정의한다.
벡터의 내적
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\]와 같은 역할을 한다.
2.1 직교함수
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가
\[\boxed{ \int_a^b f(x)g(x)\,dx=0 }\]을 만족하면 두 함수를 직교(orthogonal) 한다고 한다.
예제 1. $\sin x$와 $\cos x$의 직교성
구간 $[-\pi,\pi]$에서
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\cos x\,dx\]를 계산하자.
삼각함수 공식
\[\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\]를 사용하면
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\cos x\,dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x\,dx\]이다.
$\sin 2x$는 홀함수이므로 대칭구간에서 적분값은 0이다.
따라서
\[\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\cos x\,dx=0 }\]이다.
즉
\[\sin x \quad\text{와}\quad \cos x\]는 $[-\pi,\pi]$에서 서로 직교한다.
3. 삼각함수의 직교성
푸리에 급수가 가능한 이유는 삼각함수들이 서로 직교하기 때문이다.
정수 $m,n$에 대해 다음이 성립한다.
3.1 코사인끼리
\[\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx\cos nx\,dx = \begin{cases} 0, & m\ne n\\ \pi, & m=n\ne0 \end{cases} }\]3.2 사인끼리
\[\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx\sin nx\,dx = \begin{cases} 0, & m\ne n\\ \pi, & m=n \end{cases} }\]3.3 사인과 코사인
\[\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx\cos nx\,dx=0 }\]이다.
이 성질 때문에 서로 다른 주파수 성분을 하나씩 분리해서 꺼낼 수 있다.
4. 왜 직교성이 중요한가?
벡터를 생각해보자.
어떤 벡터가
\[\mathbf{v} = 3\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2\]라고 하자.
여기서 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$가 직교하면 내적을 이용해서 각각의 성분을 쉽게 구할 수 있다.
함수도 마찬가지다.
\[f(x) = a_0 + a_1\cos x + b_1\sin x + a_2\cos2x + b_2\sin2x +\cdots\]처럼 표현된 함수에서 특정 $\cos nx$ 성분을 구하고 싶으면 양변에 $\cos nx$를 곱해서 적분하면 된다.
다른 주파수 성분은 직교성 때문에 전부 사라진다.
이것이 푸리에 계수 계산의 핵심이다.
5. 함수의 크기와 정규직교
벡터의 크기가
\[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\]인 것처럼 함수의 크기도
\[\boxed{ \|f\| = \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2\,dx } }\]로 정의할 수 있다.
5.1 정규직교 함수
두 함수가 서로 직교하면서 각각의 크기가 1이면 정규직교(orthonormal) 라고 한다.
즉
\[\langle \phi_m,\phi_n\rangle = \begin{cases} 1,&m=n\\ 0,&m\ne n \end{cases}\]이다.
이를 크로네커 델타를 이용하면
\[\boxed{ \langle \phi_m,\phi_n\rangle=\delta_{mn} }\]이라고 쓸 수 있다.
6. 푸리에 급수의 기본 형태
주기 $2\pi$인 함수 $f(x)$를 생각하자.
푸리에 급수는 다음과 같은 형태다.
\[\boxed{ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos nx + b_n\sin nx \right) }\]즉
\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + a_1\cos x+b_1\sin x + a_2\cos2x+b_2\sin2x +\cdots\]이다.
7. 푸리에 계수
각 계수는 다음과 같이 구한다.
\[\boxed{ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx }\] \[\boxed{ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx }\] \[\boxed{ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx }\]이다.
8. 왜 $a_n$ 공식이 이렇게 나오는가?
푸리에 급수를
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)\]라고 하자.
특정 $a_m$을 구하고 싶다고 하자.
양변에
\[\cos mx\]를 곱한다.
그러면
\[f(x)\cos mx = \frac{a_0}{2}\cos mx + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos nx\cos mx + \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx\cos mx\]이다.
이 식을 $[-\pi,\pi]$에서 적분한다.
직교성에 의해
\[\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,dx\]는 $n=m$일 때만 살아남는다.
또
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,dx=0\]이다.
따라서
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,dx = a_m\pi\]가 되고,
\[\boxed{ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx\,dx }\]가 된다.
즉 푸리에 계수 공식은 외워야 하는 갑작스러운 공식이 아니라 직교성에서 자연스럽게 나온다.
9. $a_0$의 의미
푸리에 급수에서
\[\frac{a_0}{2}\]는 함수의 평균값(DC 성분) 을 나타낸다.
실제로 함수의 평균값은
\[\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\]인데,
\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\]이므로
\[\boxed{ \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx }\]이다.
전자공학에서는 이것을 DC 성분이라고 볼 수 있다.
10. 주파수 성분의 의미
푸리에 급수
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + a_1\cos\omega_0t + b_1\sin\omega_0t + a_2\cos2\omega_0t + b_2\sin2\omega_0t +\cdots\]에서
\[\omega_0\]를 기본 각주파수(fundamental angular frequency) 라고 한다.
그리고
\[2\omega_0,\quad 3\omega_0,\quad 4\omega_0,\quad\cdots\]는 고조파(harmonics) 라고 한다.
11. 일반 주기 $T$인 함수의 푸리에 급수
지금까지는 주기가 $2\pi$라고 가정했다.
하지만 실제 신호는 주기가 $T$인 경우가 많다.
기본 각주파수는
\[\boxed{ \omega_0=\frac{2\pi}{T} }\]이다.
따라서 일반적인 푸리에 급수는
\[\boxed{ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos(n\omega_0t) + b_n\sin(n\omega_0t) \right] }\]이다.
계수는
\[\boxed{ a_0 = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,dt }\] \[\boxed{ a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\cos(n\omega_0t)\,dt }\] \[\boxed{ b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\sin(n\omega_0t)\,dt }\]이다.
주기 하나만 정확히 적분하면 된다.
12. 예제 2: 상수함수의 푸리에 급수
다음 함수를 생각하자.
\[f(x)=3\]주기는 $2\pi$라고 하자.
먼저
\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}3\,dx\]이므로
\[a_0 = \frac{1}{\pi}(6\pi)=6\]이다.
따라서
\[\frac{a_0}{2}=3\]이다.
한편 $n\ge1$에 대해
\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 3\cos nx\,dx=0\]이고
\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 3\sin nx\,dx=0\]이다.
따라서
\[\boxed{ f(x)=3 }\]그 자체가 푸리에 급수다.
13. 예제 3: $f(x)=x$
구간
\[-\pi<x<\pi\]에서
\[f(x)=x\]이고 이를 주기적으로 연장한다고 하자.
13.1 $a_0$
\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}x\,dx\]이다.
$x$는 홀함수이므로
\[\boxed{ a_0=0 }\]이다.
13.2 $a_n$
\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x\cos nx\,dx\]이다.
$x$는 홀함수이고 $\cos nx$는 짝함수이므로 곱은 홀함수다.
따라서
\[\boxed{ a_n=0 }\]이다.
13.3 $b_n$
\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx\,dx\]이다.
$x$와 $\sin nx$가 둘 다 홀함수이므로 곱은 짝함수다.
따라서
\[b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x\sin nx\,dx\]이다.
부분적분을 사용하자.
\[u=x, \qquad dv=\sin nx\,dx\]이면
\[du=dx, \qquad v=-\frac{\cos nx}{n}\]이다.
따라서
\[\int x\sin nx\,dx = -\frac{x\cos nx}{n} + \frac{1}{n} \int\cos nx\,dx\]이고
$$
-\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2} $$
이다.
$0$부터 $\pi$까지 대입하면
\[\int_0^\pi x\sin nx\,dx = -\frac{\pi\cos n\pi}{n}\]이다.
\[\cos n\pi=(-1)^n\]이므로
\[\int_0^\pi x\sin nx\,dx = -\frac{\pi(-1)^n}{n}\]이다.
따라서
\[b_n = \frac{2}{\pi} \left( -\frac{\pi(-1)^n}{n} \right)\]즉
\[\boxed{ b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} }\]이다.
13.4 최종 푸리에 급수
따라서
\[\boxed{ x = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx }\]이다.
앞의 몇 항만 쓰면
\[\boxed{ x = 2 \left( \sin x - \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{3}\sin3x - \frac{1}{4}\sin4x +\cdots \right) }\]이다.
14. 짝함수와 홀함수
푸리에 급수 계산에서 대칭성을 이용하면 적분량을 크게 줄일 수 있다.
14.1 짝함수
\[f(-x)=f(x)\]이면 짝함수다.
예:
\[x^2,\quad \cos x,\quad |x|\]14.2 홀함수
\[f(-x)=-f(x)\]이면 홀함수다.
예:
\[x,\quad x^3,\quad \sin x\]15. 짝함수의 푸리에 급수
$f(x)$가 짝함수이면
\[f(x)\sin nx\]는 홀함수가 된다.
따라서
\[b_n=0\]이다.
즉
\[\boxed{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos nx }\]만 남는다.
이것이 뒤에서 배우는 푸리에 코사인 급수와 연결된다.
16. 홀함수의 푸리에 급수
$f(x)$가 홀함수이면
\[a_0=0\]이고
\[a_n=0\]이다.
따라서
\[\boxed{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx }\]만 남는다.
이것이 푸리에 사인 급수와 연결된다.
17. 예제 4: 구형파
다음 주기함수를 생각하자.
\[f(x) = \begin{cases} -1, & -\pi<x<0\\ 1, & 0<x<\pi \end{cases}\]이 함수는 홀함수다.
따라서
\[a_0=0, \qquad a_n=0\]이고
\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx\]만 계산하면 된다.
홀함수 구조를 이용하면
\[b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin nx\,dx\]이다.
적분하면
\[b_n = \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{\cos nx}{n} \right]_0^\pi\]이므로
\[b_n = \frac{2}{n\pi} \left( 1-\cos n\pi \right)\]이다.
\[\cos n\pi=(-1)^n\]이므로
\[b_n = \frac{2}{n\pi} \left( 1-(-1)^n \right)\]이다.
$n$이 짝수이면
\[b_n=0\]이고,
$n$이 홀수이면
\[b_n=\frac{4}{n\pi}\]이다.
따라서
\[\boxed{ f(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin x + \frac{1}{3}\sin3x + \frac{1}{5}\sin5x + \cdots \right) }\]이다.
18. 구형파가 중요한 이유
구형파는 전자공학에서 자주 등장한다.
예를 들어
- 디지털 신호
- 클럭 신호
- PWM
- 스위칭 회로
- 펄스 신호
등은 이상적으로 구형파와 비슷하다.
그런데 구형파를 푸리에 급수로 보면
\[\boxed{ \text{기본주파수} + \text{3차 고조파} + \text{5차 고조파} +\cdots }\]의 합이다.
따라서 어떤 회로나 필터가 특정 고주파 성분을 제거하면 구형파의 모양도 변한다.
이것이 푸리에 급수가 신호와 시스템에서 중요한 이유다.
19. 부분합
실제로 무한히 많은 항을 계산할 수는 없다.
따라서 보통 앞의 몇 항만 사용한다.
\[S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)\]를 $N$차 부분합(partial sum) 이라고 한다.
$N$이 커질수록 원래 함수에 가까워진다.
20. 구형파의 부분합
구형파의 경우
\[S_N(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{2k+1} \sin((2k+1)x)\]이다.
예를 들어
\[S_0(x) = \frac{4}{\pi}\sin x\]이고,
\[S_1(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin x + \frac{1}{3}\sin3x \right)\]이다.
또
\[S_2(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin x + \frac{1}{3}\sin3x + \frac{1}{5}\sin5x \right)\]이다.
항을 많이 더할수록 구형파 모양에 가까워진다.
21. 불연속점에서는 어떻게 되는가?
푸리에 급수가 항상 원래 함수값으로 수렴하는 것은 아니다.
함수가 연속인 점에서는 보통
\[S_N(x)\to f(x)\]로 수렴한다.
하지만 점프 불연속점에서는
\[\boxed{ S_N(x) \to \frac{ f(x^-)+f(x^+) }{2} }\]로 수렴한다.
즉 좌극한과 우극한의 평균값으로 수렴한다.
22. 예제 5: 구형파의 불연속점
구형파에서 $x=0$에서는
\[f(0^-) = -1\]이고
\[f(0^+) = 1\]이다.
따라서 푸리에 급수는 $x=0$에서
\[\frac{-1+1}{2}=0\]으로 수렴한다.
즉
\[\boxed{ S_N(0)\to0 }\]이다.
23. 깁스 현상
불연속점 근처에서는 푸리에 부분합이 함수값을 약간 넘어서는 진동을 보인다.
이를 깁스 현상(Gibbs phenomenon) 이라고 한다.
항의 개수를 늘리면 진동하는 영역은 점점 좁아지지만, 최대 오버슈트 비율은 완전히 사라지지 않는다.
이 현상은 실제 신호처리에서도 중요하다.
24. 푸리에 급수를 벡터 관점에서 보기
푸리에 급수를 이해하는 가장 좋은 방법 중 하나는 함수공간의 벡터분해로 보는 것이다.
벡터
\[\mathbf{v} = c_1\mathbf{e}_1 + c_2\mathbf{e}_2 + c_3\mathbf{e}_3\]와 비슷하게
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + a_1\cos x+b_1\sin x + a_2\cos2x+b_2\sin2x +\cdots\]로 표현한다.
즉
\[\boxed{ \text{함수} = \text{직교 기저 함수들의 선형결합} }\]이다.
25. 푸리에 계수는 투영이다
벡터에서
\[c_n = \frac{ \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_n }{ \mathbf{e}_n\cdot\mathbf{e}_n }\]처럼 특정 방향의 성분을 구한다.
함수에서도
\[\boxed{ c_n = \frac{ \langle f,\phi_n\rangle }{ \langle \phi_n,\phi_n\rangle } }\]꼴로 특정 직교함수 방향의 성분을 구한다.
푸리에 계수는 바로 이 투영(projection) 의 결과다.
26. 전자공학 관점: 시간영역과 주파수영역
시간영역에서는 신호를
\[x(t)\]로 본다.
푸리에 관점에서는 같은 신호를 여러 주파수 성분의 합으로 본다.
즉
\[\boxed{ x(t) \longleftrightarrow \text{주파수 성분} }\]이다.
예를 들어
\[x(t) = 3 + 2\cos100t + \sin300t\]이면 이 신호에는
- DC 성분: $3$
- 각주파수 $100$: 진폭 $2$
- 각주파수 $300$: 사인 성분
이 존재한다고 볼 수 있다.
27. 시스템은 주파수마다 다르게 반응한다
전자회로와 시스템은 모든 주파수에 동일하게 반응하지 않는다.
예를 들어 저역통과필터는
- 낮은 주파수는 통과
- 높은 주파수는 감쇠
시킨다.
따라서 입력신호를 푸리에 급수로
\[x(t) = \sum_n \text{주파수 성분}\]으로 분해하면 시스템의 출력을 각 주파수별로 분석할 수 있다.
이 관점이 뒤에서 배우는
\[H(j\omega)\]라는 주파수응답으로 연결된다.
28. 푸리에 급수와 필터
구형파 입력을 생각하자.
\[x(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin\omega_0t + \frac13\sin3\omega_0t + \frac15\sin5\omega_0t +\cdots \right)\]저역통과필터가 고주파 성분을 제거하면
\[3\omega_0,\quad 5\omega_0,\quad 7\omega_0,\cdots\]성분이 줄어든다.
출력은 점점
\[\sin\omega_0t\]에 가까운 부드러운 파형이 된다.
즉 필터가 파형을 바꾸는 이유를 푸리에 급수로 설명할 수 있다.
29. Parseval 관계 미리보기
푸리에 계수는 신호의 에너지와도 연결된다.
대표적으로 $2\pi$ 주기 함수에 대해
\[\boxed{ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n^2+b_n^2 \right) }\]라는 관계가 있다.
이를 Parseval의 등식이라고 한다.
즉 시간영역의 전체 크기와 주파수 성분들의 크기가 서로 연결된다.
신호처리에서는 아주 중요한 생각이다.
30. 예제 6: 간단한 주기 신호
다음 함수를 생각하자.
\[f(x)= \begin{cases} 0,&-\pi<x<0\\ 1,&0<x<\pi \end{cases}\]30.1 $a_0$
\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\]이므로
\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi1\,dx =1\]이다.
따라서 DC 성분은
\[\frac{a_0}{2} = \frac12\]이다.
30.2 $a_n$
\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi\cos nx\,dx\]이고,
\[a_n = \frac{1}{n\pi} \left[ \sin nx \right]_0^\pi =0\]이다.
30.3 $b_n$
\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin nx\,dx\]이므로
\[b_n = \frac{1}{n\pi} \left( 1-(-1)^n \right)\]이다.
따라서
\[b_n = \begin{cases} 0,&n\text{ 짝수}\\ \dfrac{2}{n\pi},&n\text{ 홀수} \end{cases}\]이다.
최종적으로
\[\boxed{ f(x) = \frac12 + \frac{2}{\pi} \left( \sin x + \frac13\sin3x + \frac15\sin5x +\cdots \right) }\]이다.
31. 푸리에 급수 문제 풀이 순서
푸리에 급수 문제는 다음 순서로 풀면 된다.
1단계: 주기 확인
\[T\]또는
\[2L\]을 확인한다.
2단계: 대칭성 확인
- 짝함수인가?
- 홀함수인가?
- 둘 다 아닌가?
를 먼저 본다.
3단계: $a_0$ 계산
평균값 성분을 구한다.
4단계: $a_n$ 계산
코사인 성분을 구한다.
5단계: $b_n$ 계산
사인 성분을 구한다.
6단계: 급수 작성
계수 패턴을 정리한다.
7단계: 필요하면 부분합 또는 수렴값 확인
32. 일반 구간 $[-L,L]$
주기가
\[2L\]인 함수에서는 푸리에 급수가
\[\boxed{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right] }\]로 바뀐다.
계수는
\[\boxed{ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\,dx }\] \[\boxed{ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx }\] \[\boxed{ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx }\]이다.
이 형태가 실제 공업수학 문제에서 매우 자주 나온다.
33. 예제 7: 주기가 $2L$인 함수
\[f(x)=x, \qquad -L<x<L\]을 생각하자.
$f(x)=x$는 홀함수이므로
\[a_0=0, \qquad a_n=0\]이다.
따라서
\[b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} x \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right)dx\]만 계산하면 된다.
적분 결과는
\[\boxed{ b_n = \frac{2L}{n\pi} (-1)^{n+1} }\]이다.
따라서
\[\boxed{ x = \frac{2L}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) }\]이다.
$L=\pi$를 넣으면 앞에서 구한 $f(x)=x$의 결과가 그대로 나온다.
34. 자주 헷갈리는 포인트
34.1 왜 $a_0/2$인가?
$a_0$의 정의를 다른 계수와 비슷하게 맞추기 위해 그렇게 쓴다.
실제 평균값은
\[\frac{a_0}{2}\]이다.
34.2 왜 다른 주파수 항이 적분하면 사라지는가?
삼각함수의 직교성 때문이다.
\[\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx\cos nx\,dx=0 \qquad(m\ne n)\]이다.
34.3 푸리에 급수는 함수와 완전히 같은가?
조건에 따라 거의 모든 점에서 같지만 불연속점에서는 좌우 극한의 평균값으로 수렴한다.
34.4 항을 많이 더하면 항상 정확해지는가?
대부분의 구간에서는 더 정확해진다.
다만 불연속점 근처에서는 Gibbs 현상이 나타난다.
34.5 왜 신호처리에서 푸리에가 중요한가?
복잡한 신호를 주파수 성분별로 나누면 시스템이 각 주파수를 어떻게 처리하는지 쉽게 분석할 수 있기 때문이다.
35. 전자공학 연결 요약
이 단원에서 꼭 기억할 연결은 다음이다.
\[\boxed{ \text{직교함수} \rightarrow \text{주파수 성분 분리} }\] \[\boxed{ \text{푸리에 계수} \rightarrow \text{각 주파수 성분의 크기} }\] \[\boxed{ \text{푸리에 급수} \rightarrow \text{주기신호의 주파수 분해} }\]그리고 이후에는
\[\boxed{ \text{푸리에 급수} \rightarrow \text{푸리에 변환} \rightarrow \text{주파수응답} \rightarrow \text{필터·통신·신호처리} }\]로 이어진다.
연습문제
문제 1
다음 두 함수가 $[-\pi,\pi]$에서 직교하는지 확인하여라.
\[f(x)=\sin2x, \qquad g(x)=\sin3x\]풀이
\[\int_{-\pi}^{\pi} \sin2x\sin3x\,dx\]를 계산한다.
서로 다른 정수 주파수의 사인함수는 직교하므로
\[\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi} \sin2x\sin3x\,dx=0 }\]이다.
따라서 두 함수는 직교한다.
문제 2
다음 함수의 푸리에 급수를 구하여라.
\[f(x)=x, \qquad -\pi<x<\pi\]풀이 핵심
$f(x)$는 홀함수이므로
\[a_0=a_n=0\]이다.
또
\[b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\]이므로
\[\boxed{ x = 2 \left( \sin x -\frac12\sin2x +\frac13\sin3x -\cdots \right) }\]이다.
문제 3
다음 함수의 푸리에 급수에서 어떤 계수들이 0인지 먼저 판단하여라.
\[f(x)=x^2, \qquad -\pi<x<\pi\]풀이
$x^2$은 짝함수이므로
\[\boxed{ b_n=0 }\]이다.
따라서 코사인 항만 남는다.
문제 4
다음 주기함수의 평균값을 구하여라.
\[f(x) = \begin{cases} 2,&0<x<\pi\\ 0,&-\pi<x<0 \end{cases}\]풀이
평균값은
\[\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\]이다.
따라서
\[\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi2\,dx = 1\]이다.
즉
\[\boxed{ \frac{a_0}{2}=1 }\]이다.
문제 5
구형파의 푸리에 급수에서 짝수 고조파가 사라지는 이유를 설명하여라.
풀이
구형파에 대해
\[b_n = \frac{2}{n\pi} \left( 1-(-1)^n \right)\]이다.
$n$이 짝수이면
\[(-1)^n=1\]이므로
\[b_n=0\]이 된다.
따라서 홀수 고조파만 남는다.
직접 풀어볼 추가문제
추가문제 1
다음 함수의 푸리에 급수를 구하여라.
\[f(x)=|x|, \qquad -\pi<x<\pi\]힌트: 짝함수이므로 $b_n=0$이다.
추가문제 2
다음 함수를 푸리에 급수로 전개하여라.
\[f(x) = \begin{cases} 0,&-\pi<x<0\\ x,&0<x<\pi \end{cases}\]추가문제 3
다음 함수의 DC 성분을 구하여라.
\[f(t)=3+2\cos5t-\sin8t\]추가문제 4
주기가
\[T=4\]인 주기신호의 기본 각주파수 $\omega_0$를 구하여라.
추가문제 5
푸리에 급수의 항을 많이 더할수록 구형파에 가까워지는데도 불연속점 근처에서 진동이 완전히 없어지지 않는 이유를 설명하여라.
마지막 핵심 정리
핵심 1
함수의 직교는
\[\boxed{ \int_a^b f(x)g(x)\,dx=0 }\]으로 정의한다.
핵심 2
삼각함수는 서로 직교하므로 주기함수의 성분을 분리할 수 있다.
핵심 3
푸리에 급수는
\[\boxed{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right) }\]형태다.
핵심 4
푸리에 계수는 함수가 각 삼각함수 방향으로 얼마나 포함되어 있는지를 나타낸다.
즉 함수공간에서의 투영계수다.
핵심 5
짝함수는 코사인 성분만,
홀함수는 사인 성분만 남는다.
핵심 6
푸리에 급수는 전자공학에서
\[\boxed{ \text{시간영역 신호} \rightarrow \text{주파수 성분} }\]으로 바꾸어 보는 첫 단계다.
이 개념은 이후
\[\boxed{ \text{푸리에 변환} \rightarrow \text{스펙트럼} \rightarrow \text{주파수응답} \rightarrow \text{필터·통신·신호처리} }\]로 이어진다.
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