Linear System
연립선형미분방정식은 처음 보면 식이 갑자기 여러 개가 한꺼번에 묶여 나와서 좀 부담스럽다.
그런데 현실적 관점에서 보면 이 단원은 오히려 굉장히 자연스럽다.
왜냐하면 원래부터 변수가 하나만 있는 경우보다 여러 개가 동시에 얽혀 있는 경우가 훨씬 많기 때문이다.
예를 들면
-
회로의 여러 노드 전압
-
여러 루프 전류
-
상태변수 $x_1,x_2,\dots,x_n$
-
전기장과 자기장의 여러 성분
-
기계-전기 결합 시스템의 위치, 속도, 전류, 전압
같은 것들은 한 번에 같이 움직인다.
그래서 하나의 미분방정식
\[y^{\prime}+2y=0\]를 푸는 것보다
\[\begin{cases} x_1^{\prime} = a_{11}x_1+a_{12}x_2\\ x_2^{\prime} = a_{21}x_1+a_{22}x_2 \end{cases}\]처럼 서로 연결된 여러 미분방정식을 동시에 다루는 법을 배우는 것이 훨씬 실전적이다.
이 단원에서 제일 중요한 핵심은 다음이다.
\[\boxed{ \text{연립선형미분방정식} \;\longleftrightarrow\; \text{행렬} \;\longleftrightarrow\; \text{고유값} \;\longleftrightarrow\; \text{행렬 지수함수} }\]즉 이 단원은 앞에서 배운 벡터, 행렬, 고유값, 대각화가 실제 미분방정식에 어떻게 쓰이는지를 보여주는 장이라고 생각하면 된다.
이 단원을 왜 배우는가?
전자공학에서 연립선형미분방정식은 그냥 수학문제가 아니라 실제 시스템 모델 그 자체다.
예를 들어 상태방정식은 보통
\[\boxed{ \mathbf{x}^{\prime}(t)=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{u}(t) }\]형태로 쓴다.
여기서
-
$\mathbf{x}(t)$: 상태벡터
-
$A$: 시스템 행렬
-
$\mathbf{u}(t)$: 외부 입력
이다.
회로이론에서는 커패시터 전압과 인덕터 전류를 상태변수로 잡고 이런 식을 만들고,
제어공학에서는 시스템의 안정성과 응답을 분석할 때 이 형태를 쓴다.
통신과 신호처리에서는 연속시간 필터나 상태공간 모델이 바로 이 구조를 가진다.
따라서 이 단원은 다음과 같은 질문에 답한다.
-
서로 연결된 미분방정식을 어떻게 한 번에 정리할까?
-
해가 시간이 지나면서 감쇠하는지, 발산하는지, 진동하는지는 무엇으로 결정될까?
-
초기조건이 바뀌면 해가 어떻게 달라질까?
-
외부 입력이 있으면 해는 어떻게 구할까?
-
$e^{At}$ 라는 것이 왜 자연스럽게 등장할까?
먼저 한눈에 보는 상호작용 시각화
아래 시각화에서는 2차 동차선형계
\[\boxed{ \mathbf{x}^{\prime}(t)=A\mathbf{x}(t) }\]를 직접 조작해 볼 수 있다.
위쪽에서는 시스템 행렬
\[A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\]과 초기조건
\[\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} x_1(0)\\ x_2(0) \end{bmatrix}\]을 바꾼다.
그러면 같은 시스템을 세 가지 관점에서 동시에 볼 수 있다.
-
고유값 평면
-
고유값 $\lambda_1,\lambda_2$의 실수부와 허수부를 표시한다.
-
왼쪽 반평면은 $\operatorname{Re}(\lambda)<0$, 오른쪽 반평면은 $\operatorname{Re}(\lambda)>0$이다.
-
-
위상평면
-
상태벡터 $\mathbf{x}(t)$가 $x_1$-$x_2$ 평면에서 어떤 경로를 따라 움직이는지 보여 준다.
-
실수 고유벡터가 존재하면 해당 방향도 점선으로 나타난다.
-
-
시간응답
- 같은 궤적을 $x_1(t)$, $x_2(t)$라는 두 시간함수로 나누어 보여 준다.
연립선형계 위상평면 · 시간응답 탐색기
행렬 \(A\)와 초기조건을 바꿔 보면서 고유값 → 위상평면 → 시간응답이 어떻게 연결되는지 확인한다.
시스템 설정
숫자를 바꾼 뒤 업데이트고유값으로 시스템 읽기
위상평면 \(x_1\)-\(x_2\)
화살표는 각 점에서의 \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\) 방향이다. 실수 고유벡터가 존재하면 그 방향을 점선으로 함께 표시한다.
시간응답 \(x_1(t),\,x_2(t)\)
위상평면의 수렴·발산·회전이 시간축에서는 감쇠, 성장, 진동으로 나타난다.
처음에는 다음 세 가지 관계만 확실히 잡으면 된다.
\[\boxed{ \operatorname{Re}(\lambda)<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{감쇠} }\] \[\boxed{ \operatorname{Re}(\lambda)>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{성장 또는 발산} }\] \[\boxed{ \operatorname{Im}(\lambda)\ne0 \quad\Longrightarrow\quad \text{진동 또는 회전 성분} }\]고유벡터는 시스템이 특별히 자연스럽게 움직이는 방향이고,
고유값은 그 방향의 상태가 시간에 따라 어떻게 증가·감쇠·진동하는지를 결정한다.
1. 동차선형계
1.1 기본 형태
가장 기본형은
\[\boxed{ \mathbf{x}^{\prime} = A\mathbf{x} }\]이다.
2변수라면
\[\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}, \qquad A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\]이므로
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=ax_1+bx_2\\ x_2^{\prime}=cx_1+dx_2 \end{cases}\]가 된다.
이것을 동차선형계(homogeneous linear system)라고 한다.
왜 동차냐면 우변에 외부입력 항이 없기 때문이다.
즉 시스템은 자기 내부의 상태만으로 움직인다.
1.2 왜 행렬형이 좋은가?
식 두 개를 따로 보는 것보다
\[\mathbf{x}^{\prime} = A\mathbf{x}\]처럼 한 줄로 보면 구조가 훨씬 잘 보인다.
예를 들어
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=3x_1+4x_2\\ x_2^{\prime}=-x_1+x_2 \end{cases}\]는
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} 3&4\\ -1&1 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]가 된다.
이 표현의 장점은 다음과 같다.
-
변수 수가 많아져도 표현이 깔끔함
-
고유값, 대각화, 지수함수를 바로 적용 가능
-
컴퓨터 계산과 바로 연결됨
-
상태공간 표현과 완전히 같은 꼴임
1.3 해의 모양을 추측해 보자
1계 선형방정식
\[y^{\prime}=\lambda y\]의 해가
\[y=Ce^{\lambda t}\]라는 건 이미 알고 있다.
그러면 벡터방정식에서도 비슷하게
\[\mathbf{x}(t)=\mathbf{v} e^{\lambda t}\]같은 꼴을 넣어보고 싶어진다.
실제로 대입하면
\[\mathbf{x}^{\prime}(t)=\lambda \mathbf{v} e^{\lambda t}\]이고,
우변은
\[A\mathbf{x}(t)=A\mathbf{v} e^{\lambda t}\]이다.
따라서
\[\lambda \mathbf{v} e^{\lambda t}=A\mathbf{v} e^{\lambda t}\]이고 $e^{\lambda t}\neq0$ 이므로
\[\boxed{ A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} }\]를 얻는다.
즉 해를 지수함수 꼴로 찾으려 하면 고유값 문제로 바뀐다.
이게 이 단원의 핵심 출발점이다.
1.4 고유값이 왜 중요한가?
고유값 $\lambda$와 고유벡터 $\mathbf{v}$가 있으면
\[\mathbf{x}(t)=\mathbf{v} e^{\lambda t}\]가 하나의 해가 된다.
만약 고유값이 여러 개 있고 그에 대응하는 고유벡터들이 독립이면, 이 해들을 선형결합해서 전체해를 만들 수 있다.
즉
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} +c_2\mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} +\cdots }\]형태가 된다.
그러므로 결국 연립선형계의 동작은 거의 전부 행렬 $A$의 고유값 구조에 달려 있다.
1.5 예제 1: 가장 단순한 분리형 시스템
다음 계를 보자.
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=2x_1\\ x_2^{\prime}=-x_2 \end{cases}\]행렬형으로는
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]이다.
이건 이미 대각행렬이므로 두 식이 사실상 분리되어 있다.
첫 번째 식은
\[x_1=C_1e^{2t}\]이고,
두 번째 식은
\[x_2=C_2e^{-t}\]이다.
따라서 전체해는
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} C_1e^{2t}\\ C_2e^{-t} \end{bmatrix} }\]이다.
해석
-
$x_1$은 $t$가 증가할수록 폭발적으로 증가
-
$x_2$는 0으로 감쇠
-
한 축은 발산, 다른 축은 수렴
따라서 위상평면에서는 안장점(saddle point) 형태가 된다.
1.6 예제 2: 서로 결합된 계
다음 계를 보자.
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=4x_1+x_2\\ x_2^{\prime}=2x_1+3x_2 \end{cases}\]행렬은
\[A= \begin{bmatrix} 4&1\\ 2&3 \end{bmatrix}\]이다.
이제 고유값을 구한다.
특성방정식은
\[\det(A-\lambda I)=0\]즉
\[\begin{vmatrix} 4-\lambda&1\\ 2&3-\lambda \end{vmatrix}=0\]이다.
전개하면
\[(4-\lambda)(3-\lambda)-2=0\]즉
\[\lambda^2-7\lambda+10=0\]이므로
\[\boxed{ \lambda_1=5,\qquad \lambda_2=2 }\]이다.
$\lambda_1=5$ 일 때
\[(A-5I)\mathbf{v}=0\]이므로
\[\begin{bmatrix} -1&1\\ 2&-2 \end{bmatrix} \mathbf{v}=0\]이다.
따라서 $v_2=v_1$ 이고, 고유벡터 하나는
\[\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\]로 잡을 수 있다.
$\lambda_2=2$ 일 때
\[(A-2I)\mathbf{v}=0\]이면
\[\begin{bmatrix} 2&1\\ 2&1 \end{bmatrix} \mathbf{v}=0\]이다.
따라서 $2v_1+v_2=0$, 즉 $v_2=-2v_1$ 이므로
\[\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}\]로 잡을 수 있다.
전체해
따라서
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} e^{5t} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} e^{2t} }\]이다.
해석
두 지수항 모두 실수부가 양수이므로 해는 대체로 발산한다.
특히 $e^{5t}$가 $e^{2t}$보다 훨씬 빨리 커지므로 긴 시간이 지나면 대부분의 해는
\[\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\]방향에 가까워진다.
즉 가장 큰 고유값에 대응하는 고유모드가 장기 거동을 지배한다.
1.7 전자공학 예시: 2상태 회로 모델
연속시간 상태방정식이
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}\]꼴이라고 하자.
여기서
\[\mathbf{x}= \begin{bmatrix} v_C\\ i_L \end{bmatrix}\]처럼 커패시터 전압과 인덕터 전류를 상태로 잡는 경우가 많다.
그러면 회로의 자연응답은 결국 행렬 $A$의 고유값으로 결정된다.
-
고유값이 둘 다 음수 → 감쇠하고 안정
-
하나라도 양수 → 불안정
-
켤레복소수 → 진동성 응답 포함
즉 회로의 극점(pole)을 보는 것과 거의 같은 이야기다.
2. 대각화에 의한 해
2.1 왜 대각화가 필요한가?
행렬이 이미 대각행렬이면
\[\mathbf{x}^{\prime}=D\mathbf{x}\]는 성분별로 따로 풀리므로 너무 쉽다.
문제는 일반 행렬 $A$는 대각행렬이 아니라는 점이다.
그런데 만약 어떤 가역행렬 $P$가 있어서
\[\boxed{ A=PDP^{-1} }\]로 쓸 수 있다면, 즉 $A$가 대각화 가능하다면 문제를 쉬운 꼴로 바꿀 수 있다.
2.2 새 변수로 바꾸는 과정
새 변수
\[\boxed{ \mathbf{x}=P\mathbf{y} }\]를 도입하자.
미분하면
\[\mathbf{x}^{\prime}=P\mathbf{y}^{\prime}\]이다. 원래 방정식
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}\]에 대입하면
\[P\mathbf{y}^{\prime}=A(P\mathbf{y})\]이고,
\[P\mathbf{y}^{\prime}=PDP^{-1}P\mathbf{y}=PD\mathbf{y}\]이다.
양변에 $P^{-1}$를 곱하면
\[\boxed{ \mathbf{y}^{\prime}=D\mathbf{y} }\]를 얻는다.
즉 복잡한 결합계가 독립적인 여러 1계 방정식으로 분해된다.
2.3 예제 3: 대각화로 풀기
다음 계를 보자.
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix}\mathbf{x}\]앞에서 배운 것처럼 이 행렬의 고유값은
\[\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=1\]이고, 대응하는 고유벡터는
\[\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\]이다.
따라서
\[P= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}, \qquad D= \begin{bmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\]이다.
새 변수 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ 를 놓으면
\[\mathbf{y}^{\prime}=D\mathbf{y}\]즉
\[\begin{cases} y_1^{\prime}=3y_1\\ y_2^{\prime}=y_2 \end{cases}\]가 된다.
따라서
\[y_1=C_1e^{3t},\qquad y_2=C_2e^t\]이고,
\[\mathbf{y}= \begin{bmatrix} C_1e^{3t}\\ C_2e^t \end{bmatrix}\]이다.
다시 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ 로 돌아가면
\(\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1e^{3t}\\ C_2e^t \end{bmatrix}\) 즉
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= C_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}e^{3t} + C_2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}e^t }\]이다.
이것은 앞에서 직접 고유값 방식으로 얻는 결과와 완전히 같다.
2.4 대각화의 의미를 직관적으로 이해하기
원래 좌표 $(x_1,x_2)$에서는 두 성분이 서로 얽혀 있다.
하지만 고유벡터를 축으로 사용하는 새 좌표 $(y_1,y_2)$에서는
-
$y_1$ 방향은 $e^{\lambda_1 t}$ 로만 움직이고
-
$y_2$ 방향은 $e^{\lambda_2 t}$ 로만 움직인다.
즉 대각화는 시스템을 자연모드(natural mode)로 분해하는 작업이다.
전자공학에서 이 말은 아주 중요하다.
회로나 진동계나 다중 상태 시스템을 보면 실제 응답은 여러 자연모드의 합으로 나타난다.
2.5 복소 고유값이 나오면?
예를 들어 고유값이
\[\lambda=\alpha\pm j\beta\]처럼 나오면 해는
\[e^{(\alpha+j\beta)t} = e^{\alpha t}(\cos\beta t+j\sin\beta t)\]와 연결된다.
따라서 실제해에서는
-
$e^{\alpha t}$: 감쇠 또는 성장
-
$\cos\beta t,\sin\beta t$: 진동
이 동시에 나타난다.
즉 복소 고유값은 진동하는 연립계를 의미한다.
2.6 예제 4: 복소 고유값이 있는 경우
다음 계를 보자.
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}\mathbf{x}\]즉
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=-x_2\\ x_2^{\prime}=x_1 \end{cases}\]이다.
특성방정식은
\[\lambda^2+1=0\]이므로
\[\lambda=\pm j\]이다.
이 계는 원점 주위를 도는 순수 회전계다.
실제로 두 번 미분하면
\[x_1^{\prime\prime}=-x_1\]이므로
\[x_1=C_1\cos t+C_2\sin t\]형태가 나오고, $x_2$도 비슷하게 나온다.
결국 해는
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} C_1\cos t-C_2\sin t\\ C_1\sin t+C_2\cos t \end{bmatrix} }\]꼴이다.
해석
-
크기는 유지
-
방향만 계속 회전
-
위상평면에서는 원 또는 타원형 궤적
즉 이것이 중심(center) 형태이다.
3. 비동차 선형계
3.1 기본 형태
외부입력이 있으면
\[\boxed{ \mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t) }\]형태가 된다.
이것을 비동차 선형계(nonhomogeneous linear system)라고 한다.
여기서 $\mathbf{f}(t)$는 외부에서 시스템을 밀어주는 입력이다.
전자공학에서는
-
전압원
-
전류원
-
강제 입력
-
제어 입력
-
외란(disturbance)
등으로 해석할 수 있다.
3.2 전체해의 구조
비동차 선형계의 해는 보통
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_h(t)+\mathbf{x}_p(t) }\]로 쓴다.
-
$\mathbf{x}_h(t)$: 동차방정식 $\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}$ 의 해
-
$\mathbf{x}_p(t)$: 비동차 방정식의 특수해
이 구조는 스칼라 1계, 2계 선형방정식에서 하던 것과 똑같다.
3.3 왜 이런 분해가 가능한가?
선형성이 있기 때문이다.
만약
\[\mathbf{x}_h^{\prime}=A\mathbf{x}_h\]이고,
\[\mathbf{x}_p^{\prime}=A\mathbf{x}_p+\mathbf{f}(t)\]이면 둘을 더한 $\mathbf{x}=\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p$ 에 대해
\(\mathbf{x}^{\prime} = \mathbf{x}_h^{\prime}+\mathbf{x}_p^{\prime} = A\mathbf{x}_h+(A\mathbf{x}_p+\mathbf{f}) = A(\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p)+\mathbf{f}\) 즉
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)\]가 성립한다.
3.4 예제 5: 상수 입력이 있는 경우
다음 계를 보자.
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=x_1+x_2+1\\ x_2^{\prime}=x_1+x_2+2 \end{cases}\]행렬형으로는
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}\mathbf{x} + \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\]이다.
1단계: 동차해
먼저 동차계
\[\mathbf{x}_h^{\prime}= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}\mathbf{x}_h\]를 푼다.
행렬의 고유값은
\[\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=0\]이고, 대응하는 고유벡터는 예를 들어
\[\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\]이다.
따라서
\[\mathbf{x}_h = c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}e^{2t} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\]이다.
2단계: 특수해 찾기
우변이 상수벡터이므로 상수벡터 특수해
\[\mathbf{x}_p= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\]를 가정해 보자.
그러면 $\mathbf{x}_p^{\prime}=0$ 이므로
\[0= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\]즉
\[\begin{cases} a+b=-1\\ a+b=-2 \end{cases}\]가 되어 모순이다.
즉 상수형 특수해는 존재하지 않는다.
이럴 때는 조금 더 넓게
\[\mathbf{x}_p= \mathbf{u} t+\mathbf{v}\]같은 꼴을 시도하거나, 뒤에서 배울 매개변수 변화법/행렬 지수함수 공식을 쓰는 것이 자연스럽다.
이 예제는 오히려 “비동차계는 동차계보다 조금 더 세심하게 접근해야 한다”는 점을 보여준다.
3.5 예제 6: 상수 특수해가 존재하는 경우
다음 계를 보자.
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=-x_1+x_2+1\\ x_2^{\prime}=-2x_2+3 \end{cases}\]행렬형은
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} -1&1\\ 0&-2 \end{bmatrix}\mathbf{x} + \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\]이다.
상수 특수해
\[\mathbf{x}_p= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\]를 가정하면
\[0= \begin{bmatrix} -1&1\\ 0&-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\]이므로
\[\begin{cases} -a+b+1=0\\ -2b+3=0 \end{cases}\]이다.
둘째 식에서
\[b=\frac32\]이고,
첫째 식에서
\[-a+\frac32+1=0 \quad\Rightarrow\quad a=\frac52\]이다.
따라서
\[\mathbf{x}_p= \begin{bmatrix} 5/2\\ 3/2 \end{bmatrix}\]이다.
이제 동차해만 더하면 전체해를 얻는다.
3.6 입력이 있다는 것은 무슨 뜻인가?
동차계는 “입력이 꺼진 시스템이 자기 내부 특성만으로 어떻게 움직이는가”를 보여준다.
비동차계는 여기에 외부에서 계속 힘을 주는 상황이다.
전자공학으로 해석하면
-
RC/RLC 회로에 전압원을 인가
-
제어 시스템에 입력 $u(t)$ 를 넣음
-
어떤 센서 시스템에 외란이 들어옴
같은 경우다.
따라서 응답은 보통
\[\boxed{ \text{자연응답}+\text{강제응답} }\]으로 나뉜다.
4. 행렬 지수함수
4.1 왜 $e^{At}$ 가 나오나?
스칼라 방정식
\[y^{\prime}=ay\]의 해는
\[y=Ce^{at}\]였다.
그렇다면 행렬 방정식
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}\]에서는 자연스럽게
\[e^{At}\]가 등장해야 할 것 같다.
실제로 해는
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0) }\]형태로 쓸 수 있다.
여기서 $e^{At}$ 를 행렬 지수함수(matrix exponential)라고 한다.
4.2 정의
스칼라 지수함수의 멱급수 정의를 그대로 따라
\[e^z = 1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots\]에서 $z$ 대신 $At$ 를 넣으면
\[\boxed{ e^{At} = I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\frac{(At)^3}{3!}+\cdots }\]이다.
즉
\[e^{At} = I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots\]이다.
이 정의가 갑자기 이상하게 느껴질 수 있지만, 스칼라 경우를 그대로 행렬로 확장한 것이다.
4.3 정말 해가 되는지 확인
\[\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{c}\]라고 놓자.
미분하면
\[\mathbf{x}^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}(e^{At})\mathbf{c}\]이다.
행렬 지수함수는
\[\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}\]를 만족하므로
\[\mathbf{x}^{\prime}(t)=Ae^{At}\mathbf{c} =A\mathbf{x}(t)\]이다.
즉 실제로 해가 된다.
또 $t=0$ 에서
\[e^{A\cdot0}=I\]이므로
\[\mathbf{x}(0)=I\mathbf{c}=\mathbf{c}\]이다.
따라서 초기조건도 자연스럽게 반영된다.
4.4 대각화 가능할 때 $e^{At}$ 계산
만약
\[A=PDP^{-1}\]이면
\[\boxed{ e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1} }\]가 된다.
그리고 $D$ 가 대각행렬이면
\[D= \begin{bmatrix} \lambda_1&0&\cdots\\ 0&\lambda_2&\cdots\\ \vdots&\vdots&\ddots \end{bmatrix}\]에 대해
\[\boxed{ e^{Dt} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t}&0&\cdots\\ 0&e^{\lambda_2 t}&\cdots\\ \vdots&\vdots&\ddots \end{bmatrix} }\]이다.
즉 행렬 지수함수 계산은 결국 고유값 계산과 연결된다.
4.5 예제 7: 행렬 지수함수 직접 계산
다음 행렬을 보자.
\[A= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}\]그러면
\[A^2= \begin{bmatrix} 4&0\\ 0&1 \end{bmatrix}, \qquad A^3= \begin{bmatrix} 8&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}\]처럼 각 대각성분이 따로 거듭제곱된다.
따라서
\[e^{At} = \begin{bmatrix} e^{2t}&0\\ 0&e^{-t} \end{bmatrix}\]임을 쉽게 알 수 있다.
즉
\[\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)\]는
\[\mathbf{x}(0)= \begin{bmatrix} x_{10}\\ x_{20} \end{bmatrix}\]일 때
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} e^{2t}x_{10}\\ e^{-t}x_{20} \end{bmatrix} }\]가 된다.
이건 앞에서 직접 푼 결과와 같다.
4.6 비동차계와 행렬 지수함수
비동차계
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)\]의 해는 행렬 지수함수를 이용하면
\[\boxed{ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)}\mathbf{f}(\tau)\\,d\tau }\]로 쓸 수 있다.
이 식은 아주 중요하다.
첫 항은 자연응답이고,
\[e^{At}\mathbf{x}(0)\]둘째 항은 입력에 의한 강제응답이다.
\[\int_0^t e^{A(t-\tau)}\mathbf{f}(\tau)\\,d\tau\]이 항은 연속시간 선형시스템의 컨볼루션 구조와도 연결된다.
문제 1
다음 동차선형계를 풀어라.
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=3x_1\\ x_2^{\prime}=-2x_2 \end{cases}\]풀이
두 식이 서로 완전히 분리되어 있으므로 각각 따로 풀면 된다.
첫째 식
\[x_1^{\prime}=3x_1\]의 해는
\[x_1=C_1e^{3t}\]이다.
둘째 식
\[x_2^{\prime}=-2x_2\]의 해는
\[x_2=C_2e^{-2t}\]이다.
따라서
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} C_1e^{3t}\\ C_2e^{-2t} \end{bmatrix} }\]이다.
해석
한 성분은 커지고 다른 성분은 줄어든다. 따라서 원점은 안장점 성질을 가진다.
문제 2
다음 계를 고유값을 이용해 풀어라.
\[\mathbf{x}^{\prime}= \begin{bmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{bmatrix}\mathbf{x}\]풀이 1단계: 고유값
특성방정식은
\[\det(A-\lambda I)= \begin{vmatrix} 1-\lambda&2\\ 2&1-\lambda \end{vmatrix} =0\]이다.
전개하면
\[(1-\lambda)^2-4=0\]즉
\[\lambda^2-2\lambda-3=0\]이므로
\[\boxed{ \lambda_1=3,\qquad \lambda_2=-1 }\]이다.
풀이 2단계: 고유벡터
$\lambda_1=3$ 에 대해
\[(A-3I)\mathbf{v}=0\]즉
\[\begin{bmatrix} -2&2\\ 2&-2 \end{bmatrix}\mathbf{v}=0\]이므로 $v_2=v_1$ 이다.
따라서
\[\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\]로 잡을 수 있다.
$\lambda_2=-1$ 에 대해
\[(A+I)\mathbf{v}=0\]즉
\[\begin{bmatrix} 2&2\\ 2&2 \end{bmatrix}\mathbf{v}=0\]이므로 $v_2=-v_1$ 이다.
따라서
\[\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\]이다.
풀이 3단계: 전체해
따라서
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}e^{3t} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}e^{-t} }\]이다.
해석
-
$e^{3t}$ 모드는 성장
-
$e^{-t}$ 모드는 감쇠
따라서 대부분의 초기조건에서 긴 시간이 지나면 성장 모드가 우세해진다.
문제 3
초기조건
\[\mathbf{x}(0)= \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}\]를 만족하도록 문제 2의 해를 구하라.
풀이
문제 2의 일반해는
\[\mathbf{x}(t)= c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}e^{3t} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}e^{-t}\]이다.
$t=0$ 을 대입하면
\[\begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1+c_2\\ c_1-c_2 \end{bmatrix}\]이다.
따라서
\[\begin{cases} c_1+c_2=2\\ c_1-c_2=0 \end{cases}\]이므로
\[c_1=1,\qquad c_2=1\]이다.
따라서
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} e^{3t}+e^{-t}\\ e^{3t}-e^{-t} \end{bmatrix} }\]이다.
문제 4
다음 비동차계를 풀어라.
\[\begin{cases} x_1^{\prime}=-x_1+1\\ x_2^{\prime}=-2x_2+4 \end{cases}\]풀이
사실상 분리된 계이다.
첫째 식:
\[x_1^{\prime}+x_1=1\]상수 특수해 $x_{1p}=A$ 를 가정하면
\[A=1\]이므로
\[x_1=C_1e^{-t}+1\]이다.
둘째 식:
\[x_2^{\prime}+2x_2=4\]상수 특수해 $x_{2p}=B$ 를 가정하면
\[2B=4 \quad\Rightarrow\quad B=2\]이므로
\[x_2=C_2e^{-2t}+2\]이다.
따라서
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} C_1e^{-t}+1\\ C_2e^{-2t}+2 \end{bmatrix} }\]이다.
해석
입력이 없었으면 0으로 감쇠했겠지만, 상수 입력 때문에 결국
\[\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\]쪽으로 수렴한다.
즉 입력이 새로운 평형점을 만든다.
문제 5
다음 행렬의 지수함수를 구하여라.
\[A= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&-3 \end{bmatrix}\]풀이
대각행렬이므로 각 성분에 대해 바로 지수함수를 취하면 된다.
\[\boxed{ e^{At} = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&e^{-3t} \end{bmatrix} }\]이다.
왜 첫 번째 성분이 1이냐면 대각원소가 0이기 때문이다.
즉 $e^{0\cdot t}=1$ 이다.
자주 헷갈리는 포인트 정리
1. 동차계와 비동차계의 차이
동차계는
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}\]꼴이고, 외부입력이 없다.
비동차계는
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)\]꼴이고, 외부입력이 있다.
즉 동차계는 자연응답만 보고, 비동차계는 자연응답과 강제응답을 함께 본다.
2. 고유값이 왜 해를 결정하나?
해를
\[\mathbf{x}=\mathbf{v} e^{\lambda t}\]꼴로 가정하면
\[A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\]가 나와서 고유값 문제가 되기 때문이다.
즉 고유값은 시스템이 자기 스스로 가장 자연스럽게 움직이는 지수모드의 지수율이다.
3. 대각화와 행렬 지수함수는 무슨 관계인가?
$A$ 가 대각화 가능하면
\[A=PDP^{-1}\]이므로
\[e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}\]이다.
즉 대각화는 행렬 지수함수 계산을 쉽게 만드는 도구다.
4. 복소 고유값이 나오면 실제해는 복소수인가?
계수가 실수행렬이라면 최종적으로는 실수해로 정리할 수 있다.
복소 고유값은 보통 켤레쌍으로 나오고, 이를 합치면 $\cos$, $\sin$ 이 들어간 실수형 해가 된다.
즉 복소수는 계산을 편하게 해 주는 중간 도구라고 보면 된다.
5. 초기조건은 어디에 들어가나?
일반해를 구한 뒤 $t=0$ 을 대입해서 상수 $c_1,c_2,\dots$ 를 정한다.
또는 행렬 지수함수 형식
\[\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)\]에서는 초기조건이 자연스럽게 $\mathbf{x}(0)$ 로 들어간다.
전자공학 관점 요약
전자공학 관점에서 이 내용을 정말 짧게 요약하면 다음과 같다.
\[\boxed{ \text{연립선형미분방정식은 상태공간 모델의 핵심이다.} }\]그리고 시스템의 시간응답은
\[\boxed{ \text{행렬 }A\text{의 고유값과 }e^{At}\text{에 의해 결정된다.} }\]좀 더 구체적으로는
-
고유값 → 안정성, 감쇠, 진동 여부
-
고유벡터 → 자연모드 방향
-
대각화 → 결합된 계를 독립모드로 분해
-
행렬 지수함수 → 시간응답 전체를 한 번에 표현
-
비동차항 → 입력에 의한 강제응답
을 의미한다.
즉 이 단원은 나중에 배우는
-
제어공학의 상태방정식
-
신호 및 시스템
-
RLC 회로의 과도응답
-
연속시간 필터
-
전자기학의 모드 해석
-
수치해석과 시뮬레이션
의 수학적 기반이 된다.
마지막 핵심만 다시 정리
핵심 1
동차계
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}\]의 해를 찾으려 하면
\[\mathbf{x}=\mathbf{v} e^{\lambda t}\]를 가정하게 되고, 결국
\[A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\]라는 고유값 문제로 간다.
핵심 2
$A$ 가 대각화 가능하면
\[A=PDP^{-1}\]로 써서 문제를 훨씬 쉽게 푼다.
핵심 3
비동차계
\[\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)\]는
\[\text{동차해}+\text{특수해}\]로 푼다.
핵심 4
행렬 지수함수
\[e^{At}\]는 연립선형미분방정식의 자연스러운 해 표현이며,
\[\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)\]또는
\[\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)}\mathbf{f}(\tau)\\,d\tau\]와 같이 사용된다.
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