Ordinary Differential Equation (ODE)
1계 미분방정식의 기초
미분방정식(Differential Equation)은 미지의 함수와 그 함수의 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식이다.
예를 들어
\[\frac{dy}{dx}=2x\]는 함수 $y(x)$의 변화율이 $2x$라는 의미이다.
양변을 적분하면
\[y=x^2+C\]를 얻을 수 있다.
즉, 미분방정식을 푼다는 것은 주어진 미분 관계를 만족하는 함수 $y(x)$를 찾는 것이다.
상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)은 하나의 독립변수에 대한 도함수를 포함한다. 여러 독립변수에 대한 편도함수를 포함하는 편미분방정식(PDE)과 구분한다. 이 글에서는 실수 범위의 1계 ODE를 다룬다.
일반해와 초기값 문제
위의 $y=x^2+C$처럼 임의의 상수를 포함한 해의 모음을 일반해라고 한다. 여기에 $y(0)=2$라는 초기조건을 주면 $C=2$가 결정되어 $y=x^2+2$를 얻는다. 미분방정식과 초기조건을 함께 푸는 문제가 초기값 문제(Initial Value Problem)이다.
해는 방정식을 만족하는 함수와 그 함수가 정의되는 구간을 함께 생각해야 한다. 분모가 0이 되거나 로그·제곱근이 정의되지 않는 지점을 지나도록 해를 임의로 확장할 수는 없다.
미분방정식의 차수
미분방정식에서 가장 높은 차수의 도함수를 미분방정식의 차수(Order)라고 한다.
예를 들어
\[\frac{dy}{dx}+y=x\]는 최고 도함수가 $y’$이므로 1계 미분방정식이다.
반면
\[\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=0\]는 최고 도함수가 $y’‘$이므로 2계 미분방정식이다.
이번 장에서는 다음과 같은 1계 미분방정식을 다룬다.
- 변수분리형 미분방정식
- 동차 미분방정식
- 완전 미분방정식
- 선형 미분방정식
- 비선형 미분방정식
- 선형·비선형 모델
이 분류들은 서로 배타적이지 않다. 예를 들어 $y’=xy$는 변수분리형이면서 선형이고, $y’=y(1-y)$는 변수분리형·자율형이면서 비선형이다.
1. 변수분리형 미분방정식
기본 개념
다음과 같은 형태의 미분방정식을 생각해보자.
\[\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\]$x$와 $y$가 곱의 형태로 분리되어 있기 때문에 양변을 정리하면
\[\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx\]가 된다.
이제 양쪽을 각각 적분한다.
\[\int\frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx\]이러한 형태를 변수분리형 미분방정식(Separable Differential Equation)이라고 한다.
단, $h(y)$로 나누는 과정은 $h(y)\neq0$인 구간에서만 가능하다. $h(c)=0$인 상수 $c$가 있다면 $y(x)\equiv c$도 원래 방정식의 해인지 별도로 확인한다.
풀이 순서
변수분리형 문제를 만나면 다음 순서로 풀면 된다.
- $h(y)=0$에서 얻는 상수해를 먼저 확인한다.
- $h(y)\neq0$인 구간에서 $x$와 $y$를 분리한다.
- 양변을 적분하고 적분상수 $C$를 포함한다.
- 가능하다면 $y$에 대해 정리한다.
- 초기조건으로 $C$를 결정하고, 원래 방정식과 정의구간을 확인한다.
예제 1: 지수함수 형태의 해
다음 미분방정식을 풀어보자.
\[\frac{dy}{dx}=3x^2y\]풀이
우선 $y$와 $x$를 분리한다.
\[\frac{1}{y}dy=3x^2dx\]양변을 적분하면
\[\int\frac{1}{y}dy = \int3x^2dx\]따라서
\[\ln|y|=x^3+C\]양변에 지수함수를 취하면
\[|y|=e^{x^3+C}\]이고
\[e^{x^3+C}=e^Ce^{x^3}\]이다. 여기서 $e^C>0$이므로 $y$의 부호까지 포함한 새 상수를 쓰면 $y=Ce^{x^3}$이며, 이 단계에서는 $C\neq0$이다. 처음에 $y$로 나누면서 제외했던 $y=0$도 원래 방정식의 해이므로, 최종적으로 $C$를 모든 실수로 허용하면
\[\boxed{y=Ce^{x^3}}\]가 된다.
초기조건 적용
만약
\[y(0)=2\]라면
\[2=Ce^0\]따라서
\[C=2\]이므로 해는
\[\boxed{y=2e^{x^3}}\]이다.
예제 2: 음함수 해와 명시적 해
다음 초기값 문제를 풀어보자.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^2}{1+y^2}\] \[y(0)=0\]Step 1. 변수 분리
\[(1+y^2)dy=(1+x^2)dx\]Step 2. 양변 적분
\[\int(1+y^2)dy = \int(1+x^2)dx\]따라서
\[y+\frac{y^3}{3} = x+\frac{x^3}{3}+C\]Step 3. 초기조건 적용
$x=0$, $y=0$을 대입하면
\[0=0+C\]따라서
\[C=0\]이다.
최종적으로
\[\boxed{ y+\frac{y^3}{3} = x+\frac{x^3}{3} }\]을 얻는다.
이와 같이 $x$와 $y$의 관계만 나타내는 해를 음함수 형태의 해(Implicit Solution)라고 한다.
다만 이 예제에서는 더 간단히 정리할 수 있다. $f(u)=u+u^3/3$은 $f’(u)=1+u^2>0$이므로 실수 전체에서 일대일이다. 따라서 $f(y)=f(x)$에서 명시적인 해 $\boxed{y=x}$를 얻는다.
예제 3: 로지스틱 초기값 문제
다음 초기값 문제를 풀어보자.
\[\frac{dy}{dx}=y(1-y)\] \[y(0)=\frac12\]먼저 변수분리를 한다.
\[\frac{dy}{y(1-y)} = dx\]부분분수 분해를 이용하면
\[\frac{1}{y(1-y)} = \frac1y+\frac1{1-y}\]이다.
따라서
\[\int \left( \frac1y+\frac1{1-y} \right)dy = \int dx\]두 번째 항의 적분에서는 부호에 주의해야 한다.
\[\int\frac1{1-y}dy = -\ln|1-y|\]따라서
\[\ln|y|-\ln|1-y| = x+C\]로그의 성질을 이용하면
\[\ln \left| \frac{y}{1-y} \right| = x+C\]따라서
\[\frac{y}{1-y} = Ce^x\]이다.
이를 $y$에 대해 정리하면
\[y=Ce^x(1-y)\] \[y+Ce^xy=Ce^x\] \[y(1+Ce^x)=Ce^x\]따라서
\[y= \frac{Ce^x}{1+Ce^x}\]이다.
초기조건
\[y(0)=\frac12\]을 대입하면
\[\frac12 = \frac{C}{1+C}\]따라서
\[C=1\]이므로
\[\boxed{ y=\frac{e^x}{1+e^x} = \frac1{1+e^{-x}} }\]이다.
변수분리에서 주의할 점
예를 들어
\[y'=y(1-y)\]에서 변수분리를 위해 $y(1-y)$로 나누었다.
그런데
\[y(1-y)=0\]인 경우에는 나눗셈이 불가능하다.
따라서
\[y=0\]과
\[y=1\]도 별도의 해라는 사실을 확인해야 한다.
이러한 해를 평형해(Equilibrium Solution)라고 한다.
2. 동차 미분방정식
여기서 말하는 동차 미분방정식은 이후 배우게 될
\[y'+P(x)y=0\]형태의 선형 동차방정식과는 다른 개념이다.
1계 미분방정식에서
\[\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)\]의 형태가 만들어지는 경우를 동차 미분방정식(Homogeneous Differential Equation)이라고 한다.
이때 핵심적인 치환은
\[v=\frac{y}{x}\]또는
\[y=vx\]이다.
미분하면
\[\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}\]가 된다.
$x\neq0$인 구간에서 대입하면
\[x\frac{dv}{dx}=F(v)-v\]이므로 $F(v)-v\neq0$인 곳에서는
\[\frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}\]로 변수분리할 수 있다. 이때 $F(c)=c$를 만족하는 상수 $c$가 있다면 치환된 방정식의 상수해 $v=c$, 즉 원래 방정식의 직선해 $y=cx$도 별도로 확인한다.
예제 1: 로그를 이용한 해
다음을 풀어보자.
\[\frac{dy}{dx} = 1+\frac{y}{x}\]우변이 $y/x$의 함수이므로
\[y=vx\]라고 놓는다.
그러면
\[y'=v+xv'\]이다.
원래 방정식에 대입한다.
\[v+xv' = 1+v\]양변에서 $v$를 제거하면
\[xv'=1\]따라서
\[dv=\frac1x dx\]적분하면
\[v=\ln|x|+C\]이다.
그런데
\[v=\frac{y}{x}\]였으므로
\[\frac{y}{x} = \ln|x|+C\]따라서
\[\boxed{ y=x\left(\ln|x|+C\right) }\]이다.
예제 2: 제곱 형태의 음함수 해
다음을 풀어보자.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{xy}\]우변을 정리하면
\[\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\]이다.
$y=vx$라고 놓으면
\[\frac{y}{x}=v\]이고
\[\frac{x}{y} = \frac1v\]이다.
또한
\[y'=v+xv'\]이므로
\[v+xv' = v+\frac1v\]이다.
$v$를 제거하면
\[xv'=\frac1v\]따라서
\[v\,dv=\frac1x dx\]양변을 적분하면
\[\frac12v^2 = \ln|x|+C\]따라서
\[v^2 = 2\ln|x|+C\]이다.
$v=y/x$를 다시 대입하면
\[\boxed{ \left(\frac{y}{x}\right)^2 = 2\ln|x|+C }\]이다.
또는
\[\boxed{ y^2=x^2\left(2\ln|x|+C\right) }\]로 표현할 수도 있다. 원래 식에서 \(xy\neq0\)이어야 하므로 실수해는 \(x\neq0\)이고 $2 \ln \vert x \vert+C >0$인 구간에서만 성립한다. $y$의 부호도 해당 구간에서 하나를 선택한다.
예제 3: 역탄젠트를 이용한 해
다음을 풀어보자.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}\]분자와 분모가 모두 $x$, $y$에 대한 1차 동차식이다.
$y=vx$라고 놓으면
\[y'=v+xv'\]이고
\[\frac{y-x}{y+x} = \frac{vx-x}{vx+x} = \frac{v-1}{v+1}\]이다.
따라서
\[v+xv' = \frac{v-1}{v+1}\]이다.
정리하면
\[xv' = \frac{v-1}{v+1}-v\]통분하면
\[xv' = \frac{v-1-v(v+1)}{v+1} = -\frac{v^2+1}{v+1}\]따라서
\[\frac{v+1}{v^2+1}dv = -\frac1x dx\]이다.
왼쪽 적분은
\[\int \frac{v+1}{v^2+1}dv\]이고 두 부분으로 나누면
\[\int\frac{v}{v^2+1}dv + \int\frac1{v^2+1}dv\]가 된다.
따라서
\[\frac12\ln(v^2+1) + \tan^{-1}v = -\ln|x|+C\]이다.
$v=y/x$를 다시 넣으면
\[\frac12 \ln \left( 1+\frac{y^2}{x^2} \right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = -\ln|x|+C\]이고 로그를 정리하면
\[\boxed{ \frac12\ln(x^2+y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = C }\]를 얻는다. 이 표현은 $x\neq0$이고 $x+y\neq0$인 구간에서 사용한다. 원래 방정식은 $x=0$, $y\neq0$에서도 정의되지만, $y/x$ 치환과 위의 역탄젠트 표현은 그 지점을 직접 포함하지 못하므로 연장할 때는 별도로 살펴야 한다.
3. 완전 미분방정식
다음 형태의 방정식을 생각해보자.
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]어떤 함수 $\psi(x,y)$가 존재하여
\[\frac{\partial\psi}{\partial x}=M\]그리고
\[\frac{\partial\psi}{\partial y}=N\]을 만족한다면
\[d\psi=Mdx+Ndy\]이므로 원래 방정식은
\[d\psi=0\]이 된다.
따라서
\[\boxed{ \psi(x,y)=C }\]가 해이다.
완전미분방정식 판별법
$M$, $N$이 열린 영역에서 연속인 1차 편도함수를 갖는다고 하자. 완전미분방정식이라면 반드시
\[\boxed{ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} }\]가 성립한다. 역으로, 영역이 단일연결일 때(예: 열린 직사각형이나 원판) 이 조건은 완전성을 보장한다. 구멍이 있는 영역에서는 이 등식만으로 영역 전체의 완전성을 단정할 수 없지만, 각 점 주위의 충분히 작은 직사각형에서는 판별에 사용할 수 있다.
예제 1: 다항식으로 된 완전방정식
다음을 풀어보자.
\[(2xy+3)dx+(x^2+4y)dy=0\]여기서
\[M=2xy+3\] \[N=x^2+4y\]이다.
먼저 완전성을 확인한다.
\[M_y=2x\] \[N_x=2x\]따라서
\[M_y=N_x\]이므로 완전미분방정식이다.
이제
\[\psi_x=M\]이므로
\[\psi = \int(2xy+3)dx = x^2y+3x+g(y)\]이다.
여기서 중요한 점은 $x$에 대해 적분했기 때문에 적분상수가 단순한 상수 $C$가 아니라 $y$의 함수 $g(y)$가 될 수 있다는 것이다.
이제 $y$에 대해 미분한다.
\[\psi_y = x^2+g'(y)\]그런데
\[\psi_y=N=x^2+4y\]이므로
\[g'(y)=4y\]따라서
\[g(y)=2y^2\]이다.
결국
\[\boxed{ x^2y+3x+2y^2=C }\]를 얻는다.
예제 2: 지수·삼각함수가 포함된 완전방정식
다음을 풀어보자.
\[(e^x\cos y+2x)dx - e^x\sin y\,dy = 0\]여기서
\[M=e^x\cos y+2x\] \[N=-e^x\sin y\]이다.
편미분하면
\[M_y=-e^x\sin y\] \[N_x=-e^x\sin y\]이므로 완전미분방정식이다.
$M$을 $x$에 대해 적분하면
\[\psi = \int (e^x\cos y+2x)dx = e^x\cos y+x^2+g(y)\]이다.
$y$에 대해 미분하면
\[\psi_y = -e^x\sin y+g'(y)\]그런데
\[N=-e^x\sin y\]이므로
\[g'(y)=0\]이다.
따라서
\[\boxed{ e^x\cos y+x^2=C }\]가 된다.
예제 3: 초기값 문제
다음을 풀어보자.
\[(2x+y)dx+(x+2y)dy=0\] \[y(0)=1\]여기서
\[M=2x+y\] \[N=x+2y\]이고
\[M_y=1\] \[N_x=1\]이므로 완전방정식이다.
$M$을 적분하면
\[\psi = x^2+xy+g(y)\]이다.
$y$에 대해 미분하면
\[\psi_y=x+g'(y)\]이고
\[N=x+2y\]이므로
\[g'(y)=2y\]따라서
\[g(y)=y^2\]이다.
그러므로
\[x^2+xy+y^2=C\]이다.
초기조건
\[x=0,\qquad y=1\]을 대입하면
\[C=1\]이므로
\[\boxed{ x^2+xy+y^2=1 }\]이다.
적분인자로 완전하게 만들기
완전하지 않은 식도 0이 아닌 함수 $\mu$를 곱하면 완전해지는 경우가 있다. 다음은 자주 쓰는 두 조건이다.
- $N\neq0$인 영역에서 $(M_y-N_x)/N=f(x)$처럼 $x$만의 함수이면 $\mu(x)=e^{\int f(x)\,dx}$를 사용한다.
- $M\neq0$인 영역에서 $(N_x-M_y)/M=g(y)$처럼 $y$만의 함수이면 $\mu(y)=e^{\int g(y)\,dy}$를 사용한다.
예를 들어 첫 번째 조건은 $(\mu M)_y=(\mu N)_x$를 전개하여 $\mu’/\mu=(M_y-N_x)/N$으로 정리하면 얻어진다. 두 조건에 맞지 않는다고 해서 적분인자가 없다는 뜻은 아니다.
예제 4: 적분인자가 필요한 경우
다음을 보자.
\[(x+2y)dx+xdy=0\]여기서
\[M=x+2y\] \[N=x\]이다.
따라서
\[M_y=2\] \[N_x=1\]이므로 완전하지 않다.
하지만
\[\frac{M_y-N_x}{N} = \frac{2-1}{x} = \frac1x\]처럼 $x$만의 함수가 된다.
따라서 적분인자(Integrating Factor)는
\[\mu(x)=e^{\ln|x|}=|x|\]이다. $x>0$ 또는 $x<0$인 구간에서는 0이 아닌 상수배도 적분인자이므로 $\mu(x)=x$로 둘 수 있다. 이후 풀이는 $x\neq0$인 구간에서 진행한다.
원래 방정식에 $x$를 곱한다.
\[(x^2+2xy)dx+x^2dy=0\]이제
\[M_y=2x\] \[N_x=2x\]이므로 완전방정식이 된다.
$M$을 적분하면
\[\psi = \frac{x^3}{3} +x^2y\]따라서
\[\boxed{ \frac{x^3}{3}+x^2y=C }\]를 얻는다.
4. 선형 미분방정식
1계 선형 미분방정식의 표준형은
\[\boxed{ y'+P(x)y=Q(x) }\]이다.
보다 일반적으로 $a_1(x)y’+a_0(x)y=b(x)$의 형태를 선형이라고 한다. $y$와 $y’$는 1차로만 나타나고 서로 곱해지지 않으며, 계수는 독립변수 $x$에만 의존한다. $a_1(x)\neq0$인 구간에서 나누면 위의 표준형을 얻는다.
$Q(x)=0$이면 선형 동차방정식, 그렇지 않으면 선형 비동차방정식이다. 여기서의 동차는 2절의 $y’=F(y/x)$와 구분해야 한다.
예를 들어
\[y'+xy=\sin x\]는 선형이지만
\[y'+y^2=x\]는 $y^2$이 있으므로 비선형이다.
적분인자
선형 미분방정식을 풀기 위한 핵심은 적분인자(Integrating Factor)이다. $P$, $Q$가 연속인 구간에서 풀이하며, 그 구간 안의 초기조건 $y(x_0)=y_0$에 대해서는 유일한 해가 존재한다.
\[\boxed{ \mu(x)=e^{\int P(x)dx} }\]를 구한다.
원래 방정식에 $\mu(x)$를 곱하면
\[\mu y'+\mu Py = \mu Q\]가 되는데 왼쪽은
\[\frac{d}{dx}(\mu y)\]로 묶인다.
따라서
\[(\mu y)'=\mu Q\]이고
\[\mu y = \int\mu Qdx+C\]이다.
최종적으로
\[\boxed{ y= \frac1{\mu} \left( \int\mu Qdx+C \right) }\]이다.
예제 1: 지수함수 외력
다음을 풀어보자.
\[y'+2y=e^x\]여기서
\[P(x)=2\]이므로 적분인자는
\[\mu=e^{\int2dx}=e^{2x}\]이다.
양변에 $e^{2x}$를 곱한다.
\[e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{3x}\]왼쪽은
\[(e^{2x}y)'\]이므로
\[(e^{2x}y)'=e^{3x}\]이다.
적분하면
\[e^{2x}y = \frac13e^{3x}+C\]따라서
\[\boxed{ y=\frac13e^x+Ce^{-2x} }\]이다.
예제 2: 표준형으로 바꾸기
다음을 풀어보자.
\[xy'+y=x^2\]먼저 $x\neq0$인 구간에서 $x$로 나누어 표준형으로 만든다.
\[y'+\frac1x y=x\]따라서
\[P(x)=\frac1x\]이고
\[\mu = e^{\int1/x\,dx}\] \[=e^{\ln|x|}\]이다.
$x>0$인 구간을 생각하면
\[\mu=x\]이다.
양변에 $x$를 곱하면
\[xy'+y=x^2\]이고 왼쪽은
\[(xy)'\]이다.
따라서
\[(xy)'=x^2\]적분하면
\[xy=\frac{x^3}{3}+C\]따라서
\[\boxed{ y=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x} }\]이다. 같은 해의 형태는 $x<0$인 구간에서도 성립한다. 원래 식 $xy’+y=x^2$는 $x=0$에서도 정의되므로, 0을 포함하는 구간의 해도 확인할 수 있다. 그 경우에는 $C=0$이어야 하며, $y=x^2/3$은 실수 전체에서 원래 식을 만족한다.
예제 3: 초기값 문제
\[y'-y=2e^x\] \[y(0)=1\]여기서
\[P(x)=-1\]이므로
\[\mu=e^{-x}\]이다.
양변에 $e^{-x}$를 곱하면
\[e^{-x}y'-e^{-x}y=2\]왼쪽은
\[(e^{-x}y)'\]이므로
\[(e^{-x}y)'=2\]이다.
적분하면
\[e^{-x}y=2x+C\]따라서
\[y=e^x(2x+C)\]이다.
초기조건을 적용하면
\[1=C\]이므로
\[\boxed{ y=e^x(2x+1) }\]이다.
예제 4: 삼각함수 외력
다음을 풀어보자.
\[y' + \frac{2}{x}y = \frac{\sin x}{x^2}\]$x>0$이라고 하자.
적분인자는
\[\mu = e^{\int2/x\,dx}\] \[=e^{2\ln x}\] \[=x^2\]이다.
따라서
\[x^2y'+2xy=\sin x\]이고
\[(x^2y)'=\sin x\]이다.
적분하면
\[x^2y=-\cos x+C\]따라서
\[\boxed{ y=\frac{C-\cos x}{x^2} }\]이다.
5. 비선형 미분방정식
선형 미분방정식의 형태
\[y'+P(x)y=Q(x)\]처럼 $y$, $y’$에 대해 선형인 형태로 정리되지 않는 방정식을 비선형 미분방정식이라고 한다. 비선형이라고 해서 항상 새로운 풀이법이 필요한 것은 아니며, 앞서 배운 변수분리나 완전미분법이 적용되기도 한다.
예를 들어
\[y'=y^2+x\] \[yy'+x=0\] \[y'+\sin y=x\]등은 모두 비선형이다.
5.1 베르누이 방정식
대표적인 비선형 미분방정식 중 하나가 베르누이 방정식(Bernoulli Equation)이다.
\[\boxed{ y'+P(x)y=Q(x)y^n }\]여기서
\[n\neq0,\qquad n\neq1\]이다.
치환
\[\boxed{ v=y^{1-n} }\]을 이용하면 선형 미분방정식으로 변환된다.
미분하면
\[v' = (1-n)y^{-n}y'\]이다.
Bernoulli 방정식에 $y^{-n}$을 곱하면
\[y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)\]이다.
따라서
\[\frac1{1-n}v' + P(x)v = Q(x)\]이고 양변에 $1-n$을 곱하면
\[\boxed{ v' + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x) }\]라는 선형방정식을 얻는다.
이 변환은 $y\neq0$이고 거듭제곱이 실수로 정의되는 구간에서 적용한다. $n$이 정수가 아니면 허용되는 $y$의 범위에도 주의한다. 변환에서 제외한 $y=0$은 원래 식에 대입해 별도로 확인한다. 참고로 $n=0$과 $n=1$은 처음부터 선형방정식이다.
예제 1: 베르누이 방정식 ($n=2$)
다음을 풀어보자.
\[y'+y=xy^2\]여기서는
\[n=2\]이므로
\[v=y^{1-2}=y^{-1}\]로 놓는다.
즉,
\[v=\frac1y\]이다.
미분하면
\[v' = -\frac{y'}{y^2}\]이다.
원래 식을 $y^2$으로 나누면
\[\frac{y'}{y^2} + \frac1y = x\]이다.
따라서
\[-v'+v=x\]이고
\[v'-v=-x\]이다.
이제 선형방정식이 되었다.
적분인자는
\[\mu=e^{-x}\]이다.
따라서
\[(e^{-x}v)' = -xe^{-x}\]이다.
적분하면
\[e^{-x}v = (x+1)e^{-x}+C\]따라서
\[v=x+1+Ce^x\]이다.
$v=1/y$였으므로
\[\boxed{ y= \frac1{x+1+Ce^x} }\]이다.
그리고 변형 과정에서 $y^2$으로 나누었으므로
\[\boxed{y=0}\]역시 별도의 해가 된다.
예제 2: 베르누이 방정식 ($n=3$)
다음을 풀어보자.
\[y' + \frac2x y = x^3y^3\]여기서는
\[n=3\]이다.
따라서
\[v=y^{-2}\]로 놓는다.
Bernoulli 변환식을 적용하면
\[v' + (1-3)\frac2x v = (1-3)x^3\]즉
\[v' - \frac4xv = -2x^3\]이다.
적분인자는
\[\mu = e^{\int-4/x\,dx}\] \[=x^{-4}\]이다.
따라서
\[(x^{-4}v)' = -\frac2x\]이다.
적분하면
\[x^{-4}v = -2\ln|x|+C\]이다.
따라서
\[v = x^4 \left( C-2\ln|x| \right)\]이다.
그런데
\[v=y^{-2}\]이므로
\[y^{-2} = x^4 \left( C-2\ln|x| \right)\]이다.
따라서
\[\boxed{ y = \pm \frac1{x^2 \sqrt{C-2\ln|x|}} }\]이다.
이 밖에 $y=0$도 해이다. 위의 0이 아닌 실수해는 $x\neq0$이고 $C-2\ln \vert x \vert >0$인 구간에서만 성립하며, $\pm$ 중 한 부호를 선택한다.
5.2 자율형 미분방정식
다음처럼 독립변수 $x$가 명시적으로 등장하지 않는 방정식을
\[\boxed{ y'=f(y) }\]자율형 미분방정식(Autonomous Differential Equation)이라고 한다. 자율형은 선형일 수도 있고 비선형일 수도 있다.
$f(y_)=0$이면 $y(x)\equiv y_$는 평형해이다. 평형해 사이에서 $f(y)$의 부호를 조사하면 해가 증가하는지 감소하는지 알 수 있다. $f$가 평형점 근처에서 연속 미분 가능할 때, $f’(y_)<0$이면 그 평형점은 점근적으로 안정하고, $f’(y_)>0$이면 불안정하다. $f’(y_*)=0$이면 주변의 부호를 추가로 조사해야 한다.
예제 3: 자율형 초기값 문제
\[y'=y(2-y)\] \[y(0)=\frac12\]변수분리를 하면
\[\frac{dy}{y(2-y)} = dx\]이다.
부분분수 분해하면
\[\frac1{y(2-y)} = \frac12 \left( \frac1y+\frac1{2-y} \right)\]이다.
따라서
\[\frac12 \int \left( \frac1y+\frac1{2-y} \right)dy = \int dx\]이다.
적분하면
\[\frac12 \ln \left| \frac{y}{2-y} \right| = x+C\]이다.
양변에 2를 곱하면
\[\ln \left| \frac{y}{2-y} \right| = 2x+C\]따라서
\[\frac{y}{2-y} = Ce^{2x}\]이다.
정리하면
\[y = \frac{2Ce^{2x}} {1+Ce^{2x}}\]이다.
또는
\[y= \frac2{1+Ae^{-2x}}\]형태로 나타낼 수 있다.
초기조건을 사용하면
\[\frac12 = \frac2{1+A}\]이므로
\[A=3\]이다.
따라서
\[\boxed{ y= \frac2{1+3e^{-2x}} }\]이다.
평형해는 $y=0$과 $y=2$이다. $f’(y)=2-2y$이므로 $y=0$은 불안정하고 $y=2$는 점근적으로 안정하다. 위 초기조건의 해는 $0<y<2$에서 증가하며 $x\to\infty$일 때 $y=2$에 가까워진다.
5.3 리카티 방정식
Riccati 방정식은
\[\boxed{ y' = a(x)y^2+b(x)y+c(x) }\]형태이다.
일반적인 Riccati 방정식은 바로 풀기 어렵지만 특정해 $y_p$ 하나를 알고 있다면
\[y=y_p+\frac1u\]라는 치환을 이용해 선형방정식으로 바꿀 수 있다. $y_p$가 원래 방정식을 만족한다는 사실을 이용해 정리하면
\[\boxed{u'+(2a(x)y_p+b(x))u=-a(x)}\]를 얻는다. 이 치환에서는 $u\neq0$이어야 하며, 치환에 포함되지 않는 $y=y_p$도 해로 함께 기록해야 한다. $a(x)\equiv0$이면 원래 방정식은 선형이다.
예제 4: 특정해를 이용한 리카티 방정식
다음 방정식을 생각해보자.
\[y' = y^2-\frac1x y-\frac1{x^2}\]이 방정식의 특정해 중 하나는
\[y_p=\frac1x\]이다.
실제로
\[y_p'=-\frac1{x^2}\]이고 우변에 $1/x$를 넣으면
\[\frac1{x^2} -\frac1{x^2} -\frac1{x^2} = -\frac1{x^2}\]이므로 성립한다.
이제
\[y=\frac1x+\frac1u\]라고 놓는다.
미분하면
\[y' = -\frac1{x^2} - \frac{u'}{u^2}\]이다.
원래 방정식에 대입하여 정리하면
\[u' + \frac1x u = -1\]이라는 선형방정식을 얻는다.
적분인자는
\[\mu=x\]이다.
따라서
\[(xu)'=-x\]이고
\[xu = -\frac{x^2}{2}+C\]이다.
따라서
\[u = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x}\]이다.
결국
\[\boxed{ y = \frac1x + \frac1{ -\frac{x}{2}+\frac{C}{x} } }\]가 된다. 이는 $x\neq0$, $C-x^2/2\neq0$인 구간에서 성립한다. 치환에서 제외된 특정해 $\boxed{y=1/x}$도 별도의 해이다.
6. 선형·비선형 모델
미분방정식이 중요한 가장 큰 이유는 현실 세계의 변화 현상을 수학적으로 표현할 수 있기 때문이다.
일반적인 모델링 과정은 다음과 같다.
- 상태변수를 정한다.
- 변화율을 생각한다.
- 변화율에 영향을 주는 요소를 찾는다.
- 미분방정식을 세운다.
- 초기조건을 이용한다.
- 미분방정식을 푼다.
- 결과를 현실적인 의미로 해석한다.
6.1 지수 성장·감소 모델
개체 수나 물질의 양의 변화율이 현재 양에 비례한다고 가정하면
\[\frac{dP}{dt}=kP\]가 된다.
초기량 $P(0)=P_0>0$이라고 하고 변수분리를 하면
\[\frac{dP}{P}=kdt\]따라서
\[\ln P=kt+C\]이므로
\[\boxed{ P(t)=P_0e^{kt} }\]이다.
$k>0$이면 성장이고
\[k<0\]이면 감소이다. $P_0=0$인 경우에는 $P(t)=0$이며, 위의 최종 공식에도 포함된다. $k$의 단위는 시간 단위의 역수이다.
응용 문제 1 - 방사성 물질
어떤 방사성 물질이 처음에 $100\,mg$ 존재하고 반감기가 8시간이라고 하자.
20시간 후 남은 양을 구하여라.
Step 1. 모델 설정
방사성 붕괴는
\[A'=kA\]로 모델링할 수 있다.
따라서
\[A(t)=100e^{kt}\]이다.
Step 2. 반감기 사용
8시간 후 양은 절반이므로
\[A(8)=50\]이다.
따라서
\[50=100e^{8k}\] \[\frac12=e^{8k}\]로그를 취하면
\[8k=\ln\frac12\]따라서
\[k=-\frac{\ln2}{8}\]이다.
Step 3. 20시간 후 계산
\[A(20) = 100e^{-\frac{\ln2}{8}\times20}\]이는
\[A(20) = 100\cdot2^{-20/8}\]이고
$$
100\cdot2^{-2.5} $$
이다.
따라서
\[\boxed{ A(20)\approx17.68\,mg }\]이다.
6.2 Newton의 냉각 법칙
물체의 온도 변화율이 물체와 주변 온도의 차이에 비례한다고 가정한다.
\[\boxed{ \frac{dT}{dt} = -k(T-T_a) }\]여기서
- $T$: 물체의 온도
- $T_a$: 주변 온도
- $k>0$: 냉각상수 (시간 단위의 역수)
이다.
주변 온도 $T_a$와 $k$가 일정하고 $T(0)=T_0$일 때 해는
\[\boxed{ T(t) = T_a+ (T_0-T_a)e^{-kt} }\]이다.
응용 문제 2 - 커피 냉각
실내 온도가 $20^\circ C$인 방에서 커피의 초기 온도가 $90^\circ C$이다.
10분 후 커피의 온도가 $60^\circ C$였다.
20분 후 커피의 온도를 구하여라.
Step 1. 모델 설정
\[T(t) = 20+(90-20)e^{-kt}\]따라서
\[T(t) = 20+70e^{-kt}\]이다.
Step 2. 10분 후 조건 이용
\[T(10)=60\]이므로
\[60=20+70e^{-10k}\] \[40=70e^{-10k}\]따라서
\[e^{-10k} = \frac47\]이다.
Step 3. 20분 후
\[e^{-20k} = \left(e^{-10k}\right)^2\]따라서
\[e^{-20k} = \left(\frac47\right)^2 = \frac{16}{49}\]이다.
따라서
\[T(20) = 20+ 70\left(\frac{16}{49}\right)\] \[\approx42.86\]이므로
\[\boxed{ T(20)\approx42.9^\circ C }\]이다.
6.3 혼합 문제
탱크 안에 용질이 균일하게 섞여 있다고 가정한다. $A(t)$를 소금의 질량으로 두면 핵심 공식은
\[\boxed{ \frac{dA}{dt} = \text{소금 유입률} - \text{소금 유출률} }\]이다.
유입·유출 체적유량을 각각 $q_{\mathrm{in}}$, $q_{\mathrm{out}}$, 유입 농도를 $c_{\mathrm{in}}$이라 하면
\[A'=q_{\mathrm{in}}c_{\mathrm{in}}-q_{\mathrm{out}}\frac{A}{V(t)}\]이다. 체적유량이 일정할 때 $V(t)=V_0+(q_{\mathrm{in}}-q_{\mathrm{out}})t$이며, $V(t)>0$이고 탱크가 넘치지 않는 시간 범위에서 모델을 사용한다. 유입률·유출률의 단위는 질량/시간이다.
응용 문제 3 - 소금물 탱크
탱크에 소금 10kg이 녹아 있는 용액 100L가 들어 있다.
소금 농도가
\[0.2\,kg/L\]인 소금물이 분당 5L씩 들어오고, 완전히 섞인 용액이 분당 5L씩 빠져나간다고 하자.
20분 후 탱크 안의 소금 양을 구하여라.
Step 1. 변수 설정
$t$분 후 소금의 양을
\[A(t)\]kg이라고 하자.
Step 2. 소금 유입률
유입농도는
\[0.2\,kg/L\]이고 유입속도는
\[5\,L/min\]이다.
따라서
\[\text{소금 유입률} = 0.2\times5 = 1\,kg/min\]이다.
Step 3. 소금 유출률
탱크 안 농도는
\[\frac{A}{100}\]kg/L이다.
분당 5L가 빠져나가므로
\[\text{소금 유출률} = 5\frac{A}{100} = \frac{A}{20}\]이다.
Step 4. 미분방정식
따라서
\[A' = 1-\frac{A}{20}\]이다.
즉,
\[A' + \frac1{20}A = 1\]이라는 1계 선형 미분방정식이다.
Step 5. 해 구하기
적분인자는
\[\mu=e^{t/20}\]이다.
따라서
\[(e^{t/20}A)' = e^{t/20}\]이다.
적분하면
\[e^{t/20}A = 20e^{t/20}+C\]따라서
\[A=20+Ce^{-t/20}\]이다.
초기 소금량은
\[A(0)=10\]이므로
\[10=20+C\]따라서
\[C=-10\]이다.
그러므로
\[\boxed{ A(t) = 20-10e^{-t/20} }\]이다.
20분 후에는
\[A(20) = 20-10e^{-1}\]따라서
\[\boxed{ A(20)\approx16.32\,kg }\]이다.
6.4 로지스틱 성장 모델
단순한 지수성장 모델은
\[P'=rP\]이지만 실제 환경에서는 자원이 무한하지 않다.
개체 수가 증가할수록 개체당 성장률 $P’/P$가 선형으로 감소한다고 가정하면
\[\boxed{ P' = rP \left( 1-\frac{P}{K} \right) }\]를 얻는다.
이를 Logistic Equation이라고 한다.
여기서
- $r>0$: 고유 성장률 (시간 단위의 역수)
- $K>0$: 환경수용력(Carrying Capacity)
이다.
초기 개체 수가 $P_0>0$일 때 로지스틱 방정식의 해는
\[\boxed{ P(t) = \frac{K} {1+Ae^{-rt}} }\]이다.
초기값 $P(0)=P_0$를 이용하면
\[A = \frac{K-P_0}{P_0}\]이다.
평형해는 $P=0$과 $P=K$이다. $P_0=0$이면 $P(t)=0$이며, $P_0>0$이면 $t\to\infty$일 때 $P(t)\to K$이다. 총 증가율 $P’$는 $0<P<K$에서 $P=K/2$일 때 가장 크다.
응용 문제 4 - 개체 수 증가
어떤 생물의 개체 수 $P$가
\[P' = 0.4P \left( 1-\frac{P}{1000} \right)\]을 만족한다고 하자.
초기 개체 수가 100마리일 때 개체 수가 500마리에 도달하는 시간을 구하여라.
Step 1. Logistic 해
\[P(t) = \frac{1000} {1+Ae^{-0.4t}}\]이다.
초기조건
\[P(0)=100\]을 넣으면
\[100 = \frac{1000}{1+A}\]이다.
따라서
\[1+A=10\] \[A=9\]이다.
그러므로
\[P(t) = \frac{1000} {1+9e^{-0.4t}}\]이다.
Step 2. $P=500$ 대입
\[500 = \frac{1000} {1+9e^{-0.4t}}\]따라서
\[1+9e^{-0.4t}=2\] \[9e^{-0.4t}=1\] \[e^{-0.4t} = \frac19\]로그를 취하면
\[-0.4t = -\ln9\]따라서
\[t = \frac{\ln9}{0.4}\]이다.
계산하면
\[\boxed{ t\approx5.49 }\]이다.
즉 약 5.49의 시간 단위 후 개체 수가 500마리에 도달한다.
6.5 낙하 물체와 공기저항
질량 $m>0$인 물체가 낙하한다고 하자. 아래 방향을 양의 방향으로 두고, 중력가속도 $g>0$과 저항계수 $c>0$가 일정하다고 가정한다.
공기저항이 속도에 비례한다면
\[F_{\text{drag}}=-cv\]이다.
Newton의 운동법칙
\[F=ma\]를 사용하면
\[m\frac{dv}{dt} = mg-cv\]이다.
따라서
\[\boxed{ v' + \frac{c}{m}v = g }\]라는 1계 선형 미분방정식을 얻는다.
응용 문제 5 - 낙하 속도와 종단속도
질량이
\[m=10kg\]인 물체를 정지 상태에서 떨어뜨린다.
공기저항 상수가
\[c=5\,kg/s\]라고 하고
\[g=9.8m/s^2\]라고 하자.
속도 $v(t)$를 구하여라.
Step 1. 운동방정식
\[10v' = 98-5v\]따라서
\[v'+0.5v=9.8\]이다.
적분인자는
\[\mu=e^{0.5t}\]이다.
따라서
\[(e^{0.5t}v)' = 9.8e^{0.5t}\]이다.
적분하면
\[e^{0.5t}v = 19.6e^{0.5t}+C\]따라서
\[v = 19.6+Ce^{-0.5t}\]이다.
초기조건
\[v(0)=0\]을 적용하면
\[C=-19.6\]이다.
따라서
\[\boxed{ v(t) = 19.6 \left( 1-e^{-0.5t} \right) }\]이다.
종단속도
시간이 충분히 지나면
\[t\rightarrow\infty\]이고
\[e^{-0.5t}\rightarrow0\]이다.
따라서
\[\boxed{ v_{\infty}=19.6m/s }\]이다.
이 값을 종단속도(Terminal Velocity)라고 한다.
7. 풀이법 선택과 검산
형태에 따른 풀이법
여러 분류에 동시에 속할 수 있으므로 가장 간단하게 계산되는 방법을 선택한다.
| 형태 또는 조건 | 분류 | 핵심 방법 |
|---|---|---|
| $y’=g(x)h(y)$ | 변수분리형 | $h(y)=0$인 해 확인 후 변수분리 |
| $y’=F(y/x)$ | 동차형 | $y=vx$ 치환, $F(v)=v$인 해 확인 |
| $Mdx+Ndy=0$, $M_y=N_x$ | 완전형 | 영역의 조건 확인 후 $\psi_x=M$, $\psi_y=N$ 계산 |
| $y’+P(x)y=Q(x)$ | 선형 | 적분인자 $\mu=e^{\int P(x)\,dx}$ |
| $y’+P(x)y=Q(x)y^n$, $n\neq0,1$ | 베르누이 | $v=y^{1-n}$ 치환 |
| $y’=f(y)$ | 자율형 | 변수분리, 평형해와 부호 분석 |
| $y’=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$ | 리카티 | 특정해 $y_p$를 알면 $y=y_p+1/u$ 치환 |
완전형의 판별은 3절에서 설명한 연속 편도함수와 영역 조건을 전제로 한다. 표의 형태에 바로 맞지 않으면 식을 정리하거나 적분인자·다른 치환을 검토한다. 일반적인 비선형 방정식은 초등함수로 해를 표현할 수 없는 경우도 있어 수치해법이나 방향장 분석이 필요할 수 있다.
선형 여부를 판단할 때의 기준
1계 선형방정식은 $a_1(x)y’+a_0(x)y=b(x)$의 형태이다. 계수는 $x$에만 의존하고, $y$와 $y’$ 사이의 곱이나 비선형 함수가 없어야 한다.
| 선형 | 비선형 |
|---|---|
| $y’+3xy=e^x$ | $y’+y^2=x$ |
| $xy’+2y=\cos x$ | $yy’+x=0$ |
| $y’-y/x=x^2$ | $y’+\sin y=x$ |
| $y’=x^2$ | $(y’)^2+y=x$ |
해를 구한 뒤 확인할 것
- 원래 방정식에 대입한다. 명시적 해는 미분하여 확인하고, 음함수 해는 양변을 미분하여 확인한다.
- 초기조건을 확인한다. 음함수 관계가 여러 가지 함수를 나타내면 초기점을 지나는 가지를 선택한다.
- 나누면서 제외한 해를 확인한다. $y$, $h(y)$ 등으로 나누었다면 그 값이 0인 경우도 원래 식에 대입한다.
- 정의구간을 확인한다. 분모, 로그, 제곱근의 조건을 확인하고 초기점을 포함하는 구간을 선택한다.
- 모델의 가정과 단위를 확인한다. 시간 단위, 양의 방향, 부피·주변 온도의 일정 여부가 식과 일치하는지 살핀다.
예를 들어 완전미분방정식의 초기값 문제에서 얻은 $x^2+xy+y^2=1$은 하나의 곡선 전체를 나타낸다. $y(0)=1$에 해당하는 해의 가지는
\[y(x)=\frac{-x+\sqrt{4-3x^2}}{2},\qquad -\frac{2}{\sqrt3}<x<\frac{2}{\sqrt3}\]이다. 양 끝점에서는 $x+2y=0$이 되어 $y’=-(2x+y)/(x+2y)$가 정의되지 않으므로, 그 점들은 이 미분 가능한 함수해의 구간에 포함하지 않는다.
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