Power Series Solution
고계 미분방정식에서는 상수계수 미분방정식의 해를 지수함수로 찾았다.
라플라스 변환에서는 시간 미분을 $s$에 대한 곱셈으로 바꾸어 초기값 문제를 대수적으로 풀었다.
그런데 미분방정식의 계수가 상수가 아니라 위치나 시간에 따라 변하면 어떻게 해야 할까?
예를 들어
\[y^{\prime\prime}+xy=0\]을 생각해 보자.
상수계수 방정식에서 하던 것처럼
\[y=e^{rx}\]를 넣으면
\[r^2e^{rx}+xe^{rx}=0\]이고,
\[(r^2+x)e^{rx}=0\]이 된다.
$e^{rx}$는 0이 아니므로
\[r^2+x=0\]이어야 한다.
그런데 $r$은 하나의 상수인데 $x$는 계속 변한다. 따라서 하나의 $r$로 모든 $x$에 대해 이 식을 만족시킬 수 없다.
즉 상수계수 방정식에서 사용했던 특성방정식 방법을 그대로 사용할 수 없다.
이번 장에서는 해의 모양을 하나의 함수로 바로 맞히려고 하지 않는다. 대신 해를
\[\boxed{ y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots }\]처럼 무한히 많은 다항식 항의 합으로 놓는다.
그러면 미지함수 $y(x)$를 찾는 문제가
\[a_0,\;a_1,\;a_2,\;a_3,\ldots\]라는 계수들을 찾는 문제로 바뀐다.
이 장의 핵심 흐름은 다음과 같다.
- 급수해: 보통점에서는 정수 거듭제곱으로 해를 만든다.
- 프로베니우스 방법: 특이점 근처에서는 $x^r$을 추가해 더 넓은 형태의 해를 찾는다.
- 르장드르 방정식과 르장드르 다항식: 구면좌표에서 나타나는 각도 방향의 공간 패턴을 다룬다.
- 베셀 방정식과 베셀 함수: 원통좌표에서 나타나는 반지름 방향의 공간 패턴을 다룬다.
전자공학에서는 이 내용이 단순히 미분방정식 풀이법으로 끝나지 않는다.
| 수학적 내용 | 전자공학에서 연결되는 문제 |
|---|---|
| 멱급수와 점화식 | 시간에 따라 소자값이 변하는 회로의 국소 응답 |
| 보통점·정칙특이점 | 원통·구면좌표에서 나타나는 $1/r$, $1/r^2$ 계수 |
| 르장드르 다항식 | 구형 도체 주변 전위, 다중극 전기장 |
| 베셀 함수 | 원형 도파관, 원통형 공진기, 원형 막의 공간 모드 |
| 특수함수의 영점 | 경계조건이 허용하는 공진주파수와 차단주파수 |
이 장에서는 공식을 먼저 외우기보다
\[\boxed{ \text{왜 이런 가정을 하는가} \rightarrow \text{어떻게 식이 유도되는가} \rightarrow \text{어떤 물리적 의미가 있는가} }\]의 순서로 천천히 살펴본다.
1. 급수해
1.1 왜 해를 멱급수로 놓는가?
우리가 잘 알고 있는 함수들은 다항식의 무한합으로 표현되는 경우가 많다.
예를 들어
\[e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]이고,
\[\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\]이며,
\[\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\]이다.
이런 식을 Taylor 급수라고 한다.
점 $x_0$를 중심으로 하는 Taylor 급수는
\[y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n\]이다.
여기서 중요한 생각은 다음과 같다.
함수를 한 번에 알아내기 어렵다면, 그 함수를 구성하는 각 다항식 항의 계수를 하나씩 알아내면 된다.
그래서 미분방정식의 해를
\[\boxed{ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n }\]라고 가정한다.
이때 $a_n$은 아직 모르는 숫자이다.
Taylor 급수에서는 원래 함수가 이미 주어져 있고 그 함수의 도함수로 계수를 계산한다.
반면 급수해 방법에서는 함수 자체가 미지수이다.
따라서 먼저
\[y(x)=\sum a_n(x-x_0)^n\]라고 놓은 뒤, 이 식을 미분방정식에 넣어 $a_n$들이 만족해야 하는 관계를 찾아낸다.
즉,
\[\boxed{ \text{미지함수 }y(x) \quad\longrightarrow\quad \text{미지계수 }a_0,a_1,a_2,\ldots }\]로 문제를 바꾸는 것이다.
1.2 초기값은 급수의 어떤 부분을 결정하는가?
전개 중심을 $x_0=0$으로 잡으면
\[y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\]이다.
$x=0$을 넣으면
\[y(0)=a_0\]이므로
\[\boxed{a_0=y(0)}\]이다.
한 번 미분하면
\[y^\prime(x) = a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots\]이므로
\[y^\prime(0)=a_1\]이고,
\[\boxed{a_1=y^\prime(0)}\]이다.
두 번 미분하면
\[y^{\prime\prime}(x) = 2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots\]이므로
\[y^{\prime\prime}(0)=2a_2\]이다.
따라서
\[\boxed{ a_2=\frac{y^{\prime\prime}(0)}{2!} }\]이다.
일반적으로
\[\boxed{ a_n=\frac{y^{(n)}(0)}{n!} }\]이다.
2계 미분방정식에서는 보통 초기조건 두 개
\[y(0),\qquad y^\prime(0)\]가 주어진다.
따라서 보통점에서는
\[a_0,\qquad a_1\]이 초기조건으로 결정되고, 그 이후의
\[a_2,\;a_3,\;a_4,\ldots\]는 미분방정식이 정해 준다고 생각하면 된다.
1.3 해석함수와 멱급수
모든 함수가 자신의 Taylor 급수와 같지는 않다.
함수가 무한 번 미분 가능하다는 사실만으로는 충분하지 않다.
어떤 점 주변에서 함수가 실제로 자신의 Taylor 급수와 일치할 때 그 함수를 그 점에서 해석적(analytic)이라고 한다.
급수해 이론에서는 이 해석성이 중요하다.
이 장에서는 주로 계수함수들이 해석적인 경우를 다루며, 그 경우 미분방정식의 해도 해당 점 근처에서 멱급수로 표현할 수 있다는 사실을 이용한다.
1.4 수렴반경은 무엇인가?
멱급수
\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\]가 모든 $x$에서 항상 수렴하는 것은 아니다.
어떤 거리 $R$이 존재하여
\[\boxed{ \vert x-x_0\vert<R }\]에서는 수렴하고,
\[\vert x-x_0\vert>R\]에서는 발산한다.
이 $R$을 수렴반경(radius of convergence)이라고 한다.
그래프로 생각하면 전개 중심 $x_0$ 주변에 반지름 $R$짜리 안전구역이 있는 셈이다.
\[x_0-R \quad < \quad x \quad < \quad x_0+R\]끝점
\[x=x_0-R,\qquad x=x_0+R\]에서는 각각 따로 수렴 여부를 확인해야 한다.
일반적인 공식은
\[\boxed{ \frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \vert a_n\vert^{1/n} }\]이다.
비율의 극한이 존재하고 사용할 수 있는 경우에는
\[\boxed{ R = \lim_{n\to\infty} \left\vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\vert }\]도 사용할 수 있다.
1.5 왜 특이점이 수렴반경을 제한하는가?
예를 들어
\[f(x)=\frac{1}{1+x}\]를 원점에서 전개하면
\[\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots\]이다.
이 급수는
\[\vert x\vert<1\]에서만 수렴한다.
왜 하필 1일까?
원래 함수
\[\frac{1}{1+x}\]는
\[x=-1\]에서 정의되지 않는다.
원점에서 이 특이점까지의 거리가 1이다.
복소함수 관점에서는 일반적으로 전개 중심에서 가장 가까운 특이점이 급수의 수렴범위를 제한하는 중요한 기준이 된다.
전자공학에서는 이것을 단순히 계산 규칙으로만 보지 않아도 된다.
한 점 주변에서 만든 국소적인 다항식 모델이 멀리 떨어진 곳까지 무조건 정확할 수는 없고, 중간에 함수의 구조가 깨지는 특이점이 있으면 그 지점을 넘어 같은 급수를 계속 사용할 수 없다는 의미이다.
1.6 수렴반경 안에서는 왜 항별 미분이 가능한가?
원점 중심 멱급수를
\[y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]라고 하자.
수렴반경 내부에서는 항별로 미분할 수 있다.
\[\begin{aligned} y(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\\[4pt] y^\prime(x) &= \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},\\[4pt] y^{\prime\prime}(x) &= \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}. \end{aligned}\]급수해에서 이 성질이 중요한 이유는 미분방정식의
\[y,\qquad y^\prime,\qquad y^{\prime\prime}\]을 모두 같은 계수 $a_n$으로 표현할 수 있기 때문이다.
즉 미분방정식이 계수들의 대수방정식으로 바뀐다.
1.7 지수 맞추기가 왜 필요한가?
급수해 계산에서 가장 자주 헷갈리는 부분이 인덱스 이동이다.
예를 들어
\[y^{\prime\prime} = \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k-2}\]라고 하자.
다른 항이 모두 $x^n$ 꼴이라면 이 식도 $x^n$ 꼴로 맞추고 싶다.
지수에서
\[k-2=n\]이라고 두면
\[k=n+2\]이다.
따라서
\[\boxed{ y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n }\]이 된다.
여기서 시작점도 반드시 바뀌어야 한다.
원래 $k=2$부터 시작했으므로
\[n=k-2=0\]에서 시작한다.
반대로
\[xy = x\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k = \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^{k+1}\]에서는
\[n=k+1\]이라고 두면
\[k=n-1\]이므로
\[\boxed{ xy = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^n }\]이다.
이번에는 시작점이 $n=1$이다.
즉 두 급수
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]과
\[xy = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n\]은 시작점이 다르다.
따라서 $n=0$ 항을 따로 처리한 뒤 $n\ge1$ 부분끼리 비교해야 한다.
1.8 왜 같은 차수의 계수를 각각 0으로 놓을 수 있는가?
예를 들어 어떤 계산 결과가
\[c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots=0\]가 되었다고 하자.
이 식이 단지 특정한 $x$ 하나에서 0이라는 뜻이라면 각 계수를 0으로 둘 수 없다.
하지만 어떤 구간의 모든 $x$에서 항상 0인 함수라면
\[c_0=c_1=c_2=c_3=\cdots=0\]이어야 한다.
따라서 급수해에서는 같은 거듭제곱의 계수끼리 비교하여 점화식을 만든다.
1.9 보통점은 어떻게 판정하는가?
2계 선형 동차 미분방정식을
\[A(x)y^{\prime\prime} + B(x)y^\prime + C(x)y = 0\]라고 하자.
먼저 최고차 도함수인 $y^{\prime\prime}$의 계수를 1로 만들기 위해 $A(x)$로 나눈다.
\[\boxed{ y^{\prime\prime} + P(x)y^\prime + Q(x)y = 0 }\]여기서
\[P(x)=\frac{B(x)}{A(x)}, \qquad Q(x)=\frac{C(x)}{A(x)}\]이다.
이 형태를 표준형이라고 생각하면 된다.
왜 굳이 표준형으로 바꿀까?
원래 식에서는
\[A(x),\quad B(x),\quad C(x)\]가 모두 섞여 있어서 어느 계수가 문제인지 한눈에 보기 어렵다.
하지만 $y^{\prime\prime}$의 계수를 1로 만들면
\[P(x),\qquad Q(x)\]만 조사하면 된다.
전개하려는 점 $x_0$에서 $P(x)$와 $Q(x)$가 모두 해석적이면 $x_0$를 보통점(ordinary point)이라고 한다.
즉,
\[\boxed{ P(x),Q(x)\text{가 }x_0\text{에서 멀쩡하다} \quad\Rightarrow\quad x_0\text{는 보통점} }\]이다.
보통점에서는
\[y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\]형태의 보통 멱급수를 사용하면 된다.
예제: 보통점 판정
\[(1+x^2)y^{\prime\prime} + xy^\prime + 2y = 0\]을 원점에서 조사해 보자.
표준형으로 만들면
\[y^{\prime\prime} + \frac{x}{1+x^2}y^\prime + \frac{2}{1+x^2}y = 0\]이다.
따라서
\[P(x)=\frac{x}{1+x^2}, \qquad Q(x)=\frac{2}{1+x^2}\]이다.
원점에서는 분모가 1이므로 두 함수 모두 해석적이다.
따라서
\[\boxed{x=0\text{은 보통점}}\]이다.
1.10 급수해의 기본 풀이 순서
보통점에서 급수해를 구할 때는 다음 순서가 가장 안전하다.
- 전개 중심 $x_0$를 정한다.
- 보통점인지 확인한다.
- \(y=\sum a_n(x-x_0)^n\) 을 가정한다.
- $y^\prime$, $y^{\prime\prime}$을 구한다.
- 미분방정식에 대입한다.
- 모든 항의 거듭제곱을 같은 형태로 맞춘다.
- 합의 시작점이 다르면 낮은 차수 항을 따로 분리한다.
- 같은 거듭제곱의 계수를 비교한다.
- 점화식을 구한다.
- 초기조건 또는 경계조건으로 자유계수를 정한다.
- 필요하면 몇 차까지 잘라 근사해를 만든다.
- 원래 미분방정식에 대입해 잔차를 확인한다.
1.11 예제: 사인과 코사인을 급수해로 다시 얻기
다음 방정식을 풀어 보자.
\[y^{\prime\prime}+y=0\]우리는 이미 정답이 사인과 코사인이라는 것을 알고 있지만, 급수해 방법이 어떻게 작동하는지 확인하기에 좋은 예제이다.
Step 1. 급수 가정
\[y = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]이라고 놓는다.
두 번 미분하면
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]이다.
Step 2. 미분방정식에 대입
\[\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = 0\]이다.
두 합은 시작점과 지수가 이미 같으므로 바로 합칠 수 있다.
\[\sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n \right]x^n = 0\]이다.
Step 3. 계수 비교
모든 $n$에 대해
\[(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=0\]이어야 하므로
\[\boxed{ a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)} }\]이다.
Step 4. 짝수 계수
$n=0$이면
\[a_2=-\frac{a_0}{2\cdot1} =-\frac{a_0}{2!}\]이다.
$n=2$이면
\[a_4 = -\frac{a_2}{4\cdot3} = \frac{a_0}{4!}\]이다.
계속하면
\[a_6=-\frac{a_0}{6!},\qquad\cdots\]가 된다.
따라서 짝수 부분은
\[a_0 \left( 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\cdots \right)\]이고 이것은
\[a_0\cos x\]이다.
Step 5. 홀수 계수
$n=1$이면
\[a_3=-\frac{a_1}{3!}\]이고,
$n=3$이면
\[a_5=\frac{a_1}{5!}\]이다.
따라서 홀수 부분은
\[a_1 \left( x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\cdots \right)\]이고 이것은
\[a_1\sin x\]이다.
결국
\[\boxed{ y(x)=a_0\cos x+a_1\sin x }\]이다.
2계 미분방정식이므로 독립적인 상수가 두 개 나온다는 점도 자연스럽다.
예를 들어
\[y(0)=2,\qquad y^\prime(0)=-3\]이면
\[a_0=2,\qquad a_1=-3\]이므로
\[\boxed{ y(x)=2\cos x-3\sin x }\]이다.
1.12 예제: 변수계수 방정식의 실제 급수해
이번에는 특성방정식으로 바로 풀 수 없는
\[y^{\prime\prime}+xy=0\]을 다룬다.
초기조건은
\[y(0)=1, \qquad y^\prime(0)=0\]이라고 하자.
Step 1. 급수와 도함수
\[y = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]이고,
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]이다.
또한
\[xy = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n\]이다.
Step 2. 대입
\[\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n = 0\]이다.
첫 번째 합은 $n=0$부터 시작하지만 두 번째 합은 $n=1$부터 시작한다.
따라서 첫 번째 합의 $n=0$ 항을 따로 꺼낸다.
\[2a_2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2} + a_{n-1} \right]x^n = 0\]이다.
Step 3. 상수항
상수항은
\[2a_2=0\]이므로
\[\boxed{a_2=0}\]이다.
Step 4. 나머지 항
$n\ge1$에서
\[(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_{n-1}=0\]이므로
\[\boxed{ a_{n+2} = -\frac{a_{n-1}} {(n+2)(n+1)} }\]이다.
인덱스를 조금 더 읽기 쉽게
\[k=n-1\]로 바꾸면
\[\boxed{ a_{k+3} = -\frac{a_k} {(k+3)(k+2)} } \qquad(k\ge0)\]이다.
점화식이 세 칸씩 이동한다.
Step 5. 초기조건 적용
\[a_0=y(0)=1\]이고
\[a_1=y^\prime(0)=0\]이다.
또 앞에서
\[a_2=0\]을 얻었다.
따라서
\[a_3 = -\frac{a_0}{3\cdot2} = -\frac16\]이고,
\[a_4 = -\frac{a_1}{4\cdot3} = 0\]이며,
\[a_5 = -\frac{a_2}{5\cdot4} = 0\]이다.
계속하면
\[a_6 = -\frac{a_3}{6\cdot5} = \frac1{180}\]이고,
\[a_9 = -\frac{a_6}{9\cdot8} = -\frac1{12960}\]이다.
따라서
\[\boxed{ y(x) = 1 -\frac{x^3}{6} +\frac{x^6}{180} -\frac{x^9}{12960} +\cdots }\]이다.
점화식이 세 칸씩 이동한다고 해서 독립적인 해가 세 개 생기는 것은 아니다.
원래 방정식은 2계이므로 자유롭게 선택할 수 있는 초기값은 두 개뿐이다.
1.13 유한한 항만 사용하면 근사해가 된다
실제로 계산할 때 무한히 많은 항을 모두 사용할 수는 없다.
예를 들어 앞의 해를 6차까지만 남기면
\[y_6(x) = 1-\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180}\]이다.
이것이 원래 미분방정식을 얼마나 잘 만족하는지 확인해 보자.
두 번 미분하면
\[y_6^{\prime\prime} = -x+\frac{x^4}{6}\]이다.
원래 방정식의 좌변
\[y^{\prime\prime}+xy\]에 $y_6$을 넣으면
\[\begin{aligned} \mathcal R_6(x) &= y_6^{\prime\prime}+xy_6\\ &= \left( -x+\frac{x^4}{6} \right) + x \left( 1-\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180} \right)\\ &= \frac{x^7}{180}. \end{aligned}\]따라서
\[\boxed{ \mathcal R_6(x)=\frac{x^7}{180} }\]이다.
$\mathcal R_6$를 잔차(residual)라고 한다.
정확한 해라면 잔차는 모든 점에서 0이어야 한다.
하지만 유한차수 근사이므로 작은 잔차가 남는다.
중요한 점은
\[\boxed{ \text{잔차} \ne \text{실제 해와의 오차} }\]라는 것이다.
잔차는 미분방정식을 얼마나 잘 만족하는지를 나타내고, 실제 오차는 정확해 $y$와 근사해 $y_6$의 차이이다.
1.14 전자공학 예제: 시간에 따라 저항이 변하는 RC 회로
이제 급수해가 실제 회로에서 어떻게 연결될 수 있는지 보자.
직렬 RC 회로에서 커패시터는 일정한 값 $C$이고, 저항은 외부 제어에 의해 시간에 따라
\[R(t) = R_0 \left( 1+\frac{t}{T} \right)\]로 변한다고 하자.
여기서
- $R_0$: $t=0$에서의 저항
- $T$: 저항 변화의 시간 척도
- $C$: 커패시턴스
- $V_s$: 일정한 입력전압
이다.
커패시터 전압을 $v_C(t)$라고 하자.
Kirchhoff 전압법칙은
\[v_R+v_C=V_s\]이다.
저항 전압은
\[v_R=R(t)i\]이고 커패시터 전류는
\[i=C\frac{dv_C}{dt}\]이므로
\[R(t)C\frac{dv_C}{dt}+v_C=V_s\]이다.
$R(t)$를 넣으면
\[\boxed{ R_0C \left( 1+\frac{t}{T} \right) \frac{dv_C}{dt} + v_C = V_s }\]이다.
왜 무차원화를 하는가?
현재 식에는
\[R_0,\quad C,\quad T,\quad V_s\]가 모두 들어 있어 구조를 보기 어렵다.
그래서
\[x=\frac{t}{T}, \qquad u=\frac{v_C}{V_s}, \qquad \alpha=\frac{T}{R_0C}\]라고 놓는다.
$x$는 시간을 $T$로 나눈 무차원 시간이고, $u$는 커패시터 전압을 입력전압으로 정규화한 값이다.
연쇄법칙으로
\[\frac{dv_C}{dt} = \frac{V_s}{T} \frac{du}{dx}\]이므로 원래 방정식은
\[R_0C(1+x) \frac{V_s}{T} u^\prime + V_su = V_s\]가 된다.
$V_s$로 나누고
\[\alpha=\frac{T}{R_0C}\]를 이용하면
\[\boxed{ (1+x)u^\prime+\alpha u=\alpha }\]이다.
처음에 커패시터가 충전되지 않았다면
\[u(0)=0\]이다.
급수해 구하기
\[u=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]이라 두면
\[u^\prime = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^n\]이다.
또
\[xu^\prime = \sum_{n=1}^{\infty} na_nx^n\]이다.
따라서
\[u^\prime+xu^\prime+\alpha u=\alpha\]에서 상수항은
\[a_1+\alpha a_0=\alpha\]이다.
초기조건 $a_0=u(0)=0$을 사용하면
\[\boxed{a_1=\alpha}\]이다.
$n\ge1$에서는
\[(n+1)a_{n+1} + na_n + \alpha a_n = 0\]이므로
\[\boxed{ a_{n+1} = -\frac{n+\alpha}{n+1}a_n }\]이다.
따라서
\[a_2 = -\frac{\alpha(\alpha+1)}{2}\]이고,
\[a_3 = \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{6}\]이다.
즉
\[\boxed{ u(x) = \alpha x - \frac{\alpha(\alpha+1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{6}x^3 -\cdots }\]이다.
정확해와 비교
이 방정식은 정확하게도 풀 수 있다.
최종값 $u=1$과의 차이를
\[w=1-u\]라고 두자.
그러면
\[u^\prime=-w^\prime\]이므로
\[(1+x)w^\prime+\alpha w=0\]을 얻는다.
변수분리하면
\[\frac{dw}{w} = -\frac{\alpha}{1+x}\,dx\]이다.
적분하면
\[\ln\vert w\vert = -\alpha\ln(1+x)+C\]이므로
\[w=K(1+x)^{-\alpha}\]이다.
$u(0)=0$이므로 $w(0)=1$이고 따라서 $K=1$이다.
결국
\[\boxed{ u(x)=1-(1+x)^{-\alpha} }\]이다.
특히
\[R_0=1\,\mathrm{k\Omega}, \qquad C=100\,\mu\mathrm F, \qquad T=0.1\,\mathrm s\]이면
\[R_0C=0.1\,\mathrm s=T\]이므로
\[\alpha=1\]이다.
이때
\[u(x) = 1-\frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}\]이고 원점에서
\[\boxed{ u(x) = x-x^2+x^3-x^4+\cdots } \qquad \vert x\vert<1\]이다.
$V_s=5\,\mathrm V$, $t=0.02\,\mathrm s$이면
\[x=\frac{0.02}{0.1}=0.2\]이다.
정확한 값은
\[v_C = 5\frac{0.2}{1.2} = 0.833333\ldots\,\mathrm V\]이다.
3차 근사는
\[v_C \approx 5(0.2-0.2^2+0.2^3) = 0.84\,\mathrm V\]이다.
오차는 약
\[6.67\,\mathrm{mV}\]이다.
$\alpha=1$일 때 $N$차 근사
\[S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1}x^n\]의 정확한 오차는
\[\boxed{ \vert u-S_N\vert = \frac{\vert x\vert^{N+1}} {\vert 1+x\vert} }\]이다.
아래 그래프에서는 정확해와 급수 근사를 직접 비교할 수 있다.
여기서 특히 확인할 것은 다음이다.
- $\vert x\vert<1$에서는 차수를 높일수록 급수 근사가 정확해에 접근한다.
- $x>1$에서는 원점 중심 급수가 더 이상 수렴하지 않는다.
- 하지만 실제 회로의 정확해 $u=1-(1+x)^{-\alpha}$는 $x\ge0$에서 계속 존재한다.
즉
\[\boxed{ \text{해가 존재하는 구간} \ne \text{특정 점에서 만든 급수의 수렴구간} }\]이다.
2. 프로베니우스 방법
2.1 왜 보통 멱급수만으로는 부족한가?
앞에서는
\[y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\]처럼 정수 거듭제곱만 사용했다.
그런데 어떤 미분방정식의 해는
\[y=x^{1/2}\]이나
\[y=x^{-1/3}\]처럼 분수 또는 음수 지수를 가질 수 있다.
예를 들어 $x^{1/2}$는 $x>0$에서는 잘 정의되지만 원점에서
\[a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\]꼴의 보통 Taylor 급수로 표현할 수 없다.
그렇다면 기존 멱급수를 조금 확장하면 어떨까?
\[a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\]전체에 $x^r$을 곱하면
\[x^r \left( a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots \right)\]이 된다.
즉
\[\boxed{ y = x^r \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r} }\]이다.
이것이 프로베니우스(Frobenius) 방법의 출발점이다.
$r$은 해가 원점 근처에서 가장 먼저 어떤 거듭제곱으로 시작하는지를 나타낸다.
$a_0\ne0$으로 두는 이유도 여기 있다.
만약 $a_0=0$이면 실제 첫 항은 $a_1x^{r+1}$이 되어 $r$이 진짜 시작 지수가 아니게 된다.
2.2 먼저 점을 분류해야 한다
프로베니우스 방법을 쓰기 전에 원점이 어떤 종류의 점인지 판단해야 한다.
2계 선형 동차방정식을 표준형으로 쓰면
\[\boxed{ y^{\prime\prime} + P(x)y^\prime + Q(x)y = 0 }\]이다.
여기서 원점 $x=0$을 조사한다고 하자.
점은 크게 세 종류로 생각할 수 있다.
- 보통점: 계수들이 원점에서 멀쩡하다.
- 정칙특이점: 계수가 원점에서 발산하지만 그 정도가 심하지 않다.
- 비정칙특이점: 특이성이 너무 심하다.
2.3 보통점
$P(x)$와 $Q(x)$가 둘 다 $x=0$에서 해석적이면 원점은 보통점이다.
예를 들어
\[y^{\prime\prime}+xy=0\]에서는
\[P(x)=0, \qquad Q(x)=x\]이므로 둘 다 원점에서 해석적이다.
따라서
\[\boxed{x=0\text{은 보통점}}\]이고 보통 멱급수를 쓰면 된다.
2.4 특이점은 무엇인가?
반대로 $P(x)$ 또는 $Q(x)$ 중 하나라도 원점에서 해석적이지 않으면 원점은 특이점(singular point)이다.
예를 들어
\[y^{\prime\prime} + \frac1x y^\prime + \frac1{x^2}y = 0\]에서는
\[P(x)=\frac1x, \qquad Q(x)=\frac1{x^2}\]이므로 원점에서 둘 다 정의되지 않는다.
따라서 원점은 특이점이다.
하지만 특이점이라고 해서 모두 똑같이 나쁜 것은 아니다.
2.5 왜 $xP(x)$와 $x^2Q(x)$를 보는가?
이 규칙을 외우기 전에 왜 그런지 이해해 보자.
프로베니우스 해의 가장 앞부분만 생각하면
\[y\sim x^r\]이다.
그러면
\[y^\prime\sim rx^{r-1}\]이고,
\[y^{\prime\prime} \sim r(r-1)x^{r-2}\]이다.
즉 미분할 때마다 $x$의 지수가 하나씩 낮아진다.
표준형
\[y^{\prime\prime} + P(x)y^\prime + Q(x)y = 0\]에서 가장 높은 미분인 $y^{\prime\prime}$은 대략
\[x^{r-2}\]크기의 항을 만든다.
$P(x)y^\prime$도 이 정도의 크기로 맞추려면 $P(x)$가 최대
\[\frac1x\]정도로 발산하는 것은 허용할 수 있다.
왜냐하면
\[\frac1x x^{r-1} = x^{r-2}\]이기 때문이다.
마찬가지로 $Q(x)y$가 $x^{r-2}$와 같은 차수를 가지려면 $Q(x)$는 최대
\[\frac1{x^2}\]정도까지 허용할 수 있다.
\[\frac1{x^2}x^r = x^{r-2}\]이기 때문이다.
따라서 특이성이
\[P(x)\sim\frac1x, \qquad Q(x)\sim\frac1{x^2}\]보다 심하지 않은지를 확인한다.
이를 깔끔하게 검사하기 위해
\[\boxed{ p(x)=xP(x), \qquad q(x)=x^2Q(x) }\]를 만든다.
$xP(x)$와 $x^2Q(x)$가 원점에서 해석적이라면 원래의 특이성이 프로베니우스 방법이 감당할 수 있는 정도라는 뜻이다.
2.6 정칙특이점
원점이 보통점은 아니지만
\[xP(x)\]와
\[x^2Q(x)\]가 모두 원점에서 해석적이면 원점은 정칙특이점(regular singular point)이다.
즉
\[\boxed{ P(x)\text{는 최대 }\frac1x\text{ 정도}, \qquad Q(x)\text{는 최대 }\frac1{x^2}\text{ 정도} }\]의 특이성까지 허용하는 것이다.
$p(x)=xP(x)$,
$q(x)=x^2Q(x)$
라고 쓰면 표준형은
\[\boxed{ x^2y^{\prime\prime} + xp(x)y^\prime + q(x)y = 0 }\]형태로 바꿀 수 있다.
이 형태가 뒤에서 지수방정식을 유도하기에 아주 편하다.
예제: 정칙특이점
\[x^2y^{\prime\prime} + xy^\prime + (x^2-1)y = 0\]을 보자.
$x^2$으로 나누면
\[y^{\prime\prime} + \frac1x y^\prime + \left( 1-\frac1{x^2} \right)y = 0\]이다.
따라서
\[P(x)=\frac1x\]이고,
\[Q(x)=1-\frac1{x^2}\]이다.
이제
\[xP(x)=1\]이고,
\[x^2Q(x)=x^2-1\]이다.
둘 다 원점에서 해석적이다.
따라서
\[\boxed{x=0\text{은 정칙특이점}}\]이다.
2.7 비정칙특이점
$xP(x)$ 또는 $x^2Q(x)$ 중 하나라도 원점에서 해석적이지 않으면 비정칙특이점(irregular singular point)이다.
예를 들어
\[x^2y^{\prime\prime}+y^\prime=0\]을 $x^2$으로 나누면
\[y^{\prime\prime} + \frac1{x^2}y^\prime = 0\]이다.
따라서
\[P(x)=\frac1{x^2}\]이고
\[xP(x)=\frac1x\]이다.
이것은 원점에서 여전히 발산한다.
따라서
\[\boxed{x=0\text{은 비정칙특이점}}\]이다.
2.8 세 종류의 점을 한 번에 정리
| 판정 | 조건 | 기본적으로 시도할 방법 |
|---|---|---|
| 보통점 | $P,Q$가 해석적 | 보통 멱급수 |
| 정칙특이점 | $P,Q$는 특이하지만 $xP,x^2Q$가 해석적 | 프로베니우스 |
| 비정칙특이점 | $xP$ 또는 $x^2Q$도 해석적이지 않음 | 다른 방법이 필요할 수 있음 |
전자기학에서 원통좌표나 구면좌표를 사용하면 $1/r$, $1/r^2$ 같은 항이 자연스럽게 나온다.
따라서 $r=0$이 수식상 특이점이 되는 경우가 많다.
하지만 이것이 실제 전기장이나 전위가 반드시 무한대라는 뜻은 아니다.
좌표계가 원점에서 특이해지는 경우도 있기 때문에 최종적으로는 물리적 유한성 조건을 이용해 허용되는 해를 선택해야 한다.
2.9 지수방정식은 왜 필요한가?
정칙특이점에서는
\[y = x^r \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]을 사용한다.
그런데 $r$을 아직 모른다.
$r$은 어떻게 정할까?
정칙특이점 형태
\[x^2y^{\prime\prime} + xp(x)y^\prime + q(x)y = 0\]를 사용하자.
$p(x)$와 $q(x)$는 원점에서 해석적이므로
\[p(x) = p_0+p_1x+p_2x^2+\cdots\]이고,
\[q(x) = q_0+q_1x+q_2x^2+\cdots\]라고 쓸 수 있다.
프로베니우스 급수는
\[y = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^{n+r}\]이다.
미분하면
\[y^\prime = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_nx^{n+r-1}\]이고,
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}\]이다.
이제 앞의 $x^2$, $x$를 곱하면
\[x^2y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r}\]이고,
\[xy^\prime = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_nx^{n+r}\]이다.
가장 낮은 차수는 $n=0$에서 나오는
\[x^r\]이다.
$x^r$의 계수만 모으면
\[\left[ r(r-1) + p_0r + q_0 \right]a_0 = 0\]이다.
프로베니우스 방법에서는
\[a_0\ne0\]로 두었으므로
\[\boxed{ r(r-1)+p_0r+q_0=0 }\]이어야 한다.
이 식을 지수방정식(indicial equation)이라고 한다.
지수방정식은 해의 전체 모양을 한 번에 주는 식이 아니다.
그 대신
해가 특이점 근처에서 어떤 거듭제곱 $x^r$로 시작해야 하는가?
를 결정한다.
2.10 왜 가장 낮은 차수부터 보는가?
$x\to0^+$일 때
\[x^{r}, \quad x^{r+1}, \quad x^{r+2}, \ldots\]중 가장 먼저 영향을 주는 것은
\[x^r\]항이다.
이 가장 앞의 항이 미분방정식에서 상쇄되지 않으면, 뒤에 아무리 많은 항을 추가해도 방정식을 만족시킬 수 없다.
따라서 먼저 가장 낮은 차수의 계수를 0으로 만들어 $r$을 정하고, 그 다음 더 높은 차수의 계수들을 점화식으로 결정한다.
2.11 지수방정식의 두 근은 무엇을 의미하는가?
2계 미분방정식이므로 지수방정식도 보통 두 근을 가진다.
\[r_1,\qquad r_2\]라고 하자.
실근이고
\[r_1\ge r_2\]라고 할 때 대표적인 경우는 다음과 같다.
| 근의 관계 | 두 번째 해의 상황 |
|---|---|
| $r_1-r_2$가 정수가 아님 | 두 근에서 각각 독립적인 Frobenius 급수를 얻는 경우가 일반적 |
| $r_1=r_2$ | 두 번째 해에 로그가 나타나는 경우가 일반적 |
| $r_1-r_2$가 양의 정수 | 작은 근에서 순수 급수가 실패할 수 있으며 로그가 필요할 수도 있음 |
중요한 점은
\[\boxed{ r_1-r_2\text{가 정수} \quad\Rightarrow\quad \text{무조건 로그} }\]가 아니라는 것이다.
로그가 실제로 필요한지는 점화식을 확인해야 한다.
2.12 예제: 분수 지수가 나오는 경우
다음 방정식을 보자.
\[x^2y^{\prime\prime} + xy^\prime + \left( x^2-\frac19 \right)y = 0\]이 식은 뒤에서 볼 베셀 방정식의 $\nu=1/3$인 경우이다.
Step 1. 지수방정식
여기서는
\[p_0=1, \qquad q_0=-\frac19\]이다.
따라서
\[r(r-1)+r-\frac19=0\]이고,
\[r^2-\frac19=0\]이다.
따라서
\[\boxed{ r_1=\frac13, \qquad r_2=-\frac13 }\]이다.
근의 차는
\[\frac23\]으로 정수가 아니다.
Step 2. 급수 대입
\[y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r}\]를 대입하면
\[\sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+r)^2-\frac19 \right] a_nx^{n+r} + \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}x^{n+r} = 0\]을 얻는다.
$n=0$은 이미 지수방정식이다.
$n=1$에서는
\[\left[ (1+r)^2-\frac19 \right]a_1=0\]이고 두 근 모두에서 괄호가 0이 아니므로
\[a_1=0\]이다.
$n\ge2$에서는
\[\boxed{ a_n = -\frac{a_{n-2}} {(n+r)^2-1/9} }\]이다.
$a_0=1$로 정규화하자.
$r=1/3$에서는
\[a_2=-\frac3{16}, \qquad a_4=\frac9{896}\]이고,
$r=-1/3$에서는
\[a_2=-\frac38, \qquad a_4=\frac9{320}\]이다.
따라서 두 해는
\[\boxed{ y_1 = x^{1/3} \left( 1-\frac3{16}x^2+\frac9{896}x^4-\cdots \right) }\]과
\[\boxed{ y_2 = x^{-1/3} \left( 1-\frac38x^2+\frac9{320}x^4-\cdots \right) }\]이다.
$x\to0^+$에서 $y_1$은 0으로 가지만 $y_2$는 발산한다.
따라서 어떤 물리 문제에서 원점에서 유한한 해만 허용한다면 $y_2$를 제외한다.
2.13 예제: 중근과 로그해
다음 방정식을 보자.
\[x^2y^{\prime\prime} + xy^\prime = 0\]지수방정식은
\[r(r-1)+r=r^2=0\]이므로
\[r=0\]이 중근이다.
한 해는
\[y_1=1\]이다.
두 번째 해는 원래 방정식에서 직접 확인할 수 있다.
$x>0$에서 $x$로 나누면
\[xy^{\prime\prime}+y^\prime=0\]이다.
그런데 곱의 미분법에 의해
\[(xy^\prime)^\prime = xy^{\prime\prime}+y^\prime\]이므로
\[(xy^\prime)^\prime=0\]이다.
적분하면
\[xy^\prime=C\]이고,
\[y^\prime=\frac{C}{x}\]이다.
다시 적분하면
\[y=C_1+C_2\ln x\]이다.
따라서
\[\boxed{ y=C_1+C_2\ln x }\]이다.
원점을 포함하지 않는 실수 구간 전체에서 쓰고 싶다면
\[\ln\vert x\vert\]로 표현할 수 있다.
2.14 예제: 근의 차가 정수라고 항상 로그가 생기지는 않는다
먼저
\[x^2y^{\prime\prime}-2y=0\]을 보자.
$y=x^r$을 넣으면
\[r(r-1)-2=0\]이고,
\[(r-2)(r+1)=0\]이다.
따라서
\[r_1=2, \qquad r_2=-1\]이고 근의 차는 3이다.
그런데 두 해는 단순히
\[x^2, \qquad x^{-1}\]이므로
\[\boxed{ y=C_1x^2+C_2x^{-1} }\]이다.
로그가 없다.
반대로
\[xy^{\prime\prime}-y=0\]에서는 지수근이
\[r=1,\qquad r=0\]으로 차이가 1이다.
큰 근 $r=1$에서는 정상적으로 급수가 만들어진다.
하지만 작은 근 $r=0$을 점화식에 넣으면 특정 단계에서 분모가 0이 되어 $a_0\ne0$ 조건과 충돌한다.
이때 순수한 프로베니우스 급수만으로 두 번째 해를 만들 수 없고 로그항이 필요하게 된다.
즉 근의 차 자체보다 실제 점화식이 어떻게 작동하는지를 보는 것이 중요하다.
3. 르장드르 방정식과 르장드르 다항식
3.1 르장드르 방정식은 어떤 문제에서 나오는가?
르장드르(Legendre) 방정식은
\[\boxed{ (1-x^2)y^{\prime\prime} - 2xy^\prime + \lambda y = 0 }\]이다.
처음 보면 왜 이런 이상한 계수가 붙는지 알기 어렵다.
하지만 전자기학에서는 구면좌표로 Laplace 방정식을 풀 때 이 식이 자연스럽게 나온다.
즉 르장드르 함수는 임의로 만든 특수함수가 아니라 구면 기하를 가진 장 문제의 각도 방향 해이다.
먼저 수학적으로 급수해를 구한 뒤, 뒤에서 전자기학과 연결한다.
3.2 원점은 보통점인가?
르장드르 방정식을 표준형으로 나누면
\[y^{\prime\prime} - \frac{2x}{1-x^2}y^\prime + \frac{\lambda}{1-x^2}y = 0\]이다.
원점에서는
\[1-x^2=1\]이므로 계수들이 멀쩡하다.
따라서
\[\boxed{x=0\text{은 보통점}}\]이다.
반면
\[x=\pm1\]에서는 분모가 0이 되므로 특이점이다.
실제로 이 두 점은 정칙특이점이다.
3.3 급수해를 넣어 보자
원점이 보통점이므로
\[y = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]이라고 둔다.
도함수는
\[y^\prime = \sum_{n=1}^{\infty} na_nx^{n-1}\]이고,
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^{n-2}\]이다.
방정식을
\[y^{\prime\prime} - x^2y^{\prime\prime} - 2xy^\prime + \lambda y = 0\]으로 나누어 생각하자.
첫 번째 항은 인덱스를 이동하여
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]이다.
두 번째 항은
\[-x^2y^{\prime\prime} = -\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^n\]이다.
세 번째 항은
\[-2xy^\prime = -\sum_{n=1}^{\infty} 2na_nx^n\]이다.
네 번째 항은
\[\lambda y = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda a_nx^n\]이다.
같은 $x^n$의 계수를 모으면
\[(n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + \lambda a_n = 0\]이다.
\[n(n-1)+2n=n(n+1)\]이므로
\[(n+2)(n+1)a_{n+2} + \left[ \lambda-n(n+1) \right]a_n = 0\]이다.
따라서
\[\boxed{ a_{n+2} = \frac{n(n+1)-\lambda} {(n+2)(n+1)} a_n }\]이다.
3.4 왜 짝수와 홀수 해가 분리되는가?
점화식은
\[a_{n+2} \leftrightarrow a_n\]으로 두 칸씩 연결된다.
따라서
\[a_0\to a_2\to a_4\to\cdots\]라는 짝수 계수 계열과
\[a_1\to a_3\to a_5\to\cdots\]라는 홀수 계수 계열이 서로 독립적으로 움직인다.
이것은 방정식이 $x\to -x$ 변환에 대해 대칭성을 가지는 것과도 연결된다.
3.5 왜 $\lambda=\ell(\ell+1)$이 중요한가?
일반적인 $\lambda$에서는 점화식이 끝없이 계속되어 무한급수가 된다.
그런데 어떤 비음이 아닌 정수 $\ell$에 대해
\[\lambda=\ell(\ell+1)\]이라고 하자.
그러면 $n=\ell$에서 점화식의 분자가
\[n(n+1)-\lambda = \ell(\ell+1)-\ell(\ell+1) = 0\]이 된다.
따라서
\[a_{\ell+2}=0\]이다.
그 다음 같은 짝홀성 계수도 모두 0이 된다.
즉 특정 가지의 급수가 유한한 다항식으로 끝난다.
이 다항식의 크기를
\[P_\ell(1)=1\]이 되도록 정규화한 것이 르장드르 다항식(Legendre polynomial)이다.
대표적인 것은
\[\begin{aligned} P_0(x)&=1,\\[4pt] P_1(x)&=x,\\[4pt] P_2(x)&=\frac12(3x^2-1),\\[4pt] P_3(x)&=\frac12(5x^3-3x),\\[4pt] P_4(x)&=\frac18(35x^4-30x^2+3). \end{aligned}\]
또한
\[\boxed{ P_\ell(-x)=(-1)^\ell P_\ell(x) }\]이다.
따라서
- $\ell$이 짝수이면 짝함수
- $\ell$이 홀수이면 홀함수
이다.
3.6 예제: $P_2(x)$를 점화식으로 직접 만들기
다음 방정식을 보자.
\[(1-x^2)y^{\prime\prime} - 2xy^\prime + 6y = 0\]여기서는
\[\lambda=6\]이다.
\[\ell(\ell+1)=6\]을 만족하는 비음이 아닌 정수는
\[\ell=2\]이다.
점화식은
\[a_{n+2} = \frac{n(n+1)-6} {(n+2)(n+1)} a_n\]이다.
$n=0$이면
\[a_2 = \frac{-6}{2}a_0 = -3a_0\]이다.
$n=2$이면
\[a_4 = \frac{2\cdot3-6}{4\cdot3}a_2 = 0\]이다.
따라서 짝수 가지는
\[y=a_0(1-3x^2)\]에서 끝난다.
르장드르 다항식은 $P_2(1)=1$로 정규화한다.
따라서
\[a_0(1-3)=1\]이므로
\[a_0=-\frac12\]이다.
결국
\[\boxed{ P_2(x)=\frac12(3x^2-1) }\]이다.
3.7 Rodrigues 공식
르장드르 다항식 전체를 한 번에 표현하는 공식은
\[\boxed{ P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell\ell!} \frac{d^\ell}{dx^\ell} (x^2-1)^\ell }\]이다.
이를 Rodrigues 공식이라고 한다.
예를 들어 $\ell=2$이면
\[P_2(x) = \frac1{8} \frac{d^2}{dx^2} (x^2-1)^2\]이다.
\[(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1\]이므로
\[\frac{d^2}{dx^2} (x^4-2x^2+1) = 12x^2-4\]이다.
따라서
\[P_2(x) = \frac18(12x^2-4) = \frac12(3x^2-1)\]이 된다.
표준 정의와 성질은 NIST DLMF §14.2, §14.7에서 확인할 수 있다.
3.8 직교성은 무슨 뜻인가?
벡터에서 두 벡터가 직교한다는 것은 내적이 0이라는 뜻이다.
예를 들어
\[\mathbf a\cdot\mathbf b=0\]이면 두 벡터는 서로 수직이다.
함수에서도 비슷한 개념을 정의할 수 있다.
두 함수를 곱해 일정 구간에서 적분한 값을 함수의 내적처럼 생각한다.
르장드르 다항식은 서로 다른 차수에 대해
\[\boxed{ \int_{-1}^{1} P_\ell(x)P_m(x)\,dx = 0 \qquad (\ell\ne m) }\]을 만족한다.
즉 서로 다른 $\ell$의 공간 패턴은 서로 독립적인 방향처럼 취급할 수 있다.
정규화까지 포함하면
\[\boxed{ \int_{-1}^{1} P_\ell^2(x)\,dx = \frac{2}{2\ell+1} }\]이다.
3.9 직교성이 왜 전자공학에서 유용한가?
어떤 각도 분포 $g(x)$가 있다고 하자.
이를
\[g(x) = c_0P_0(x) + c_1P_1(x) + c_2P_2(x) +\cdots\]처럼 르장드르 다항식의 합으로 나타낼 수 있다.
특정 계수 $c_m$만 알고 싶다면 양변에 $P_m(x)$를 곱하고 $-1$부터 1까지 적분한다.
직교성 때문에 다른 차수의 항들은 모두 0이 되고 $m$번째 항만 남는다.
그 결과
\[\boxed{ c_\ell = \frac{2\ell+1}{2} \int_{-1}^{1} g(x)P_\ell(x)\,dx }\]이다.
이 구조는 나중에 배우는 푸리에 급수와 거의 같은 철학을 가진다.
- Fourier: 사인·코사인 모드로 분해
- Legendre: 구면 기하에 맞는 $P_\ell$ 모드로 분해
3.10 전자공학 연결: 구면에서 르장드르 방정식이 나오는 이유
이제 왜 구형 전기장 문제에서 르장드르 다항식이 나오는지 보자.
전하가 없는 균일한 유전체 영역에서는 Gauss 법칙이
\[\nabla\cdot\mathbf E=0\]이다.
정전기장에서
\[\mathbf E=-\nabla V\]이므로
\[\nabla\cdot(-\nabla V)=0\]이다.
따라서
\[\boxed{ \nabla^2V=0 }\]을 얻는다.
이것이 Laplace 방정식이다.
여기서 말하는 Laplace 방정식은 앞 장의 Laplace 변환과 이름만 같을 뿐 다른 개념이다.
3.11 구면좌표에서 변수분리
구면좌표에서 축대칭 문제를 생각하자.
축대칭이라는 것은 방위각 $\phi$에 따라 전위가 변하지 않는다는 뜻이다.
따라서
\[V=V(r,\theta)\]이다.
구면좌표의 Laplace 방정식은
\[\frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial V}{\partial r} \right) + \frac1{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial V}{\partial\theta} \right) = 0\]이다.
이제 해를
\[\boxed{ V(r,\theta)=F(r)\Theta(\theta) }\]처럼 반지름 부분과 각도 부분의 곱으로 가정한다.
왜 곱으로 놓을까?
목표는 $r$과 $\theta$를 서로 분리하여 두 개의 1변수 미분방정식으로 바꾸는 것이다.
대입하면
\[\frac{\Theta}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2F^\prime) + \frac{F}{r^2\sin\theta} \frac{d}{d\theta} (\sin\theta\,\Theta^\prime) = 0\]이다.
양변에
\[\frac{r^2}{F\Theta}\]를 곱하면
\[\frac1F \frac{d}{dr} (r^2F^\prime) + \frac1{\Theta\sin\theta} \frac{d}{d\theta} (\sin\theta\,\Theta^\prime) = 0\]이다.
첫 번째 항은 $r$에만 의존하고 두 번째 항은 $\theta$에만 의존한다.
$r$과 $\theta$를 독립적으로 바꾸어도 항상 합이 0이어야 하므로 각 항은 상수여야 한다.
그 상수를 $\lambda$와 $-\lambda$로 놓으면
\[\frac{d}{dr}(r^2F^\prime)-\lambda F=0\]과
\[\frac1{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} (\sin\theta\,\Theta^\prime) + \lambda\Theta = 0\]으로 분리된다.
3.12 왜 $x=\cos\theta$로 치환하는가?
각도 방정식에는
\[\sin\theta\]가 반복해서 등장한다.
구면에서 $\theta$는 $0$부터 $\pi$까지 움직이고,
\[x=\cos\theta\]라고 놓으면
\[-1\le x\le1\]이라는 깔끔한 구간으로 바뀐다.
또
\[1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\]이므로 식이 르장드르 방정식 형태로 정리된다.
\[x=\cos\theta, \qquad \Theta(\theta)=Y(x)\]라고 하자.
연쇄법칙으로
\[\frac{d\Theta}{d\theta} = \frac{dY}{dx}\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta\frac{dY}{dx}\]이다.
따라서
\[\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta} = -\sin^2\theta\frac{dY}{dx}\]이다.
한 번 더 미분하여 정리하면
\[\frac1{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta} \right) = (1-x^2)Y^{\prime\prime} - 2xY^\prime\]이다.
따라서 각도 방정식은
\[\boxed{ (1-x^2)Y^{\prime\prime} - 2xY^\prime + \lambda Y = 0 }\]이 된다.
바로 르장드르 방정식이다.
구의 양극
\[\theta=0,\pi\]는
\[x=\pm1\]에 대응한다.
양극에서도 유한하고 매끄러운 해를 요구하면
\[\lambda=\ell(\ell+1)\]이 선택되고
\[P_\ell(\cos\theta)\]가 나타난다.
3.13 반지름 방향 해
$\lambda=\ell(\ell+1)$일 때 반지름 방정식은
\[r^2F^{\prime\prime} + 2rF^\prime - \ell(\ell+1)F = 0\]이다.
이것은 Cauchy-Euler 형태이므로
\[F=r^k\]를 넣는다.
그러면
\[k(k-1)+2k-\ell(\ell+1)=0\]이고,
\[(k-\ell)(k+\ell+1)=0\]이다.
따라서
\[k=\ell\]또는
\[k=-\ell-1\]이다.
즉
\[\boxed{ F(r) = A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-\ell-1} }\]이다.
따라서 축대칭 전위의 일반적인 형태는
\[\boxed{ V(r,\theta) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \left( A_\ell r^\ell + \frac{B_\ell}{r^{\ell+1}} \right) P_\ell(\cos\theta) }\]이다.
3.14 $\ell$은 물리적으로 무엇을 의미하는가?
각 $\ell$은 서로 다른 각도 방향 공간 패턴을 나타낸다.
- $\ell=0$: 모든 방향에서 같은 성분, monopole 형태
- $\ell=1$: 한쪽은 양, 반대쪽은 음인 dipole 형태
- $\ell=2$: quadrupole 형태
- 더 큰 $\ell$: 더 복잡한 각도 변화
즉 르장드르 다항식은 구면 위의 각도 패턴을 분해하는 기저라고 생각할 수 있다.
3.15 전자공학 예제: 균일한 전기장 속 도체 구
반지름 $a$인 도체 구가 균일한 외부 전기장
\[\mathbf E_0=E_0\hat{\mathbf z}\]안에 있다고 하자.
도체 구의 전위를 0으로 놓고 외부 영역
\[r\ge a\]의 전위를 구한다.
균일한 전기장의 전위는
\[V_{\text{외부장}} = -E_0z\]이고,
\[z=r\cos\theta\]이므로
\[V_{\text{외부장}} = -E_0r\cos\theta\]이다.
그런데
\[P_1(\cos\theta)=\cos\theta\]이므로 이 문제는 $\ell=1$ 모드만 필요하다.
따라서 외부 해를
\[V(r,\theta) = \left( -E_0r+\frac{B}{r^2} \right)\cos\theta\]라고 놓을 수 있다.
도체 표면에서는
\[V(a,\theta)=0\]이므로
\[-E_0a+\frac{B}{a^2}=0\]이다.
따라서
\[B=E_0a^3\]이다.
결국
\[\boxed{ V(r,\theta) = -E_0 \left( r-\frac{a^3}{r^2} \right) \cos\theta }\]이다.
전기장은
\[\mathbf E=-\nabla V\]이므로
\[E_r = -\frac{\partial V}{\partial r}\]과
\[E_\theta = -\frac1r \frac{\partial V}{\partial\theta}\]를 계산한다.
그 결과
\[\boxed{ E_r = E_0 \left( 1+\frac{2a^3}{r^3} \right) \cos\theta }\]이고,
\[\boxed{ E_\theta = -E_0 \left( 1-\frac{a^3}{r^3} \right) \sin\theta }\]이다.
표면 $r=a$에서는
\[E_\theta(a,\theta)=0\]이다.
정전평형의 완전도체 표면에서는 접선 방향 전기장이 0이어야 하므로 물리적인 조건과 정확히 일치한다.
또
\[E_r(a,\theta)=3E_0\cos\theta\]이다.
외부 유전체의 유전율이 $\varepsilon$이라면 표면전하밀도는
\[\boxed{ \sigma_s(\theta) = 3\varepsilon E_0\cos\theta }\]이다.
북극 쪽에는 양전하, 남극 쪽에는 음전하가 유도되고 전체 순전하는 0이다.
이것이 $\ell=1$ 르장드르 모드가 나타내는 유도 쌍극자 패턴이다.
4. 베셀 방정식과 베셀 함수
4.1 베셀 방정식은 왜 등장하는가?
르장드르 방정식이 구면 기하에서 자연스럽게 나왔다면, 베셀 방정식은 원통 기하에서 자연스럽게 나온다.
표준적인 베셀 방정식은
\[\boxed{ x^2y^{\prime\prime} + xy^\prime + (x^2-\nu^2)y = 0 }\]이다.
여기서 $\nu$는 차수(order)이다.
주의할 점은 $\nu$가 미분방정식의 차수를 말하는 것이 아니라는 것이다.
이 방정식 자체는 항상 2계 미분방정식이다.
4.2 원점은 왜 정칙특이점인가?
$x^2$으로 나누면
\[y^{\prime\prime} + \frac1x y^\prime + \left( 1-\frac{\nu^2}{x^2} \right)y = 0\]이다.
따라서
\[P(x)=\frac1x\]이고,
\[Q(x) = 1-\frac{\nu^2}{x^2}\]이다.
원점에서는 둘 다 특이하다.
하지만
\[xP(x)=1\]이고,
\[x^2Q(x)=x^2-\nu^2\]이므로 둘 다 원점에서 해석적이다.
따라서
\[\boxed{x=0\text{은 정칙특이점}}\]이다.
그래서 보통 멱급수가 아니라 Frobenius 방법을 사용한다.
4.3 지수방정식
\[y = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^{n+r}\]를 대입하자.
가장 낮은 차수에서
\[r(r-1)+r-\nu^2=0\]을 얻는다.
정리하면
\[r^2-\nu^2=0\]이므로
\[\boxed{ r=\pm\nu }\]이다.
즉 베셀 방정식의 두 가지 시작 거동은 대략
\[x^\nu\]와
\[x^{-\nu}\]이다.
4.4 점화식 유도
전체 급수를 대입하면
\[\sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+r)^2-\nu^2 \right] a_nx^{n+r} + \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}x^{n+r} = 0\]이 된다.
$n=0$에서는 지수방정식이 나온다.
$n=1$에서는 일반적인 $\nu\ge0$의 큰 근 $r=\nu$에 대해
\[a_1=0\]이 된다.
$n\ge2$에서는
\[\boxed{ a_n = -\frac{a_{n-2}} {(n+r)^2-\nu^2} }\]이다.
$r=\nu$를 넣으면
\[(n+\nu)^2-\nu^2 = n(n+2\nu)\]이므로
\[\boxed{ a_n = -\frac{a_{n-2}} {n(n+2\nu)} }\]이다.
4.5 제1종 베셀 함수 $J_\nu$
$a_1=0$이므로 짝수 방향의 계수만 남는다.
$n=2k$라고 두면
\[a_{2k} = -\frac{a_{2k-2}} {4k(k+\nu)}\]이다.
반복하면
\[a_{2k} = \frac{(-1)^ka_0} {4^k k!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+k)}\]이다.
$\nu$가 정수가 아닐 수도 있기 때문에 일반적인 팩토리얼만으로는 표기가 불편하다.
그래서 팩토리얼을 일반화한 감마함수를 사용한다.
\[\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\]이고 정수 $n\ge0$에서는
\[\Gamma(n+1)=n!\]이다.
정규화를 표준적으로 선택하면
\[\boxed{ J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k} {k!\Gamma(k+\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+\nu} }\]을 얻는다.
이 함수가 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)이다.
표준 정의는 NIST DLMF §10.2에서 확인할 수 있다.
4.6 자주 쓰는 $J_0$와 $J_1$
$\nu=0$이면
\[\boxed{ J_0(x) = 1-\frac{x^2}{4} +\frac{x^4}{64} -\frac{x^6}{2304} +\cdots }\]이다.
$\nu=1$이면
\[\boxed{ J_1(x) = \frac{x}{2} -\frac{x^3}{16} +\frac{x^5}{384} -\frac{x^7}{18432} +\cdots }\]이다.
따라서
\[J_0(0)=1\]이고
\[J_1(0)=0\]이다.
또 $J_0$의 급수를 직접 미분하면
\[J_0^\prime(x) = -\frac{x}{2} +\frac{x^3}{16} -\frac{x^5}{384} +\cdots\]이므로
\[\boxed{ J_0^\prime(x)=-J_1(x) }\]이다.
베셀 함수도 진동하지만 사인과 코사인처럼 진폭이 일정하지 않다.
여기서 그래프의 진폭이 줄어드는 현상을 시간에 따른 저항손실과 같은 감쇠로 해석하면 안 된다.
베셀 함수에서는 원통 기하 자체가 공간 분포에 반영되어 반지름이 커질수록 모양이 달라지는 것이다.
4.7 예제: $J_0$를 급수로 직접 얻기
0차 베셀 방정식은
\[x^2y^{\prime\prime} + xy^\prime + x^2y = 0\]이다.
원점에서 유한하고
\[y(0)=1\]인 해를 찾자.
지수방정식은
\[r^2=0\]이므로 $r=0$이다.
점화식은
\[a_1=0\]과
\[\boxed{ a_n = -\frac{a_{n-2}}{n^2} }\]이다.
$a_0=1$에서
\[a_2=-\frac14\]이고,
\[a_4 = -\frac{a_2}{16} = \frac1{64}\]이며,
\[a_6 = -\frac{a_4}{36} = -\frac1{2304}\]이다.
따라서
\[\boxed{ y = 1-\frac{x^2}{4} +\frac{x^4}{64} -\frac{x^6}{2304} +\cdots = J_0(x) }\]이다.
$x=1$에서 6차까지만 사용하면
\[J_0(1) \approx 1-\frac14+\frac1{64}-\frac1{2304}\]이고,
\[J_0(1)\approx0.765190972\]이다.
4.8 두 번째 독립해 $Y_\nu$는 왜 필요한가?
2계 미분방정식의 일반해에는 독립적인 해 두 개가 필요하다.
비정수 $\nu$에서는
\[J_\nu(x)\]와
\[J_{-\nu}(x)\]가 보통 독립이다.
하지만 정수 $n$에서는
\[J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)\]이므로 새로운 해가 아니다.
따라서 또 다른 독립해를 정의해야 한다.
그것이 제2종 베셀 함수 $Y_\nu$이다.
비정수 $\nu$에서는
\[\boxed{ Y_\nu(x) = \frac{ \cos(\pi\nu)J_\nu(x)-J_{-\nu}(x) } {\sin(\pi\nu)} }\]로 표현할 수 있다.
따라서 일반해는
\[\boxed{ y = A J_\nu(x) + B Y_\nu(x) }\]이다.
$Y_0$는 원점 부근에서 로그형으로 발산하고, 양의 정수 차수 $Y_n$도 원점에서 발산한다.
그래서 영역에 원점이 포함되고 물리량이 유한해야 하는 문제에서는 보통 $Y_n$ 항을 제거한다.
하지만 원점이 영역에 포함되지 않는 환형 구조나 동축 구조에서는 $Y_n$을 무조건 버리면 안 된다.
4.9 전자공학 연결: 원형 도파관에서 왜 베셀 함수가 나오는가?
반지름 $a$인 완전도체 원형 도파관을 생각하자.
도파관은 $z$방향으로 길게 뻗어 있고 내부는 균일하고 손실 없는 매질
\[(\mu,\varepsilon)\]로 채워져 있다고 하자.
시간 의존성을
\[e^{j\omega t}\]로 두고 $z$방향 진행을
\[e^{-j\beta z}\]로 표현한다.
TM 모드의 축방향 전기장을 예로 들면
\[E_z(r,\phi,z,t) = \operatorname{Re} \left\{ \psi(r,\phi) e^{-j\beta z} e^{j\omega t} \right\}\]처럼 쓸 수 있다.
여기서
- $\omega$: 시간 방향 각주파수
- $\beta$: $z$방향 전파상수
- $\psi(r,\phi)$: 단면에서의 공간 분포
이다.
균일 매질의 무원천 영역에서는 장 성분이 Helmholtz 방정식을 만족한다.
\[\nabla^2E_z+k^2E_z=0\]여기서
\[k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\]이다.
$z$방향으로 두 번 미분하면
\[\frac{\partial^2}{\partial z^2} e^{-j\beta z} = -\beta^2e^{-j\beta z}\]이므로 단면 함수는
\[\boxed{ \nabla_t^2\psi+k_c^2\psi=0 }\]을 만족한다.
여기서
\[\boxed{ k_c^2=k^2-\beta^2 }\]이다.
$k_c$를 횡방향 파수 또는 차단 파수와 연결되는 양이라고 생각할 수 있다.
4.10 원통좌표에서 변수분리
원통좌표 $(r,\phi)$에서 횡방향 Helmholtz 방정식은
\[\frac1r \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial\psi}{\partial r} \right) + \frac1{r^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2} + k_c^2\psi = 0\]이다.
해를
\[\boxed{ \psi(r,\phi)=F(r)\Phi(\phi) }\]라고 놓는다.
대입하고 $r^2/(F\Phi)$를 곱하면
\[\frac{ r^2F^{\prime\prime} +rF^\prime +k_c^2r^2F }{F} + \frac{\Phi^{\prime\prime}}{\Phi} = 0\]이다.
첫 항은 $r$에만 의존하고 둘째 항은 $\phi$에만 의존하므로 각각 상수여야 한다.
각도 부분을
\[\Phi^{\prime\prime}+m^2\Phi=0\]으로 놓으면
\[\Phi = A\cos(m\phi) + B\sin(m\phi)\]이다.
원형 좌표에서는 한 바퀴 돌아오면 같은 점이므로
\[\Phi(\phi+2\pi)=\Phi(\phi)\]이어야 한다.
이 조건 때문에
\[\boxed{ m=0,1,2,\ldots }\]이라는 정수만 허용된다.
4.11 반지름 방향에서 베셀 방정식이 나온다
반지름 방향 방정식은
\[r^2F^{\prime\prime} + rF^\prime + (k_c^2r^2-m^2)F = 0\]이다.
이제
\[x=k_cr\]라고 치환하자.
왜 이 치환을 할까?
현재 식에는 $k_c$와 $r$이 항상
\[k_cr\]이라는 조합으로 등장한다.
이를 하나의 무차원 변수 $x$로 묶으면 표준 베셀 방정식과 바로 비교할 수 있다.
치환하면
\[\boxed{ x^2\frac{d^2F}{dx^2} + x\frac{dF}{dx} + (x^2-m^2)F = 0 }\]이 된다.
즉 정확히 $m$차 베셀 방정식이다.
따라서
\[\boxed{ F(r) = A J_m(k_cr) + B Y_m(k_cr) }\]이다.
속이 찬 원형 도파관은 중심 $r=0$을 포함한다.
$Y_m$은 중심에서 발산하므로 유한한 장을 요구하면
\[B=0\]을 선택한다.
따라서
\[F(r)\propto J_m(k_cr)\]이다.
이것이 원형 도파관에서 베셀 함수가 등장하는 이유이다.
4.12 TM 모드: 왜 $J_m$의 영점이 필요한가?
TM 모드는
\[H_z=0, \qquad E_z\ne0\]인 모드이다.
완전도체 벽은
\[r=a\]에 있다.
도체 표면에서는 접선 방향 전기장이 0이어야 한다.
원통 벽에서 $z$방향은 표면에 접하는 방향이므로
\[E_z(a,\phi)=0\]이어야 한다.
그런데
\[E_z\propto J_m(k_cr)\]이므로
\[J_m(k_ca)=0\]이어야 한다.
$J_m$의 $n$번째 양의 영점을
\[\chi_{mn}\]이라고 하면
\[\boxed{ k_c=\frac{\chi_{mn}}{a} }\]이다.
즉 경계조건이 아무 $k_c$나 허용하지 않고 베셀 함수의 영점에 해당하는 특정 값들만 선택한다.
이것이 모드가 이산적으로 존재하는 이유이다.
베셀 함수 영점은 NIST DLMF §10.21을 참고할 수 있다.
4.13 TM$_{01}$ 모드
축대칭 TM$_{01}$에서는
\[m=0\]이고 첫 번째 양의 영점은
\[\chi_{01}\approx2.40482556\]이다.
따라서
\[E_z(r) \propto J_0 \left( 2.40482556\frac{r}{a} \right)\]이다.
중심에서는
\[J_0(0)=1\]이고 벽에서는
\[J_0(2.40482556)=0\]이다.
이 그림은 축방향 전기장 진폭의 공간 분포이다.
실제 순간 전기장은 여기에
\[e^{j(\omega t-\beta z)}\]를 곱한 뒤 실수부를 취해 얻는다.
즉
- $J_0(k_cr)$: 단면 방향의 공간 모양
- $e^{-j\beta z}$: 도파관 길이 방향의 위상 변화
- $e^{j\omega t}$: 시간에 따른 진동
을 각각 담당한다고 생각하면 된다.
4.14 차단주파수는 어떻게 나오는가?
앞에서
\[k_c^2=k^2-\beta^2\]였으므로
\[\boxed{ \beta^2 = \omega^2\mu\varepsilon-k_c^2 }\]이다.
$\beta$가 실수이면
\[e^{-j\beta z}\]는 위상이 진행하는 파동이다.
반면
\[\omega^2\mu\varepsilon<k_c^2\]이면 $\beta$가 순허수가 되고, 물리적으로 허용되는 방향에서는 장이 $z$방향으로 지수적으로 감소한다.
이것이 차단(cutoff) 아래의 소멸파이다.
차단 경계에서는
\[\beta=0\]이다.
따라서
\[\omega_c^2\mu\varepsilon=k_c^2\]이고,
\[\omega_c = \frac{k_c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\]이다.
TM 모드에서
\[k_c=\frac{\chi_{mn}}{a}\]이므로
\[\boxed{ f_{c,\mathrm{TM}_{mn}} = \frac{\chi_{mn}} {2\pi a\sqrt{\mu\varepsilon}} }\]이다.
4.15 예제: TM$_{01}$ 차단주파수
공기로 채운 반지름
\[a=1\,\mathrm{cm}=0.01\,\mathrm m\]인 원형 도파관을 생각하자.
공기에서는
\[\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}} \approx c = 3.00\times10^8\,\mathrm{m/s}\]로 볼 수 있다.
TM$_{01}$에서
\[\chi_{01}\approx2.40482556\]이므로
\[f_c = \frac{ 2.40482556(3.00\times10^8) }{ 2\pi(0.01) }\]이다.
따라서
\[\boxed{ f_{c,\mathrm{TM}_{01}} \approx 11.48\,\mathrm{GHz} }\]이다.
도파관 반지름 $a$가 커지면
\[f_c\propto\frac1a\]이므로 차단주파수는 낮아진다.
4.16 TE 모드에서는 왜 도함수의 영점을 쓰는가?
TE 모드는
\[E_z=0, \qquad H_z\ne0\]인 모드이다.
축방향 자기장은
\[H_z\propto J_m(k_cr)\Phi(\phi)\]형태이다.
완전도체 벽에서는 접선 전기장
\[E_\phi=0\]이어야 한다.
시간관례를 $e^{j\omega t}$로 두면 TE 모드에서
\[E_\phi = \frac{j\omega\mu}{k_c^2} \frac{\partial H_z}{\partial r}\]관계가 나온다.
따라서 벽 $r=a$에서
\[\frac{\partial H_z}{\partial r}=0\]이어야 하고,
\[\boxed{ J_m^\prime(k_ca)=0 }\]을 얻는다.
즉
- TM: 함수값이 0
- TE: 도함수값이 0
이다.
$J_m^\prime$의 $n$번째 양의 영점을
\[\chi_{mn}^\prime\]라고 하면
\[\boxed{ f_{c,\mathrm{TE}_{mn}} = \frac{\chi_{mn}^\prime} {2\pi a\sqrt{\mu\varepsilon}} }\]이다.
4.17 원형 도파관의 가장 낮은 모드
원형 도파관에서 가장 낮은 차단주파수를 갖는 모드는 TE$_{11}$이다.
첫 번째 도함수 영점은
\[\chi_{11}^\prime \approx1.84118\]이다.
같은
\[a=1\,\mathrm{cm}\]공기 도파관에서
\[\boxed{ f_{c,\mathrm{TE}_{11}} \approx8.79\,\mathrm{GHz} }\]이다.
따라서 앞에서 구한
\[11.48\,\mathrm{GHz}\]는 원형 도파관 전체의 최저 차단주파수가 아니라 TM$_{01}$ 모드 자체의 차단주파수이다.
5. 어떤 방법을 선택해야 하는가?
미분방정식을 보면 바로 공식을 고르기보다 다음 순서로 판단하면 된다.
Step 1. 상수계수인가?
예를 들어
\[y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=0\]처럼 계수가 상수라면 특성방정식이 가장 먼저 떠올라야 한다.
Step 2. 변수계수라면 전개할 점을 정한다
\[A(x)y^{\prime\prime}+B(x)y^\prime+C(x)y=0\]을 표준형으로 바꾼다.
\[y^{\prime\prime}+P(x)y^\prime+Q(x)y=0\]이다.
Step 3. 보통점인지 특이점인지 본다
- $P,Q$가 해석적이면 보통점
- 그렇지 않으면 특이점
Step 4. 정칙특이점인지 확인한다
특이점이라면
\[xP(x),\qquad x^2Q(x)\]를 본다.
둘 다 해석적이면 정칙특이점이다.
Step 5. 해의 형태를 선택한다
보통점:
\[\boxed{ y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n }\]정칙특이점:
\[\boxed{ y=x^r\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n }\]Step 6. 지수를 맞추고 점화식을 찾는다
급수의 모든 항을 같은
\[x^n\]또는
\[x^{n+r}\]형태로 만든다.
시작점이 다르면 낮은 차수 항을 따로 처리한다.
Step 7. 초기조건과 경계조건을 적용한다
전자기학 문제에서는 단순한 초기값보다 다음 조건이 더 자주 등장한다.
- 원점에서 유한
- 도체 표면에서 전위 일정
- 접선 전기장 0
- 무한대에서 전위가 0
- 한 바퀴 회전하면 같은 값
- 벽에서 장 성분이 0
이런 물리적 조건이 수학적으로 허용되는 해를 선택한다.
방법 선택 요약
| 문제의 형태 | 첫 번째 선택 |
|---|---|
| 상수계수 동차 ODE | 특성방정식 |
| 계단·임펄스가 있는 초기값 문제 | 라플라스 변환 |
| 변수계수 + 보통점 | 멱급수해 |
| 정칙특이점 | 프로베니우스 방법 |
| 구면좌표의 각도 방정식 | 르장드르 함수 |
| 원통좌표의 반지름 방정식 | 베셀 함수 |
6. 연습문제와 상세 해설
문제 1. 전개 중심이 원점이 아닐 때
다음 문제에서 $x=1$을 중심으로 4차항까지 급수해를 구하여라.
\[y^{\prime\prime} + (x-1)y = 0\]초기조건은
\[y(1)=2, \qquad y^\prime(1)=-1\]이다.
해설 1. 전개 중심을 원점처럼 바꾸기
\[z=x-1\]이라고 두면 $x=1$은 $z=0$이 된다.
또
\[\frac{dz}{dx}=1\]이므로 $x$에 대한 미분과 $z$에 대한 미분의 형태가 같다.
방정식은
\[\frac{d^2y}{dz^2}+zy=0\]이다.
이제
\[y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\]을 사용한다.
앞의 $y^{\prime\prime}+xy=0$과 같은 구조이므로
\[a_2=0\]이고,
\[\boxed{ a_{n+3} = -\frac{a_n}{(n+3)(n+2)} }\]이다.
초기조건에서
\[a_0=2, \qquad a_1=-1\]이다.
따라서
\[a_3=-\frac{2}{3\cdot2}=-\frac13\]이고,
\[a_4=-\frac{-1}{4\cdot3}=\frac1{12}\]이다.
$a_2=0$이므로 $a_5=0$이다.
따라서
\[\boxed{ y = 2-(x-1) -\frac{(x-1)^3}{3} +\frac{(x-1)^4}{12} + O((x-1)^6) }\]이다.
문제 2. 비동차 방정식의 급수해
\[y^{\prime\prime}+y=x\]이고
\[y(0)=0, \qquad y^\prime(0)=0\]일 때 해를 구하여라.
해설
\[y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\]을 사용한다.
그러면
\[y^{\prime\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]이다.
우변 $x$는
\[x = 0+1x+0x^2+\cdots\]이므로 $x^1$의 계수만 1이다.
따라서
\[(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\ne1. \end{cases}\]이다.
초기조건에서
\[a_0=0,\qquad a_1=0\]이다.
$n=0$에서
\[2a_2+a_0=0\]이므로
\[a_2=0\]이다.
$n=1$에서
\[6a_3+a_1=1\]이므로
\[a_3=\frac16\]이다.
그 이후 홀수 계수는
\[a_5=-\frac1{120}, \qquad a_7=\frac1{5040}\]으로 이어진다.
따라서
\[y = \frac{x^3}{3!} -\frac{x^5}{5!} +\frac{x^7}{7!} -\cdots\]이다.
그런데
\[\sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\cdots\]이므로
\[\boxed{ y=x-\sin x }\]이다.
문제 3. 정칙특이점 판정
다음 세 방정식에서 $x=0$을 분류하여라.
\[\text{(a)}\quad y^{\prime\prime}+xy=0\] \[\text{(b)}\quad x^2y^{\prime\prime}+xy^\prime+(x^2-4)y=0\] \[\text{(c)}\quad x^2y^{\prime\prime}+y^\prime=0\]해설
(a)는 이미 표준형이다.
\[P(x)=0,\qquad Q(x)=x\]이므로 둘 다 해석적이다.
\[\boxed{\text{보통점}}\]이다.
(b)를 $x^2$으로 나누면
\[y^{\prime\prime} +\frac1x y^\prime + \left( 1-\frac4{x^2} \right)y = 0\]이다.
따라서
\[xP(x)=1\]이고,
\[x^2Q(x)=x^2-4\]이다.
둘 다 해석적이므로
\[\boxed{\text{정칙특이점}}\]이다.
(c)를 $x^2$으로 나누면
\[y^{\prime\prime} + \frac1{x^2}y^\prime = 0\]이다.
따라서
\[xP(x)=\frac1x\]가 여전히 원점에서 특이하다.
따라서
\[\boxed{\text{비정칙특이점}}\]이다.
문제 4. 르장드르 전개로 구 내부 전위 구하기
반지름 $a$인 구면에 다음과 같은 축대칭 경계전위가 주어진다고 하자.
\[V(a,\theta) = V_0\cos^2\theta\]구 내부에는 전하가 없고 유전체가 균일하다고 하자.
Step 1. 경계함수를 르장드르 다항식으로 분해
\[x=\cos\theta\]라고 두면
\[P_0(x)=1\]이고,
\[P_2(x)=\frac12(3x^2-1)\]이다.
$P_2$ 식을 $x^2$에 대해 풀면
\[3x^2=1+2P_2(x)\]이므로
\[x^2 = \frac13P_0(x) + \frac23P_2(x)\]이다.
따라서
\[V(a,\theta) = \frac{V_0}{3}P_0(\cos\theta) + \frac{2V_0}{3}P_2(\cos\theta)\]이다.
Step 2. 내부에서는 발산하는 반지름 항 제거
구 내부는 $r=0$을 포함한다.
따라서
\[r^{-\ell-1}\]항은 원점에서 발산하므로 제거한다.
남는 내부 해는
\[r^\ell P_\ell(\cos\theta)\]형태이다.
경계 $r=a$에서 계수를 맞추면
\[\boxed{ V(r,\theta) = \frac{V_0}{3} + \frac{2V_0}{3} \left( \frac{r}{a} \right)^2 P_2(\cos\theta) }\]이다.
$r=a$를 넣으면 원래 경계조건으로 돌아가고, $r=0$에서는 $V_0/3$으로 유한하다.
문제 5. 도파관 크기와 차단주파수
공기로 채운 원형 도파관의 반지름을
\[1\,\mathrm{cm}\]에서
\[2\,\mathrm{cm}\]로 늘리면 TM$_{01}$ 모드의 차단주파수는 어떻게 변하는가?
해설
같은 모드에서는 베셀 영점
\[\chi_{01}\]이 변하지 않는다.
차단주파수는
\[f_c = \frac{\chi_{01}c}{2\pi a}\]이므로
\[f_c\propto\frac1a\]이다.
따라서 반지름을 두 배로 만들면 차단주파수는 절반이 된다.
원래 약
\[11.48\,\mathrm{GHz}\]였다면 새로운 값은
\[\boxed{ f_c\approx5.74\,\mathrm{GHz} }\]이다.
즉 도파관의 재료가 같더라도 기하학적 크기만 바꾸어 전달 가능한 주파수 범위를 바꿀 수 있다.
문제 6. TM과 TE의 경계조건 비교
원형 완전도체 도파관에서 TM과 TE 모드가 각각 어떤 베셀 조건을 만족하는지 설명하여라.
해설
TM 모드에서는
\[E_z\ne0\]이고 $E_z$가 도체 벽의 접선 방향 성분이다.
따라서
\[E_z(a)=0\]이어야 하므로
\[\boxed{ J_m(k_ca)=0 }\]이다.
반면 TE 모드에서는 $H_z$를 사용하고 접선 전기장 조건으로부터
\[\frac{\partial H_z}{\partial r}=0\]이 나온다.
따라서
\[\boxed{ J_m^\prime(k_ca)=0 }\]이다.
즉
\[\boxed{ \text{TM: 함수의 영점}, \qquad \text{TE: 도함수의 영점} }\]으로 구분하면 된다.
7. 자주 틀리는 부분
- $y^{\prime\prime}$을 $x^n$ 기준으로 다시 쓰면 계수도 $a_{n+2}$로 바뀐다.
- 인덱스만 바꾸고 합의 시작점을 그대로 두면 안 된다.
- 합의 시작점이 다르면 가장 낮은 차수 항을 먼저 분리한다.
- 2계 방정식의 모든 $a_n$이 독립적인 것은 아니다. 보통 자유계수는 두 개이다.
- 보통점과 특이점을 판정하기 전에 반드시 최고차항의 계수를 1로 만든 표준형을 확인한다.
- 정칙특이점 판정에서 $P,Q$ 자체가 아니라 $xP,x^2Q$를 확인한다.
- 근의 차가 정수라고 해서 무조건 로그해가 생긴다고 외우면 안 된다.
- 특이점에서 $y(0)$와 $y^\prime(0)$을 보통점처럼 임의로 지정할 수 있다고 가정하면 안 된다.
- 르장드르 급수의 한 가지가 다항식으로 끝난다고 일반해 전체가 다항식인 것은 아니다.
- $Y_n$이 원점에서 발산한다는 이유로 모든 문제에서 무조건 버리면 안 된다. 실제 영역에 원점이 포함되는지 확인해야 한다.
- 베셀 함수의 차수 $m$과 영점 번호 $n$을 구분한다.
- TM은 $J_m$의 영점, TE는 $J_m^\prime$의 영점을 사용한다.
- 급수의 수렴범위, 유한차수 근사의 정확도, 실제 미분방정식 해의 존재구간은 서로 다른 개념이다.
8. 이 장의 전체 연결 관계
이 장에서 다룬 내용을 한 흐름으로 연결하면 다음과 같다.
1. 변수계수 미분방정식
상수계수 방정식처럼 단순한 지수함수 하나로 해를 추측하기 어려워진다.
그래서
\[y=\sum a_nx^n\]처럼 해를 작은 다항식 조각들의 무한합으로 표현한다.
2. 보통점
계수함수가 전개 중심에서 해석적이면 보통 멱급수만으로 충분하다.
\[\boxed{ y=\sum a_nx^n }\]3. 정칙특이점
계수가 약하게 발산하면 정수 거듭제곱만으로는 부족할 수 있다.
그래서
\[\boxed{ y=x^r\sum a_nx^n }\]로 확장한다.
가장 낮은 차수에서 $r$을 결정하는 지수방정식이 나온다.
4. 르장드르 함수
구면좌표의 Laplace 방정식을 변수분리하면 각도 방향에서
\[(1-x^2)y^{\prime\prime}-2xy^\prime+\ell(\ell+1)y=0\]이 나온다.
경계조건과 유한성 때문에
\[P_\ell(\cos\theta)\]라는 공간 모드가 선택된다.
5. 베셀 함수
원통좌표의 Helmholtz 방정식을 변수분리하면 반지름 방향에서
\[x^2y^{\prime\prime}+xy^\prime+(x^2-m^2)y=0\]이 나온다.
원점을 포함하는 문제에서는 보통
\[J_m\]이 선택되고, 도체 벽의 경계조건이 베셀 함수의 특정 영점을 선택한다.
그 결과 원형 도파관의 허용 모드와 차단주파수가 결정된다.
전자공학 관점에서 가장 중요한 메시지는 다음과 같다.
\[\boxed{ \text{미분방정식} \rightarrow \text{급수 또는 특수함수} \rightarrow \text{경계조건} \rightarrow \text{실제로 허용되는 전기장·전위·모드} }\]특수함수는 외워야 할 이상한 함수가 아니라, 공간의 기하와 경계조건을 미분방정식으로 표현했을 때 자연스럽게 나타나는 해이다.
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