Phase Plane, Critical Points and Stability
위상평면과 임계점 및 안정성
이번 장에서는 연립미분방정식의 해를 단순히 $x_1(t)$, $x_2(t)$라는 두 함수로 보는 데서 한 걸음 더 나아가,
\[\boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix} }\]를 하나의 움직이는 점으로 생각한다.
즉 시간 $t$가 변할 때 점
\[(x_1(t),x_2(t))\]가 평면 위에서 어떤 경로를 그리는지를 관찰한다.
이 평면을 위상평면(phase plane) 이라고 하고, 그 위에서 나타나는 곡선을 위상궤적(phase trajectory) 이라고 한다.
이 장에서 배우는 핵심
이번 장의 핵심 흐름은 다음과 같다.
\[\boxed{ \text{연립미분방정식} \longrightarrow \text{위상평면} \longrightarrow \text{임계점} \longrightarrow \text{안정성} }\]특히 두 종류의 시스템을 다룬다.
- 제차(동차) 선형연립미분방정식의 위상평면
- 제차(동차) 비선형연립미분방정식의 위상평면
선형계에서는 주로 고유값과 고유벡터가 위상평면의 모양을 결정하고,
비선형계에서는 임계점 근처에서 선형화(linearization) 를 이용해 시스템을 분석한다.
위상평면 · 임계점 · 안정성 시각 탐색기
“시간에 따른 해”와 “평면 위에서의 움직임”을 같이 보면서, 마디·안장점·나선·중심이 어떻게 생기는지 바로 비교할 수 있게 만든 시각화다.
x1(t), x2(t)를 시간축에 따라 그린 그래프다. 감쇠, 성장, 진동을 읽기 좋다.
(x1(t), x2(t))를 하나의 움직이는 점으로 본다. 해가 어디로 가는지 한눈에 보인다.
임계점 근처에서 해가 모여드는지, 멀어지는지, 회전하는지 보면 안정성을 이해하기 쉽다.
초기조건 · 관찰 범위
슬라이더를 움직이면 바로 다시 그림현재 시스템 해석
위상평면 (x1, x2)
평면의 각 점에서 화살표는 그 자리에서 상태가 어느 방향으로 움직이는지 뜻한다. 선형계는 원점 중심의 형태를, 비선형계는 여러 임계점 주변의 서로 다른 거동을 보여 준다.
시간응답 x1(t), x2(t)
위상평면에서 원점으로 감기면 시간응답에서는 감쇠 진동이 나타난다. 바깥으로 벌어지면 성장, 닫힌 곡선이면 주기적인 응답으로 읽으면 된다.
- 안정 마디를 먼저 보고 “모든 궤적이 원점으로 들어간다”는 감각을 잡기
- 안장점으로 바꿔서 한 방향은 들어가고 다른 방향은 나가는 걸 확인하기
- 중심과 안정 나선을 비교해서 “허수부가 있으면 회전이 생긴다”는 점 이해하기
- 비선형 예시에서 임계점이 여러 개 생기고, 각 점 근처 안정성이 다를 수 있다는 점 보기
1. 위상평면이란?
2차 연립미분방정식
\[\begin{cases} x_1' = f_1(x_1,x_2)\\ x_2' = f_2(x_1,x_2) \end{cases}\]을 생각하자.
시간 $t$에 따라 $x_1(t)$와 $x_2(t)$가 변하면, 위상평면에서는
\[\bigl(x_1(t),x_2(t)\bigr)\]라는 점 하나가 움직인다.
예를 들어
\[x_1(t)=e^{-t}, \qquad x_2(t)=2e^{-t}\]이면
\[x_2=2x_1\]이므로 위상평면에서는 직선 위를 따라 원점으로 이동한다.
1.1 시간응답과 위상평면의 차이
같은 해라도 두 가지 방식으로 볼 수 있다.
시간응답
가로축을 $t$로 두고
\[x_1(t),\qquad x_2(t)\]를 각각 그린다.
즉
\[t \longrightarrow x_1(t),x_2(t)\]를 보는 방식이다.
위상평면
시간축을 직접 표시하지 않고
\[x_1(t)\]를 가로축,
\[x_2(t)\]를 세로축으로 둔다.
즉
\[x_1(t)\longrightarrow x_2(t)\]의 관계를 보는 방식이다.
따라서
\[\boxed{ \text{시간응답과 위상평면은 같은 해를 서로 다른 관점에서 보는 것이다.} }\]2. 임계점
연립계
\[\begin{cases} x_1' = f_1(x_1,x_2)\\ x_2' = f_2(x_1,x_2) \end{cases}\]에서 어떤 점 $(x_1^,x_2^)$가
\[f_1(x_1^*,x_2^*)=0, \qquad f_2(x_1^*,x_2^*)=0\]을 만족하면 그 점을 임계점(critical point) 또는 평형점(equilibrium point) 이라고 한다.
그 점에서는
\[x_1'=0,\qquad x_2'=0\]이므로 상태가 더 이상 움직이지 않는다.
2.1 선형 동차계의 임계점
선형계
\[\mathbf{x}'=A\mathbf{x}\]에서
\[\mathbf{x}=\mathbf{0}\]을 대입하면 항상
\[\mathbf{x}'=A\mathbf{0}=\mathbf{0}\]이므로 원점은 항상 임계점이다.
행렬 $A$가 가역이면 원점이 유일한 임계점이다.
3. 제차(동차) 선형연립미분방정식의 위상평면
가장 기본적인 형태는
\[\boxed{ \mathbf{x}'=A\mathbf{x} }\]이다.
2차원에서는
\[A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\]이므로
\[\begin{cases} x_1'=ax_1+bx_2\\ x_2'=cx_1+dx_2 \end{cases}\]가 된다.
이 시스템의 위상평면 모양은 대부분 행렬 $A$의 고유값으로 결정된다.
4. 고유값과 위상평면의 관계
고유값과 고유벡터가
\[A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\]를 만족한다고 하자.
그러면
\[\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\]가 하나의 해가 된다.
즉 고유벡터 방향에서는 상태가 방향을 바꾸지 않고
\[e^{\lambda t}\]만큼 증가하거나 감소한다.
따라서
- 고유벡터: 시스템이 자연스럽게 움직이는 방향
- 고유값: 그 방향에서의 성장 또는 감쇠 속도
라고 해석할 수 있다.
5. 실수 고유값에 따른 분류
5.1 두 고유값이 모두 음수
예를 들어
\[\lambda_1=-1, \qquad \lambda_2=-3\]이라고 하자.
두 모드 모두
\[e^{-t}, \qquad e^{-3t}\]처럼 0으로 감쇠한다.
따라서 모든 궤적은 시간이 지날수록 원점으로 접근한다.
이때 원점은 안정 마디(stable node) 이다.
\[\boxed{ \lambda_1<0,\ \lambda_2<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{안정 마디} }\]5.2 두 고유값이 모두 양수
예를 들어
\[\lambda_1=1, \qquad \lambda_2=4\]이면 두 모드 모두 시간이 지날수록 증가한다.
따라서 대부분의 궤적이 원점에서 멀어진다.
이를 불안정 마디(unstable node) 라고 한다.
\[\boxed{ \lambda_1>0,\ \lambda_2>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{불안정 마디} }\]5.3 두 고유값의 부호가 서로 다름
예를 들어
\[\lambda_1=2, \qquad \lambda_2=-1\]이라고 하자.
한 방향에서는 $e^{2t}$ 때문에 성장하고, 다른 방향에서는 $e^{-t}$ 때문에 감쇠한다.
따라서 어떤 방향에서는 원점으로 들어가지만 다른 방향에서는 원점에서 멀어진다.
이를 안장점(saddle point) 이라고 한다.
\[\boxed{ \lambda_1\lambda_2<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{안장점} }\]안장점은 항상 불안정하다.
6. 복소 고유값에 따른 분류
고유값이
\[\lambda=\alpha\pm j\beta\]꼴이라고 하자.
오일러 공식
\[e^{j\beta t} = \cos\beta t+j\sin\beta t\]때문에 해에는 회전 또는 진동 성분이 나타난다.
또한 $e^{\alpha t}$가 전체 진폭을 결정한다.
6.1 실수부가 음수
\[\alpha<0\]이면 진동하면서 크기가 점점 줄어든다.
위상평면에서는 궤적이 나선형으로 원점에 들어간다.
이를 안정 나선(stable spiral) 이라고 한다.
6.2 실수부가 양수
\[\alpha>0\]이면 진동하면서 크기가 점점 커진다.
위상평면에서는 나선형으로 원점에서 멀어진다.
이를 불안정 나선(unstable spiral) 이라고 한다.
6.3 실수부가 0
\[\lambda=\pm j\beta\]처럼 순허수 고유값만 존재하면 진폭이 줄지도 커지지도 않는다.
대표적으로
\[\begin{cases} x_1'=-x_2\\ x_2'=x_1 \end{cases}\]를 생각하자.
행렬은
\[A= \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}\]이고 고유값은
\[\lambda=\pm j\]이다.
위상평면에서는 원점 주위를 계속 회전한다.
이를 중심(center) 이라고 한다.
7. 선형계 분류 한눈에 보기
| 고유값 | 위상평면 형태 | 안정성 |
|---|---|---|
| $\lambda_1<0,\lambda_2<0$ | 안정 마디 | 점근 안정 |
| $\lambda_1>0,\lambda_2>0$ | 불안정 마디 | 불안정 |
| $\lambda_1\lambda_2<0$ | 안장점 | 불안정 |
| $\alpha\pm j\beta,\ \alpha<0$ | 안정 나선 | 점근 안정 |
| $\alpha\pm j\beta,\ \alpha>0$ | 불안정 나선 | 불안정 |
| $\pm j\beta$ | 중심 | 중립 안정 |
8. 예제 1: 안정 마디
\[\begin{cases} x_1'=-x_1\\ x_2'=-2x_2 \end{cases}\]행렬은
\[A= \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-2 \end{bmatrix}\]이고 고유값은
\[\lambda_1=-1,\qquad \lambda_2=-2\]이다.
따라서
\[x_1=C_1e^{-t}, \qquad x_2=C_2e^{-2t}\]이고 모든 해는 원점으로 수렴한다.
즉 원점은 안정 마디이다.
9. 예제 2: 안장점
\[\begin{cases} x_1'=2x_1\\ x_2'=-x_2 \end{cases}\]고유값은
\[\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=-1\]이다.
$x_2$ 방향으로는 원점에 접근하지만 $x_1$ 방향으로는 원점에서 멀어진다.
따라서 원점은 안장점이다.
10. 예제 3: 안정 나선
\[\mathbf{x}' = \begin{bmatrix} -1&-2\\ 2&-1 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]특성방정식을 풀면
\[\lambda=-1\pm2j\]를 얻는다.
실수부가 음수이므로 진동하면서 감쇠한다.
따라서 위상평면에서는 궤적이 원점을 향해 나선형으로 들어간다.
11. 안정성이란?
임계점 근처에서 시작한 해가 시간이 지나도 임계점 근처에 머무는지를 보는 개념이다.
11.1 안정
초기값을 임계점에 충분히 가깝게 잡으면 해가 계속 임계점 근처에 머문다.
11.2 점근 안정
안정할 뿐만 아니라
\[\lim_{t\to\infty}\mathbf{x}(t)=\mathbf{0}\]가 성립한다.
11.3 불안정
임계점에 아주 가깝게 출발해도 시간이 지나면서 멀어질 수 있다.
12. 제차(동차) 비선형연립미분방정식의 위상평면
이제
\[\begin{cases} x_1'=f_1(x_1,x_2)\\ x_2'=f_2(x_1,x_2) \end{cases}\]처럼 비선형 함수가 들어가는 시스템을 생각하자.
비선형계는 일반적으로 선형계처럼 고유값만으로 전체 해를 직접 구하기 어렵다.
그래서 먼저 임계점을 찾고 그 근처에서 시스템을 선형화한다.
13. 비선형계의 임계점 찾기
다음 비선형계가 있다고 하자.
\[\begin{cases} x'=f(x,y)\\ y'=g(x,y) \end{cases}\]임계점은
\[f(x,y)=0, \qquad g(x,y)=0\]을 동시에 만족하는 점이다.
예제
\[\begin{cases} x'=x(1-x)\\ y'=-y \end{cases}\]첫 번째 식에서
\[x(1-x)=0\]이므로 $x=0$ 또는 $x=1$이고,
두 번째 식에서는 $y=0$이다.
따라서 임계점은
\[\boxed{ (0,0),\qquad(1,0) }\]이다.
14. 비선형계의 선형화
비선형 시스템
\[\begin{cases} x'=f(x,y)\\ y'=g(x,y) \end{cases}\]에서 임계점 \((x^*,y^*)\) 근처의 거동을 분석하기 위해 야코비안 행렬(Jacobian matrix) 을 사용한다.
\[\boxed{ J(x,y)= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix} }\]임계점에서
\[A=J(x^*,y^*)\]를 계산하면 임계점 근처에서는
\[\mathbf{u}'\approx A\mathbf{u}\]라는 선형계로 근사할 수 있다.
즉
\[\boxed{ \text{비선형계} \longrightarrow \text{임계점} \longrightarrow \text{Jacobian} \longrightarrow \text{고유값} }\]순서로 분석한다.
15. 예제 4: 비선형계 선형화
\[\begin{cases} x'=x-x^2\\ y'=-y \end{cases}\]임계점은
\[(0,0),\qquad(1,0)\]이다.
야코비안은
\[J(x,y)= \begin{bmatrix} 1-2x&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}\]이다.
15.1 임계점 $(0,0)$
\[J(0,0)= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}\]고유값은 $1,-1$이므로 안장점이고 불안정하다.
15.2 임계점 $(1,0)$
\[J(1,0)= \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}\]고유값이 둘 다 음수이므로 안정적인 임계점이다.
16. 선형계와 비선형계의 차이
선형계
\[\mathbf{x}'=A\mathbf{x}\]행렬 $A$의 고유값을 계산한다.
비선형계
\[\mathbf{x}'=\mathbf{f}(\mathbf{x})\]- 임계점을 찾는다.
- 임계점에서 Jacobian을 구한다.
- Jacobian의 고유값을 계산한다.
- 임계점 근처의 안정성을 판단한다.
17. 방향장이란?
위상평면의 각 점 $(x_1,x_2)$에서
\[\begin{bmatrix} x_1'\\ x_2' \end{bmatrix}\]를 계산하면 그 점에서 상태가 어느 방향으로 움직이는지 알 수 있다.
이 방향을 평면 전체에 화살표로 표시한 것이 방향장(vector field) 이다.
18. 전자공학과의 연결
위상평면과 안정성은 이후 다음 과목에서 다시 등장한다.
- 제어공학의 상태공간 해석
- 시스템의 극점과 안정성
- RLC 회로의 과도응답
- 발진기
- 비선형 회로
- PLL
- 로봇 및 동역학 시스템
특히 제어공학에서는
\[\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\]형태의 상태방정식을 다루기 때문에 이번 장의 내용이 그대로 연결된다.
연습문제
문제 1
다음 시스템의 임계점 종류를 판별하여라.
\[\mathbf{x}' = \begin{bmatrix} -2&0\\ 0&-5 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]풀이
고유값은
\[\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=-5\]이다.
둘 다 음수이므로 원점은 안정 마디이고 점근 안정이다.
문제 2
\[\mathbf{x}' = \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&-3 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]고유값은 $2,-3$이므로 안장점이다.
문제 3
\[\mathbf{x}' = \begin{bmatrix} -1&-3\\ 3&-1 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]고유값은
\[\lambda=-1\pm3j\]이므로 안정 나선이다.
문제 4
\[\mathbf{x}' = \begin{bmatrix} 0&-2\\ 2&0 \end{bmatrix} \mathbf{x}\]고유값은
\[\lambda=\pm2j\]이므로 중심이다.
문제 5
다음 비선형 시스템의 임계점을 구하여라.
\[\begin{cases} x'=x(2-x)\\ y'=-2y \end{cases}\]풀이
\[x(2-x)=0\]이므로 $x=0$ 또는 $x=2$이고, $y=0$이다.
따라서 임계점은
\[\boxed{ (0,0),\qquad(2,0) }\]이다.
마지막 핵심 정리
핵심 1
위상평면은
\[(x_1(t),x_2(t))\]를 하나의 움직이는 점으로 보는 방법이다.
핵심 2
임계점은
\[x_1'=0,\qquad x_2'=0\]인 점이다.
핵심 3
선형계에서는 고유값이 위상평면의 형태와 안정성을 결정한다.
핵심 4
\[\operatorname{Re}(\lambda)<0\]이면 감쇠하고,
\[\operatorname{Re}(\lambda)>0\]이면 성장한다.
핵심 5
복소 고유값의 허수부는 회전과 진동을 만든다.
핵심 6
비선형계에서는
\[\boxed{ \text{임계점} \rightarrow \text{Jacobian} \rightarrow \text{고유값} \rightarrow \text{안정성 판정} }\]순서로 분석한다.
Comments