Vector and Vector Calculus

공업수학에서 벡터와 행렬은 여러 개의 값과 상태를 한꺼번에 다루는 언어이고, 벡터 미적분학은 공간에 분포한 전기장·자기장처럼 위치에 따라 변하는 양을 다루는 언어이다.

전자공학에서는 이 두 분야가 거의 모든 분야와 연결된다.

• 회로망 해석: 여러 노드 전압을 벡터로 묶고 행렬방정식으로 계산
• 신호 및 시스템: 신호를 벡터공간의 원소로 보고 직교기저로 분해
• 제어: 상태방정식과 고유값으로 시스템의 자연응답과 안정성 해석
• 통신: 최소제곱, 직교신호, 복소벡터와 행렬
• 전자기학: Gradient, Divergence, Curl, 선적분, 면적분, Stokes 정리

벡터·기저·행렬에서 출발해 곡선과 장의 미분을 배우고, 선·면·체적 적분을 거쳐 전자기학으로 연결한다.

먼저 익힐 도구	공간의 장에서 사용하는 곳
내적과 정사영	방향도함수, 일, 플럭스
외적과 행렬식	법선벡터, 면적·체적의 배율
기저와 좌표	좌표계 선택, 성분 표현
미분과 적분	국소 변화와 영역 전체의 양 연결

1. 벡터공간

1.1. 벡터는 단순한 화살표보다 넓은 개념이다

기하학에서 벡터는 크기와 방향을 가진 화살표로 배운다.

예를 들어

\[\mathbf v = \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}\]

의 크기는

\[\lVert\mathbf v\rVert = \sqrt{3^2+4^2} = 5\]

이다.

하지만 선형대수에서 벡터는 반드시 공간의 화살표일 필요가 없다.

다음과 같은 대상도 벡터처럼 다룰 수 있다.

\[\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix}, \qquad a_0+a_1x+a_2x^2, \qquad f(t)\]

핵심은 벡터끼리 더하고 스칼라를 곱했을 때 같은 종류의 대상으로 남는가이다.

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1.2. 벡터공간

집합 $V$의 원소들을 벡터라고 하자.

두 벡터

\[\mathbf u,\mathbf v\in V\]

와 스칼라 $a,b$에 대해

\[a\mathbf u+b\mathbf v\]

도 다시 $V$에 속하고, 덧셈과 스칼라배가 일반적인 연산법칙을 만족하면 $V$를 벡터공간(vector space)이라고 한다.

예를 들어

\[\mathbb R^2 = \left\{ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} :x,y\in\mathbb R \right\}\]

는 벡터공간이다.

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1.3. 선형결합과 Span

벡터

\[\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\]

에 대해

\[\boxed{ c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+\cdots+c_n\mathbf v_n }\]

을 선형결합이라고 한다.

이런 모든 선형결합으로 만들 수 있는 집합을 Span이라고 한다.

\[\boxed{ \operatorname{span} \{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n\} }\]

예를 들어

\[\mathbf e_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf e_2= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\]

이면

\[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = x\mathbf e_1+y\mathbf e_2\]

이므로 $\mathbf e_1,\mathbf e_2$가 평면 전체를 만든다.

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1.4. 선형독립

\[c_1\mathbf v_1+\cdots+c_n\mathbf v_n=\mathbf0\]

을 만족시키는 계수가

\[c_1=\cdots=c_n=0\]

뿐이라면 벡터들은 선형독립이다.

예를 들어

\[\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v_2= \begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}\]

는

\[\mathbf v_2=2\mathbf v_1\]

이므로 선형종속이다.

둘이 서로 다른 정보처럼 보이지만 사실 같은 방향의 정보만 가지고 있다.

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1.5. 기저와 차원

벡터공간 전체를 만들 수 있으면서 서로 선형독립인 벡터 집합을 기저(basis)라고 한다.

$\mathbb R^3$의 표준기저는

\[\mathbf e_1= \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf e_2= \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf e_3= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}\]

이다.

기저 벡터의 개수를 차원이라고 하므로

\[\dim\mathbb R^3=3\]

이다.

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1.6. 전자공학 연결: 신호도 벡터로 볼 수 있다

한 주파수 $\omega$에 대해

\[\cos\omega t, \qquad \sin\omega t\]

를 두 개의 기저함수라고 생각하자.

그러면

\[x(t) = 3\cos\omega t+2\sin\omega t\]

는 이 두 기저의 선형결합이다.

즉 신호도 함수공간의 벡터로 볼 수 있다.

이 관점은 이후 Fourier 해석, 통신의 I/Q 표현과 연결된다.

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2. 그램–슈미트 직교화

2.1. 왜 직교기저가 좋은가?

기저끼리 직교하면 각 성분을 쉽게 분리할 수 있다.

벡터 $\mathbf v$를 $\mathbf u$ 방향으로 내린 성분은

\[\boxed{ \operatorname{proj}_{\mathbf u}\mathbf v = \frac{ \mathbf v\cdot\mathbf u }{ \mathbf u\cdot\mathbf u } \mathbf u }\]

이다.

$\mathbf u$가 단위벡터이면

\[\operatorname{proj}_{\mathbf u}\mathbf v = (\mathbf v\cdot\mathbf u)\mathbf u\]

가 된다.

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그림 1. 원래 벡터에서 이미 확보한 방향 성분을 빼면 그 방향에 수직인 잔차가 남는다. 최소제곱법도 같은 정사영 원리를 사용한다.

2.2. Gram–Schmidt의 핵심

서로 독립이지만 직교하지 않은

\[\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\]

에서 직교기저를 만들고 싶다.

첫 번째는 그대로 둔다.

\[\mathbf u_1=\mathbf v_1\]

두 번째에서 첫 번째 방향 성분을 뺀다.

\[\boxed{ \mathbf u_2 = \mathbf v_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf u_1}\mathbf v_2 }\]

세 번째에서는 이미 만든 두 방향을 모두 제거한다.

\[\boxed{ \mathbf u_3 = \mathbf v_3 - \operatorname{proj}_{\mathbf u_1}\mathbf v_3 - \operatorname{proj}_{\mathbf u_2}\mathbf v_3 }\]

즉 이미 확보한 방향의 성분을 계속 제거하면서 새로운 독립 방향만 남기는 과정이다.

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2.3. 예제

\[\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\]

라고 하자.

\[\mathbf u_1=\mathbf v_1\]

이다.

정사영은

\[\operatorname{proj}_{\mathbf u_1}\mathbf v_2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\]

이므로

\[\mathbf u_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} - \frac12 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2\\ -1/2 \end{bmatrix}\]

이다.

실제로

\[\mathbf u_1\cdot\mathbf u_2=0\]

이다.

정규화하면

\[\boxed{ \mathbf q_1= \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf q_2= \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} }\]

이다.

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2.4. 전자공학 연결

신호공간에서 내적을

\[\langle f,g\rangle = \int_{t_1}^{t_2}f(t)g(t)\,dt\]

로 정의할 수 있다.

두 신호의 내적이 0이면 서로 직교한다.

직교신호는 서로의 성분을 깔끔하게 분리할 수 있기 때문에 통신과 신호처리에서 중요하다.

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3. 행렬 대수

3.1. 행렬은 선형변환을 표현한다

행렬

\[A= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{bmatrix}\]

가 벡터

\[\mathbf x= \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]

에 작용하면

\[A\mathbf x = \begin{bmatrix} 2x\\ 3y \end{bmatrix}\]

이다.

즉 $x$방향은 2배, $y$방향은 3배로 늘리는 변환이다.

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3.2. 행렬곱은 변환의 합성이다

행렬 $B$를 먼저 적용하고 그다음 $A$를 적용하면

\[A(B\mathbf x)\]

이다.

이를 하나의 행렬로 나타내기 위해

\[\boxed{ (AB)\mathbf x=A(B\mathbf x) }\]

가 되도록 행렬곱을 정의한다.

따라서 일반적으로

\[\boxed{ AB\ne BA }\]

이다.

변환의 순서를 바꾸면 결과가 달라질 수 있기 때문이다.

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3.3. 단위행렬과 역행렬

단위행렬 $I$는 아무 변화도 하지 않는다.

\[I\mathbf x=\mathbf x\]

이다.

역행렬 $A^{-1}$은 $A$의 변환을 되돌린다.

\[\boxed{ A^{-1}A=AA^{-1}=I }\]

이다.

$2\times2$ 행렬

\[A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\]

에서

\[ad-bc\ne0\]

이면

\[\boxed{ A^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix} }\]

이다.

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3.4. 행렬식

\[\boxed{ \det A=ad-bc }\]

이다.

기하학적으로

\[\vert\det A\vert\]

는 면적의 확대비와 연결된다.

또

\[\det A=0\]

이면 어떤 방향이 눌려 차원이 줄어들기 때문에 역행렬이 존재하지 않는다.

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3.5. 전치와 켤레전치

행과 열을 바꾼 행렬은

\[A^T\]

이다.

복소수 행렬에서는 켤레까지 취한

\[\boxed{ A^H=\overline A^T }\]

를 자주 사용한다.

전자공학에서는 RF, 통신, 신호처리에서 복소벡터가 기본적으로 등장하므로 $A^H$가 매우 중요하다.

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4. 연립선형대수 방정식

4.1. 행렬형

연립방정식

\[\begin{aligned} 2x+y&=5,\\ x-y&=1 \end{aligned}\]

은

\[\boxed{ A\mathbf x=\mathbf b }\]

로 쓸 수 있다.

\[A= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf x= \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf b= \begin{bmatrix} 5\\ 1 \end{bmatrix}\]

이다.

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4.2. 가우스 소거법

확대행렬은

\[\left[ \begin{array}{cc|c} 2&1&5\\ 1&-1&1 \end{array} \right]\]

이다.

행을 바꾼 뒤

\[\left[ \begin{array}{cc|c} 1&-1&1\\ 2&1&5 \end{array} \right]\]

에서 두 번째 행에

\[R_2\leftarrow R_2-2R_1\]

을 적용하면

\[\left[ \begin{array}{cc|c} 1&-1&1\\ 0&3&3 \end{array} \right]\]

이다.

따라서

\[y=1,\qquad x=2\]

이다.

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4.3. 전자공학 연결: 노드해석

회로의 여러 노드전압을

\[\mathbf v = \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix}\]

로 묶으면 Kirchhoff 전류법칙을

\[\boxed{ G\mathbf v=\mathbf i }\]

와 같은 행렬방정식으로 표현할 수 있다.

큰 회로망 해석은 결국 큰 연립선형방정식을 푸는 문제이다.

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5. 고유값

5.1. 고유벡터

행렬 $A$를 적용했을 때 같은 직선 위에 남는 0이 아닌 벡터를 생각하자. 고유값이 음수이면 방향이 뒤집히고, 0이면 영벡터로 보내진다.

\[\boxed{ A\mathbf v=\lambda\mathbf v }\]

이다.

$\mathbf v$는 고유벡터, $\lambda$는 고유값이다.

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5.2. 고유값 계산

\[A\mathbf v=\lambda\mathbf v\]

를 정리하면

\[(A-\lambda I)\mathbf v=0\]

이다.

0이 아닌 $\mathbf v$가 존재하려면

\[A-\lambda I\]

가 역행렬을 가지면 안 되므로

\[\boxed{ \det(A-\lambda I)=0 }\]

이어야 한다.

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5.3. 예제

\[A= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix}\]

라고 하자.

\[\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)^2-1=0\]

이므로

\[\boxed{ \lambda_1=3, \qquad \lambda_2=1 }\]

이다.

각 고유벡터 방향은

\[\boxed{ \mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} }\]

이다.

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그림 2. 이 행렬은 $(1,1)$ 방향을 3배 늘리고 $(1,-1)$ 방향은 그대로 둔다.

5.4. 전자공학 연결: 자연모드

상태방정식

\[\frac{d\mathbf x}{dt}=A\mathbf x\]

에서

\[\mathbf x(t)=\mathbf v e^{\lambda t}\]

를 넣으면

\[A\mathbf v=\lambda\mathbf v\]

가 나온다.

즉 시스템의 자연응답은 고유값으로 결정된다.

• $\operatorname{Re}\lambda<0$: 감쇠
• $\operatorname{Re}\lambda>0$: 성장
• $\operatorname{Im}\lambda\ne0$: 진동

라플라스 변환에서 극점의 위치를 해석한 것과 같은 구조이다.

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6. 직교행렬

실수 정사각행렬 $Q$가

\[\boxed{ Q^TQ=I }\]

를 만족하면 직교행렬이다.

따라서

\[Q^{-1}=Q^T\]

이다.

직교행렬은 길이와 각도를 보존한다.

\[\lVert Q\mathbf x\rVert = \lVert\mathbf x\rVert\]

이다.

대표적인 예가 2차원 회전행렬이다.

\[\boxed{ Q(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} }\]

이다.

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7. 대각화

7.1. 왜 대각화하는가?

대각행렬

\[D= \begin{bmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{bmatrix}\]

은 계산이 쉽다.

예를 들어

\[D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n&0\\ 0&\lambda_2^n \end{bmatrix}\]

이다.

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7.2. 고유벡터를 새로운 기저로 사용한다

독립인 고유벡터들을 열로 모아

\[P= \begin{bmatrix} \vert&\vert&&\vert\\ \mathbf v_1&\mathbf v_2&\cdots&\mathbf v_n\\ \vert&\vert&&\vert \end{bmatrix}\]

라고 하자.

그러면

\[\boxed{ P^{-1}AP=D }\]

이고,

\[\boxed{ A=PDP^{-1} }\]

이다.

이것이 대각화이다. $n\times n$ 행렬에 선형독립인 고유벡터가 $n$개 있어야 가능하다. 고유값이 중복된다는 이유만으로 실패하는 것은 아니지만, 필요한 수의 고유벡터가 부족하면 대각화할 수 없다.

핵심 의미는 다음과 같다.

원래 좌표계에서는 여러 성분이 서로 섞여 있지만, 고유벡터를 기저로 사용하면 각 모드가 독립적으로 움직인다.

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7.3. 전자공학 연결

\[\frac{d\mathbf x}{dt}=A\mathbf x\]

에서

\[\mathbf z=P^{-1}\mathbf x\]

로 바꾸면

\[\frac{d\mathbf z}{dt}=D\mathbf z\]

가 된다.

즉

\[z_1^\prime=\lambda_1z_1, \qquad z_2^\prime=\lambda_2z_2\]

처럼 서로 독립적인 1계 방정식으로 분리된다.

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8. 최소제곱법

8.1. 왜 필요한가?

측정 데이터에는 노이즈가 있기 때문에

\[A\mathbf x=\mathbf b\]

를 정확히 만족하는 $\mathbf x$가 없을 수 있다.

이때

\[\mathbf r = \mathbf b-A\hat{\mathbf x}\]

를 잔차라고 하고,

\[\boxed{ \lVert\mathbf r\rVert^2 }\]

를 가장 작게 만드는 $\hat{\mathbf x}$를 찾는다.

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8.2. 정상방정식

최적의 잔차는 $A$의 열공간에 직교한다.

따라서

\[A^T\mathbf r=0\]

이다.

즉

\[A^T(\mathbf b-A\hat{\mathbf x})=0\]

이고,

\[\boxed{ A^TA\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b }\]

이다.

$A$의 열들이 선형독립이면 $A^TA$가 가역이고

\[\boxed{ \hat{\mathbf x} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf b }\]

이다.

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실제 수치 계산에서는 역행렬을 직접 만들기보다 QR 분해나 SVD를 사용한다. 복소벡터에서는 내적에 켤레를 포함하며 정상방정식의 $A^T$를 $A^H$로 바꾼다.

8.3. 전자공학 연결

최소제곱법은 다음과 같은 곳에서 사용된다.

• 센서 캘리브레이션
• 시스템 식별
• 통신 채널 추정
• 노이즈가 있는 측정값에서 파라미터 추정
• 안테나 배열과 신호처리

예를 들어

\[\mathbf y = H\mathbf x+\mathbf n\]

에서 $\mathbf x$를 추정하는 문제와 직접 연결된다.

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9. 벡터함수: 곡선을 미분한다

위치·속도·가속도와 호의 길이

벡터함수 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$는 매개변수 하나로 공간의 곡선을 그린다. 반면 벡터장 $\mathbf F(x,y,z)$는 공간의 각 위치에 벡터를 배정한다. 곡선 위에서 장을 읽으면 $\mathbf F(\mathbf r(t))$가 된다. 이 둘을 구분해야 선적분에서 무엇을 대입하고 무엇을 미분하는지 헷갈리지 않는다.

\[\begin{aligned} \mathbf v(t)&=\mathbf r'(t), & v(t)&=\lVert\mathbf r'(t)\rVert,\\ \mathbf a(t)&=\mathbf r''(t), & s(t)&=\int_{t_0}^{t}\lVert\mathbf r'(u)\rVert\,du. \end{aligned}\]

$\mathbf v$는 방향을 가진 속도, $v$는 음수가 아닌 속력이다. $ds/dt=v$이므로 미소 이동벡터와 미소 길이는 다음처럼 다르다.

\[d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt, \qquad ds=\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt.\]

곡률과 접선·법선 가속도

속력이 0이 아닌 정칙곡선에서 접선 단위벡터를 정의한다.

\[\mathbf T=\frac{\mathbf r'}{\lVert\mathbf r'\rVert}, \qquad \kappa=\left\lVert\frac{d\mathbf T}{ds}\right\rVert =\frac{\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert}{\lVert\mathbf r'\rVert^3}.\]

곡률은 이동거리당 방향 변화량이다. $\kappa>0$이면 주법선은 $\mathbf N=(d\mathbf T/ds)/\kappa$, 곡률반경은 $1/\kappa$이다. $\mathbf v=v\mathbf T$를 곱의 법칙으로 미분하면

\[\boxed{\mathbf a=\frac{dv}{dt}\mathbf T+\kappa v^2\mathbf N}\]

를 얻는다. 접선 성분은 속력을 바꾸고, 법선 성분은 방향을 바꾼다. 따라서 속력이 일정해도 가속도는 0이 아닐 수 있다. 직선 구간처럼 $\kappa=0$이면 법선 성분은 0이며 이 식으로 주법선을 정의할 수는 없다.

계산 예제: 원운동

$R>0$이고 $\omega\ne0$인 원운동을 보자.

\[\begin{aligned} \mathbf r(t)&=(R\cos\omega t,R\sin\omega t,0),\\ \mathbf v(t)&=(-R\omega\sin\omega t,R\omega\cos\omega t,0),\\ \mathbf a(t)&=-\omega^2\mathbf r(t). \end{aligned}\]

속력은 $R\lvert\omega\rvert$, 곡률은 $1/R$이다. 따라서 접선가속도는 0이고 법선가속도의 크기는 $R\omega^2=v^2/R$이다. 회전 방향을 바꿔도 가속도는 중심을 향한다.

10. 내적·외적과 장의 종류

벡터장을 적분하기 전에 두 종류의 곱을 구별하자. 내적은 한 방향으로의 성분을 고르고, 외적은 두 방향이 만드는 면적과 법선을 준다.

\[\mathbf a\cdot\mathbf b=\lVert\mathbf a\rVert\lVert\mathbf b\rVert\cos\theta, \qquad \lVert\mathbf a\times\mathbf b\rVert=\lVert\mathbf a\rVert\lVert\mathbf b\rVert\sin\theta.\]

대상	입력 → 출력	전자공학 예	읽는 방법
스칼라장 $f$	위치 → 수	전위, 온도	그 점의 값은 얼마인가?
벡터장 $\mathbf F$	위치 → 벡터	전기장, 전류밀도	그 점에서 어느 방향으로 얼마나 작용하는가?
$\mathbf F\cdot\mathbf T$	두 벡터 → 수	경로 방향의 전기장	이동방향 성분
$\mathbf F\cdot\mathbf n$	두 벡터 → 수	면을 통과하는 전류밀도	법선방향 성분
$\mathbf r_u\times\mathbf r_v$	두 접벡터 → 벡터	곡면의 면적벡터	면적 배율과 방향

여기서 $\mathbf T$와 $\mathbf n$은 단위벡터이다. 외적의 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다. 이것이 면적분에서 방향 선택이 중요한 이유다.

11. Gradient와 방향도함수

편미분을 모으면 왜 벡터가 되는가?

미분 가능한 스칼라장 $f$에서 작은 이동 $\Delta\mathbf r$에 따른 변화는 1차 근사로

\[\Delta f\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_z\Delta z =\nabla f\cdot\Delta\mathbf r\]

이다. 따라서 각 좌표방향의 변화율을 모은

\[\boxed{\nabla f=(f_x,f_y,f_z)}\]

가 공간 변화율을 한 번에 나타낸다. 아래에서 사용하는 성분 공식은 모두 직교 Cartesian 좌표계 기준이다.

단위벡터 $\mathbf u$ 방향으로 거리 $h$만큼 움직이는 경로 $\mathbf r(h)=\mathbf p+h\mathbf u$에 연쇄법칙을 적용하면

\[D_{\mathbf u}f(\mathbf p) =\left.\frac{d}{dh}f(\mathbf p+h\mathbf u)\right|_{h=0} =\nabla f(\mathbf p)\cdot\mathbf u.\]

Cauchy–Schwarz 부등식에 의해 최대값은 $\lVert\nabla f\rVert$이고, $\nabla f\ne\mathbf0$일 때 그 방향은 $\nabla f/\lVert\nabla f\rVert$이다. Gradient가 0인 점에서는 1차 변화만으로 최대 증가방향을 고를 수 없다.

그림 3. 등고선을 따라서는 함수값이 변하지 않는다. Gradient는 그 접선에 수직이며 값이 증가하는 쪽을 향한다. 화살표 길이는 방향을 보기 위한 축척이다.

계산 예제: 단위벡터를 먼저 만든다

$f=x^2+2y^2$에서 $P=(1,1)$, 방향벡터 $\mathbf a=(1,1)$이면

\[\nabla f(P)=(2,4),\qquad \mathbf u=\frac{\mathbf a}{\lVert\mathbf a\rVert}=\frac{(1,1)}{\sqrt2}.\]

따라서 $D_{\mathbf u}f=3\sqrt2$이다. 최대 증가율은 $2\sqrt5$이며 최대 증가방향 $(1,2)/\sqrt5$는 $\mathbf u$와 다르다. $\mathbf a$를 정규화하지 않으면 거리당 변화율 대신 매개변수당 변화율을 계산하게 된다.

등위면의 법선과 접평면

곡면 $F(x,y,z)=C$ 위의 곡선에서는 $F(\mathbf r(t))=C$이므로

\[\nabla F\cdot\mathbf r'(t)=0.\]

즉 $\nabla F(P)\ne\mathbf0$인 점에서 Gradient는 법선이고 접평면은

\[\boxed{\nabla F(P)\cdot(\mathbf r-\mathbf p)=0}\]

이다. 구면 $x^2+y^2+z^2=9$의 $P=(1,2,2)$에서는 법선이 $(2,4,4)$이므로 접평면은 $x+2y+2z=9$이다.

전위와 전기장

정전기장에서는 $\mathbf E=-\nabla V$이다. 전위가 가장 빨리 낮아지는 쪽이 전기장 방향이고, 전위의 단위가 V이면 전기장은 V/m이다. 시간에 따라 자기장이 변하는 일반적인 상황에서는 스칼라 전위의 Gradient만으로 전기장 전체를 표현할 수 없다.

12. 발산: 작은 부피에서 나가는 순유량

정의를 작은 상자로 이해하기

$\mathbf F=(F_x,F_y,F_z)$에서 $x$방향 두 면을 통과하는 순유량은

\[\begin{aligned} &\bigl[F_x(x+\Delta x,y,z)-F_x(x,y,z)\bigr]\Delta y\Delta z\\ &\qquad\approx \frac{\partial F_x}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z. \end{aligned}\]

나머지 두 방향도 더하고 부피로 나누면 발산이 나온다.

\[\boxed{\nabla\cdot\mathbf F =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}}\]

발산은 벡터가 아니라 부피당 순유출량을 나타내는 스칼라다. 양수면 순유출, 음수면 순유입, 0이면 유입과 유출의 균형을 뜻한다. 발산이 0이라고 장 자체가 0인 것은 아니다.

그림 4. 왼쪽은 발산만, 가운데는 회전만 있으며 오른쪽은 둘 다 0이다. 그림은 $z$성분이 0인 평면 벡터장이다.

계산 예제와 전하밀도

$\mathbf F=(x,y,z)$에서는 발산이 $3$이다. 한 변이 $2a$인 원점 중심 정육면체의 각 면에서는 바깥 법선 성분이 $a$이고 넓이가 $4a^2$이다. 여섯 면의 총 플럭스는 $24a^3$이다. 이를 부피 $8a^3$으로 나누면 정확히 $3$이 된다.

전기변위장 $\mathbf D$에 대해서는

\[\nabla\cdot\mathbf D=\rho_v\]

이다. $\mathbf D$의 단위 C/m²를 공간에 대해 미분하면 전하밀도 C/m³가 된다는 점도 의미와 맞는다. 진공에서는 $\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E$이다.

13. Curl: 작은 고리를 따라 도는 순환

국소 순환과 오른손 법칙

작은 고리의 접선방향 장을 더한 뒤 면적으로 나누면 Curl의 법선 성분이 된다.

\[(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n =\lim_{\Delta S\to0}\frac{1}{\Delta S} \oint_{\partial(\Delta S)}\mathbf F\cdot d\mathbf r.\]

법선 방향은 오른손 엄지, 고리의 양의 진행방향은 나머지 손가락이 감기는 방향이다. Curl은 순환의 축과 세기를 갖는 벡터다.

\[\nabla\times\mathbf F= \begin{pmatrix} \partial F_z/\partial y-\partial F_y/\partial z\\ \partial F_x/\partial z-\partial F_z/\partial x\\ \partial F_y/\partial x-\partial F_x/\partial y \end{pmatrix}.\]

계산 예제: 회전은 있지만 발산은 없는 장

$\mathbf F=(-y,x,0)$이면

\[\nabla\cdot\mathbf F=0, \qquad \nabla\times\mathbf F=(0,0,2).\]

반지름 $a$인 반시계 원에서는 장이 접선방향이고 크기가 $a$이므로 순환은 $a(2\pi a)=2\pi a^2$이다. 원판 넓이로 나누면 Curl의 $z$성분 $2$가 된다. 이 장을 유체의 속도장으로 해석하면 각속도는 $1$이고 Curl은 각속도의 두 배이다.

회전 모양만 보고 판단하면 안 되는 이유

원점을 제외한 평면의 장

\[\mathbf F=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2},0\right)\]

은 원을 따라 돌지만 정의된 모든 점에서 Curl이 0이다. 반지름 $a$인 원의 순환은 여전히 $2\pi$이다. 원점에서 장이 정의되지 않아서 고리 내부 전체에 Stokes 정리를 적용할 수 없기 때문이다. 국소적인 Curl과 구멍을 감싸는 큰 경로의 순환은 구별해야 한다.

14. 선적분: 길이를 더하는가, 접선 성분을 더하는가?

종류	매개변수 표현	경로를 반대로 돌리면
스칼라 선적분 $\int_C f\,ds$	$\int_a^b f(\mathbf r(t))\lVert\mathbf r’(t)\rVert\,dt$	값이 같다
벡터 선적분 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$	$\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r’(t)\,dt$	부호가 바뀐다

첫 번째는 선밀도로부터 철사의 질량을 구할 때, 두 번째는 힘이 한 일이나 전기장의 경로방향 성분을 구할 때 사용한다. 경로를 벡터장과 같은 방향으로만 잡아야 하는 것은 아니다. 장과 이동이 반대면 음의 기여가 생긴다.

계산 순서

1. 출발점과 도착점에 맞게 $\mathbf r(t)$와 구간을 정한다.
2. 장의 좌표에 경로를 대입해 $\mathbf F(\mathbf r(t))$를 만든다.
3. $d\mathbf r=\mathbf r’(t)\,dt$와 내적한다.
4. 남은 한 변수의 정적분을 계산한다.

그림 5. 회전장에서는 끝점이 같아도 경로가 다르면 적분값이 다르다.

계산 예제: 두 경로의 일이 다르다

$\mathbf F=(-y,x,0)$에서 $A=(0,0)$, $B=(1,1)$로 이동하자.

대각선 $C_1$은 $\mathbf r(t)=(t,t,0)$, $0\le t\le1$이다.

\[\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^1(-t,t,0)\cdot(1,1,0)\,dt=0.\]

꺾인 경로 $C_2$는 먼저 $(0,0)\to(1,0)$, 다음 $(1,0)\to(1,1)$이다. 첫 구간은 장과 이동이 수직이라 0이다. 두 번째는 $\mathbf r(t)=(1,t,0)$이므로

\[\int_{C_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r =0+\int_0^1(-t,1,0)\cdot(0,1,0)\,dt=1.\]

15. 보존장과 경로독립성

$\mathbf F=\nabla\phi$로 표현되는 장을 보존장이라고 한다. 연쇄법칙으로

\[\int_C\nabla\phi\cdot d\mathbf r =\int_a^b\frac{d}{dt}\phi(\mathbf r(t))\,dt =\phi(B)-\phi(A).\]

따라서 경로가 아니라 끝점만 중요하고, 닫힌 경로 적분은 0이다. $C^1$ 벡터장이 단일연결 열린 영역에서 Curl 0이면 보존장이다. 앞의 원점이 빠진 평면은 이 충분조건을 만족하지 않는다.

퍼텐셜을 직접 찾는 예제

$\mathbf F=(2xy,x^2+2y,0)$에서 $\phi_x=2xy$를 $x$에 대해 적분하면

\[\phi=x^2y+g(y,z).\]

$\phi_y=x^2+g_y=x^2+2y$이므로 $g=y^2+h(z)$, $\phi_z=0$이므로 $h$는 상수다. 따라서

\[\phi=x^2y+y^2+C.\]

$(0,0,0)$에서 $(1,2,0)$까지 어느 경로로 이동해도 적분값은 $2+4=6$이다. 정전기장의 경우에는 $\mathbf E=-\nabla V$이므로

\[V(B)-V(A)=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l\]

처럼 부호가 반대다.

16. 이중적분과 Jacobian

영역을 작은 면적으로 나눠 더하기

$\iint_R f\,dA$는 영역의 미소면적마다 $f$를 곱해 더한 값이다. $f=1$이면 넓이, $f=\sigma$가 면전하밀도이면 총전하이다. 예를 들어 삼각형 $0\le y\le x\le1$에서는

\[\iint_R(x+y)\,dA =\int_0^1\int_0^x(x+y)\,dy\,dx =\int_0^1\frac32x^2\,dx=\frac12.\]

적분 순서를 바꾸면 $0\le y\le1$, $y\le x\le1$이다. 적분 기호의 순서만 바꾸지 말고 같은 영역을 새 부등식으로 표현해야 한다.

극좌표의 면적요소에 왜 반지름이 붙는가?

그림 6. 각도 간격이 같아도 원점에서 멀수록 호가 길어진다. 작은 면적은 $dr$과 $r\,d\theta$의 곱이다.

좌표변환 $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$의 두 미소변은 일반적으로 직각이 아니므로 면적 배율은 행렬식의 절댓값이다.

\[\begin{aligned} J&=\det\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix},\\ \iint_R f(x,y)\,dA &=\iint_D f(x(u,v),y(u,v))|J|\,du\,dv. \end{aligned}\]

변환은 적분영역 내부에서 일대일이고 충분히 매끄러우며 Jacobian이 0이 아닌 조건을 확인한다. 극좌표의 원점·경계선처럼 면적이 0인 예외는 적절히 처리할 수 있다.

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$이면

\[J=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r.\]

따라서 반지름 $a$인 원판의 넓이는 $\int_0^{2\pi}\int_0^a r\,dr\,d\theta=\pi a^2$이다. $r$을 빠뜨린 결과 $2\pi a$는 넓이가 아니라 길이 차원을 가진다.

17. Green 정리: 평면 경계와 내부 연결

$R$이 조각별로 매끄러운 경계를 가진 평면영역이고 $P,Q$가 그 영역을 포함한 근방에서 $C^1$이면

\[\boxed{\oint_{\partial R}P\,dx+Q\,dy =\iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA}\]

이다. 양의 경계방향은 진행할 때 영역이 왼쪽에 오는 방향이다. 바깥 경계는 반시계, 구멍의 안쪽 경계는 시계방향이다. 작은 조각들의 경계 적분을 합치면 내부의 공유 경계는 반대 방향으로 두 번 지나 상쇄되고 바깥 경계만 남는다.

원에서 직접 적분과 비교

$P=-y$, $Q=x$이면 내부 회전은 $2$이다. 반지름 $a$인 원판에서

\[\oint_{\partial R}(-y\,dx+x\,dy) =\iint_R2\,dA=2\pi a^2.\]

이는 원을 매개변수화해 얻은 순환과 같다. $P=-y/2$, $Q=x/2$를 고르면 내부가 $1$이 되어 닫힌 경계로 넓이 계산도 가능하다.

\[\operatorname{Area}(R)=\frac12\oint_{\partial R}(x\,dy-y\,dx).\]

18. 면적분: 곡면을 통과하는 플럭스

면적과 방향을 함께 계산하기

곡면을 $\mathbf r(u,v)$로 매개변수화하면 두 접벡터가 만드는 작은 평행사변형의 면적이 면적요소다.

\[\begin{aligned} dS&=\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert\,du\,dv,\\ d\mathbf S&=\mathbf n\,dS=(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv. \end{aligned}\]

외적 방향이 원하는 법선과 반대라면 부호를 뒤집는다. 스칼라 면적분은 $\iint_S f\,dS$, 플럭스는 다음과 같다.

\[\boxed{\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S =\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv}\]

법선을 뒤집으면 플럭스의 부호가 바뀌지만 스칼라 면적분은 변하지 않는다.

계산 예제: 기울어진 평면을 지나는 수직장

$z=1-x-y$의 제1팔분공간 부분을 위쪽으로 향하게 하자. $\mathbf r(x,y)=(x,y,1-x-y)$이고 투영영역은 $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le1$이다.

\[\mathbf r_x=(1,0,-1),\quad \mathbf r_y=(0,1,-1),\quad \mathbf r_x\times\mathbf r_y=(1,1,1).\]

균일장 $\mathbf F=(0,0,E_0)$의 플럭스는

\[\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S =\int_0^1\int_0^{1-x}E_0\,dy\,dx=\frac{E_0}{2}.\]

곡면 자체의 넓이는 $\sqrt3/2$지만 장이 수직으로 보는 투영넓이는 $1/2$이다. 내적이 기울기에 따른 차이를 자동으로 반영한다. 면적벡터를 사용한 뒤 $\sqrt3$을 또 곱하면 면적 배율을 중복 계산한다.

19. Stokes 정리: Curl을 면 전체에 더하기

그림 7. Stokes 정리는 열린 곡면과 그 경계를 연결한다. 발산정리는 닫힌 곡면과 그 안의 부피를 연결한다. 위쪽 법선의 경계는 위에서 보아 반시계방향이다.

$S$가 방향을 정할 수 있는 조각별로 매끄러운 곡면이고 장이 근방에서 $C^1$이면

\[\boxed{\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS}\]

이다. 평면의 Green 정리를 공간의 곡면으로 확장한 것이다. 경계가 같고 방향이 일치한다면, 장이 매끄럽게 정의된 범위에서 계산하기 쉬운 곡면으로 바꿀 수 있다.

계산 예제: 반구 대신 원판 사용하기

$\mathbf F=(-y,x,0)$, 경계가 $x^2+y^2=a^2$, $z=0$인 위쪽 반구를 생각하자. 경계방향은 위에서 볼 때 반시계다. Curl이 $(0,0,2)$이므로 위쪽 원판으로 바꾸면

\[\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S =\iint_{x^2+y^2\le a^2}2\,dA=2\pi a^2.\]

반구의 넓이 $2\pi a^2$에 Curl의 크기 $2$를 바로 곱하면 틀린다. 반구에서는 법선이 위치마다 달라 내적이 필요하다.

20. 삼중적분과 좌표 선택

영역을 $\Omega$로 쓰면 스칼라 전위 $V$와 혼동을 피할 수 있다. 체적전하밀도 $\rho_v$의 총전하는

\[Q=\iiint_\Omega\rho_v\,dV\]

이다. 좌표를 바꾸면 함수뿐 아니라 영역과 체적요소도 함께 바꾼다.

좌표	정의·각도 범위	체적요소	적합한 대칭
직교	$(x,y,z)$	$dx\,dy\,dz$	상자·평면
원통	$x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$	$r\,dr\,d\phi\,dz$	직선전하·원통
구면	$x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, $z=r\cos\theta$	$r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$	점전하·구

구면좌표의 $\theta$는 양의 $z$축으로부터 잰 극각이며 $0\le\theta\le\pi$, 방위각은 $0\le\phi<2\pi$이다. 책에 따라 각도 이름이 바뀌므로 정의를 먼저 확인한다. 일반 좌표변환의 체적 배율은 $\lvert\det(\partial(x,y,z)/\partial(u,v,w))\rvert$이다.

계산 예제: 전하밀도가 바깥으로 증가하는 구

반지름 $a>0$인 구 안에서 $\rho_v(r)=\rho_0r/a$이면

\[\begin{aligned} Q&=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^a \frac{\rho_0r}{a}r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\\ &=\frac{\rho_0}{a}\cdot\frac{a^4}{4}\cdot2\cdot2\pi =\pi\rho_0a^3. \end{aligned}\]

균일밀도라면 $Q=4\pi\rho_0a^3/3$이다. 같은 경계밀도 $\rho_0$일 때 내부밀도가 더 낮은 첫 번째 구의 총전하가 더 작다는 점으로 검산할 수 있다.

21. 발산정리: 닫힌 면과 내부 부피 연결

$\Omega$가 조각별로 매끄러운 닫힌 경계를 가지며 $\mathbf F$가 그 영역을 포함한 근방에서 $C^1$이면

\[\boxed{\iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf F\,dV}\]

이다. 여기서 법선은 반드시 바깥쪽이다. 작은 상자들을 합치면 내부 공유 면의 플럭스가 상쇄되어 외부 표면만 남는다. 앞의 작은 상자로 정의한 발산을 큰 영역으로 확장한 셈이다. 닫힌 면임을 강조하는 별도 적분기호 대신 $\partial\Omega$를 써서 경계면이라는 사실을 명시했다.

계산 예제: 구면 플럭스의 두 계산

$\mathbf F=(x,y,z)$, 반지름 $a$인 구면에서 $\mathbf F=a\mathbf n$이다. 직접 계산하면

\[\iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =a(4\pi a^2)=4\pi a^3.\]

발산정리로 계산하면

\[\iiint_\Omega3\,dV=3\left(\frac43\pi a^3\right)=4\pi a^3.\]

특이점이 있는 점전하의 주의점

점전하의 장은 원점 밖에서

\[\mathbf D=\frac{q}{4\pi r^2}\mathbf e_r\]

이고 발산은 0이다. 하지만 원점을 둘러싼 구면 플럭스는 $q$이다. 원점에서 장이 발산하므로 그 점을 포함한 구 전체에 매끄러운 장의 발산정리를 그대로 적용하면 안 된다. 작은 구를 도려낸 껍질에 적용하면 바깥면과 안쪽면 플럭스가 상쇄된다. 점전하 자체는 분포의 의미에서 전하밀도로 표현한다.

22. Laplacian과 Maxwell 방정식으로 연결하기

Gradient를 다시 발산시키기

스칼라장의 Laplacian은

\[\nabla^2V=\nabla\cdot(\nabla V) =\frac{\partial^2V}{\partial x^2} +\frac{\partial^2V}{\partial y^2} +\frac{\partial^2V}{\partial z^2}\]

이다. 전위의 2차 공간 변화를 합친 스칼라다. 일정한 유전율 $\varepsilon$의 정전기장에서 $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$, $\mathbf E=-\nabla V$를 Gauss 법칙에 넣으면

\[\boxed{\nabla^2V=-\frac{\rho_v}{\varepsilon}}\]

라는 Poisson 방정식을 얻는다. 전하가 없는 영역에서는 $\nabla^2V=0$인 Laplace 방정식이 된다. 유전율이 공간에 따라 변하면 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)=-\rho_v$를 사용해야 한다.

충분히 매끄러운 장에는 두 항등식이 성립한다.

\[\nabla\times(\nabla f)=\mathbf0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0.\]

혼합 편미분들이 서로 상쇄되기 때문이다. 첫 번째는 보존장의 Curl이 0임을, 두 번째는 Curl로 만들어진 장의 발산이 0임을 보여준다.

적분형과 미분형이 연결되는 과정

Gauss 법칙에 발산정리를 적용하면

\[\iint_{\partial\Omega}\mathbf D\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_\Omega\rho_v\,dV \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf D=\rho_v.\]

시간에 따라 움직이지 않는 경로와 곡면에 대한 Faraday 법칙에 Stokes 정리를 적용하면

\[\begin{aligned} \oint_{\partial S}\mathbf E\cdot d\mathbf l &=-\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS,\\ \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}. \end{aligned}\]

고정 곡면이므로 적분 안으로 시간미분을 옮길 수 있다. 이동하는 회로에는 운동에 의한 기전력도 고려해야 한다.

나머지 Maxwell 방정식은

\[\nabla\cdot\mathbf B=0, \qquad \nabla\times\mathbf H=\mathbf J+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}.\]

두 번째 식에 발산을 취하면 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf H)=0$이므로

\[\boxed{\nabla\cdot\mathbf J+\frac{\partial\rho_v}{\partial t}=0}\]

을 얻는다. 밖으로 전류가 나가면 내부 전하가 줄어야 한다는 전하 보존식이다. 이렇게 미분 연산과 적분 정리는 같은 현상을 점·경계·영역의 서로 다른 관점에서 설명한다.

23. 어떤 연산과 정리를 선택할까?

알고 싶은 양	선택	확인할 조건
스칼라값이 가장 빨리 변하는 방향	Gradient	미분 가능성, 영벡터 여부
특정 방향의 변화율	방향도함수	방향벡터 정규화
한 점의 순유출 경향	Divergence	성분과 좌표계
한 점의 순환 경향	Curl	회전축과 오른손 방향
경로를 따라 한 일	벡터 선적분	경로의 매개변수와 방향
평면 폐곡선의 순환	Green	내부 매끄러움, 양의 경계방향
공간 폐곡선의 순환	Stokes	경계·법선 일치, 곡면 위 특이점
닫힌 면을 지나는 총 플럭스	발산정리	닫힘, 바깥 법선, 내부 특이점
질량·전하의 총량	스칼라 중적분	밀도, 영역, Jacobian

공식을 고르기 전에 대상이 곡선인지 면인지 부피인지, 장과 접선의 내적인지 법선의 내적인지를 먼저 판단한다. 계산한 다음에는 방향을 뒤집었을 때의 부호, 대칭성, 단위로 검산한다.

24. 연습문제와 해설

문제 1. Gradient와 접평면

$f=x^2+y^2+z^2$의 $P=(1,2,2)$에서 $\mathbf a=(2,-1,2)$ 방향의 방향도함수와 등위면의 접평면을 구하자.

해설. $\nabla f(P)=(2,4,4)$, $\lVert\mathbf a\rVert=3$이므로 방향도함수는 $(4-4+8)/3=8/3$이다. 접평면은 $2(x-1)+4(y-2)+4(z-2)=0$, 즉 $x+2y+2z=9$이다.

문제 2. 발산과 Curl은 독립적인가?

$\mathbf F=(x-y,x+y,2z)$의 발산과 Curl을 구하자.

해설. 발산은 $1+1+2=4$이고 Curl은 $(0,0,1-(-1))=(0,0,2)$이다. 이 장에는 순유출과 순환이 동시에 있다. 발산과 Curl은 둘 중 하나만 존재하는 선택지가 아니다.

문제 3. 면적분을 발산정리로 바꾸기

문제 2의 장이 단위구 바깥으로 내보내는 총 플럭스를 구하자.

해설. 장은 구 전체에서 매끄럽다. 발산이 $4$이므로 총 플럭스는 $4(4\pi/3)=16\pi/3$이다. Curl의 값은 이 계산에 필요하지 않다.

문제 4. 방향을 바꾸면 어떻게 되는가?

$\mathbf F=(-y,x,0)$를 반지름 2인 원을 따라 위에서 보아 시계방향으로 적분하자.

해설. 반시계방향 순환은 $2\pi(2^2)=8\pi$이다. 시계방향은 부호를 바꿔 $-8\pi$이다. Stokes를 사용할 때도 법선을 아래쪽으로 골라야 같은 결과가 나온다.

문제 5. 체적요소를 빠뜨리지 않았는가?

반지름 $a$, 높이 $h$의 원통에서 $\rho_v=kr$일 때 총전하를 구하자.

해설. 원통좌표의 체적요소에도 $r$이 있으므로

\[Q=\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^a kr\cdot r\,dr\,d\phi\,dz =\frac{2\pi kha^3}{3}.\]

밀도의 $r$과 Jacobian의 $r$은 서로 다른 이유로 등장한다.

25. 선형대수에서 장의 해석까지

선형대수는 벡터를 기저방향으로 분해하고 행렬로 변환한다. 벡터 미적분에서는 같은 내적·외적을 공간의 각 점에서 사용하고, 그 변화를 미분하거나 영역 전체에 걸쳐 적분한다.

• 정사영 → 방향도함수·선적분: 원하는 방향의 성분을 고른다.
• 행렬식 → Jacobian·면적벡터: 좌표변환이 면적과 부피를 얼마나 바꾸는지 계산한다.
• 국소 미분 → 경계 적분: 발산정리와 Stokes 정리로 점의 성질을 전체 영역의 양과 연결한다.
• 전위 → 전기장 → 전하밀도: Gradient와 Divergence를 연속해서 적용하면 Poisson 방정식이 나온다.

이 연결을 이해하면 공식을 따로 외우기보다, 문제의 기하학과 물리량에서 필요한 연산을 선택할 수 있다.