Higher-Order ODE
고계 미분방정식을 배우는 이유
ODE에서는 미지함수와 그 1차 도함수의 관계를 다루었다. 이번에는 $y^{\prime\prime}$, $y^{\prime\prime\prime}$처럼 더 높은 차수의 도함수가 포함된 고계 미분방정식(Higher-Order ODE)을 배운다.
전기전자공학에서는 커패시터와 인덕터의 에너지 저장 때문에 미분방정식이 등장한다. 예를 들어 직렬 RLC 회로에서 커패시터 전압을 출력으로 잡으면
\[LC\frac{d^2v_C}{dt^2}+RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=v_{\mathrm{in}}(t)\]라는 2계 방정식을 얻는다. 이 식을 풀면 스위치를 켠 뒤 전압이 어떻게 변하는지, 진동이 얼마나 빨리 사라지는지, 입력 주파수에 따라 출력이 얼마나 커지는지 알 수 있다.
이번 글은 다음 순서로 진행한다.
- 계수 낮추기
- 상계수 동차 선형방정식
- 미정계수법
- 매개변수 변화법
- Cauchy–Euler 미분방정식
- 선형·비선형 모델
기본 풀이에서는 독립변수 $x$를, 회로와 신호에서는 시간 $t$를 사용한다. 2계 선형방정식의 풀이를 중심으로 익히고, 필요한 곳에서 $n$계로 확장한다. 라플라스와 푸리에 변환의 본격적인 계산은 뒤 단원에서 다루되, 이 장의 해와 어떻게 연결되는지 함께 짚는다.
차수, 선형성, 초기조건
$n$계 선형 미분방정식의 일반적인 형태는
\[a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=g(x)\]이다. 계수는 $x$에만 의존하고, $y$와 도함수들은 서로 곱해지지 않으며 1차로 등장한다.
- $g(x)=0$이면 동차방정식, 그렇지 않으면 비동차방정식이다.
- 모든 $a_k$가 상수이면 상계수방정식이다.
- $a_n(x)\neq0$인 구간에서 최고차항의 계수로 나누어 표준형을 만든다.
예를 들어 $y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=\sin x$는 2계 상계수 비동차 선형방정식이다. 반면 $y^{\prime\prime}+y^3=0$은 비선형이다. 우변이 0이라는 이유만으로 선형 동차방정식의 중첩 원리를 적용할 수는 없다.
표준형의 계수와 우변이 연속인 구간에서 $n$계 선형 초기값 문제는
\[y(x_0),\ y^{\prime}(x_0),\ \ldots,\ y^{(n-1)}(x_0)\]의 $n$개 초기값으로 해가 유일하게 결정된다. 2계라면 보통 $y(x_0)$와 $y^{\prime}(x_0)$ 두 개가 필요하다.
동차해와 특수해
선형 미분연산자를 $\mathcal{L}$이라고 쓰자. $\mathcal{L}[y]=g$의 해는
\[\boxed{y=y_h+y_p}\]로 구성할 수 있다.
- $y_h$: $\mathcal{L}[y_h]=0$을 만족하는 동차방정식의 일반해
- $y_p$: $\mathcal{L}[y_p]=g$를 만족하는 특수해 하나
선형성이 있으므로 $\mathcal{L}[y_h+y_p]=0+g=g$이다. 또한 비동차방정식의 두 해를 빼면 동차방정식의 해가 되므로 이 형태로 모든 해를 나타낼 수 있다.
초기조건은 $y_h$가 아니라 전체 해 $y_h+y_p$에 적용한다. $y_p$는 유일하지 않으며, 특수해에 동차해를 더해도 다른 특수해가 된다.
선형독립과 Wronskian
2계 동차방정식의 일반해를 만들려면 서로 독립인 두 해가 필요하다. $y_2=3y_1$처럼 상수배인 해 두 개로는 충분하지 않다.
두 함수의 Wronskian은
\[W(y_1,y_2)= \begin{vmatrix} y_1&y_2\\ y_1^{\prime}&y_2^{\prime} \end{vmatrix} =y_1y_2^{\prime}-y_1^{\prime}y_2\]이다. 연속인 계수를 가진 같은 표준형 방정식 $y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0$의 두 해라면
\[W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}P(\xi)\,d\xi}\]가 성립한다. 따라서 한 점에서 $W\neq0$이면 구간 전체에서 독립이며,
\[y_h=C_1y_1+C_2y_2\]가 일반해이다. 이 판별에서 두 함수가 같은 선형 동차방정식의 해라는 전제를 기억해야 한다.
1. 계수 낮추기
1.1 이미 알고 있는 해를 이용하는 방법
여기서 계수 낮추기(Reduction of Order)는 방정식의 차수(order)를 낮추는 방법이다. 상계수의 ‘계수(coefficient)’와는 다른 뜻이다.
다음 방정식의 해 $y_1$ 하나를 알고 있다고 하자.
\[y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\]두 번째 해를
\[y=v(x)y_1(x)\]로 놓는다. 상수배로는 독립인 해를 만들 수 없으므로 계수를 함수 $v(x)$로 바꾸는 것이다.
미분하면
\[y^{\prime}=v^{\prime}y_1+vy_1^{\prime},\qquad y^{\prime\prime}=v^{\prime\prime}y_1+2v^{\prime}y_1^{\prime}+vy_1^{\prime\prime}\]이다. 대입하여 묶으면
\[v^{\prime\prime}y_1+v^{\prime}(2y_1^{\prime}+Py_1)+v(y_1^{\prime\prime}+Py_1^{\prime}+Qy_1)=0\]이다. $y_1$이 해이므로 마지막 괄호가 0이 된다. 이제 $w=v^{\prime}$로 놓으면
\[y_1w^{\prime}+(2y_1^{\prime}+Py_1)w=0\]이라는 1계 방정식을 얻는다.
$y_1\neq0$인 구간에서 풀면
\[w=C\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1^2}\]이므로 독립인 두 번째 해 하나는
\[\boxed{ y_2=y_1\int\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx }\]로 구할 수 있다. 적분상수로 생기는 $y_1$의 상수배는 이미 알고 있는 해에 포함되므로 중복해서 기록할 필요가 없다.
1.2 예제: 중근에서 왜 $xe^x$가 나오는가?
\[y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0,\qquad y_1=e^x\]에서 $P=-2$이므로
\[y_2=e^x\int\frac{e^{2x}}{e^{2x}}\,dx=xe^x\]이다. 따라서
\[\boxed{y=(C_1+C_2x)e^x}\]이다. 다음 절의 특성방정식에서는 중근 $r=1$을 얻는다. 중근일 때 $xe^x$를 추가하는 규칙은 독립인 두 번째 해를 구하는 이 과정과 연결된다.
1.3 예제: $x$를 곱한 해가 항상 답은 아니다
\[x^2y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2y=0,\qquad y_1=x,\qquad x>0\]을 생각하자. 먼저 $x^2$으로 나누면 $P(x)=-2/x$이므로
\[y_2=x\int\frac{e^{-\int(-2/x)\,dx}}{x^2}\,dx =x\int1\,dx=x^2\]이다. 따라서 $y=C_1x+C_2x^2$이다. 이 예제에서도 $xy_1$이 나왔지만, 일반적으로는 적분식의 결과에 따라 두 번째 해가 달라진다.
예를 들어 $y^{\prime\prime}+y=0$에서 $y_1=\cos x$를 사용하면 $\cos x\neq0$인 구간에서
\[y_2=\cos x\int\sec^2x\,dx=\sin x\]를 얻는다. 구한 $\sin x$ 자체는 실수 전체에서 원래 방정식을 만족한다.
1.4 미지함수 자체가 없는 경우
$y^{\prime\prime}=F(x,y^{\prime})$처럼 $y$가 직접 등장하지 않으면 $p=y^{\prime}$로 놓아 $p^{\prime}=F(x,p)$를 먼저 푼다.
예를 들어
\[y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0\]에서 $p^{\prime}+2p=0$이므로 $p=Ae^{-2x}$이다. 다시 적분하면
\[\boxed{y=C_1+C_2e^{-2x}}\]이다. 적분을 두 번 거치므로 독립인 상수도 두 개가 생긴다.
2. 상계수 동차 선형방정식
2.1 지수함수와 특성방정식
\[ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0,\qquad a\neq0\]에서 $y=e^{rx}$를 대입하면
\[(ar^2+br+c)e^{rx}=0\]이다. $e^{rx}\neq0$이므로
\[\boxed{ar^2+br+c=0}\]을 푼다. 이것을 특성방정식(Characteristic Equation)이라고 한다.
지수함수는 미분해도 모양이 유지되어 미분연산이 $r$의 곱으로 바뀐다. 이 성질은 나중에 복소지수 신호와 전달함수를 다룰 때 다시 등장한다.
2.2 서로 다른 두 실근
$r_1\neq r_2$인 두 실근이면
\[\boxed{y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}}\]이다.
예제
\[y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0,\qquad y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0\]의 특성방정식은 $(r+1)(r+2)=0$이다. 따라서
\[y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x},\qquad y^{\prime}=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}\]이고 초기조건에서
\[C_1+C_2=1,\qquad -C_1-2C_2=0\]을 얻는다. $C_1=2$, $C_2=-1$이므로
\[\boxed{y=2e^{-x}-e^{-2x}}\]이다. 시간 응답이라면 두 지수항이 모두 사라지며, 더 천천히 감소하는 $e^{-t}$가 긴 시간의 응답을 지배한다.
2.3 중근
특성방정식이 중근 $r$을 가지면
\[\boxed{y=(C_1+C_2x)e^{rx}}\]이다. $C_1e^{rx}+C_2e^{rx}$로 쓰면 두 항이 합쳐져 상수 하나만 남으므로 일반해가 될 수 없다.
예제
\[y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0,\qquad y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0\]에서 $(r+2)^2=0$이므로 $y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$이다. 초기조건을 적용하면 $C_1=1$, $C_2=2$이므로
\[\boxed{y=(1+2x)e^{-2x}}\]이다. $xe^{-2x}$도 $x\to\infty$일 때 0으로 간다. 다항식 인자가 붙더라도 음의 지수에 의한 감쇠가 우세하다.
2.4 켤레복소근
실수 계수의 방정식이 $r=\alpha\pm j\beta$를 근으로 가지면, $j^2=-1$과 Euler 공식을 이용하여 실수 일반해를
\[\boxed{ y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) }\]로 쓸 수 있다. 전기공학에서는 전류 $i$와 구분하기 위해 허수단위를 보통 $j$로 쓴다.
예제
\[y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0,\qquad y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0\]에서 근은 $-1\pm2j$이다. 따라서
\[y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)\]이고 $C_1=1$, $-C_1+2C_2=0$이므로
\[\boxed{y=e^{-x}\left(\cos2x+\frac12\sin2x\right)}\]이다. $x=t$가 초 단위의 시간이라면 포락선의 감쇠율은 $1\,\mathrm{s}^{-1}$, 감쇠진동의 각주파수는 $2\,\mathrm{rad/s}$이다. 각주파수 $\omega$와 주파수 $f$의 관계는 $\omega=2\pi f$이다.
2.5 $n$계로 확장하기
$n$계 상계수 동차방정식도 같은 방식으로 $n$차 특성다항식을 만든다.
- 실근 $r$의 중복도가 $m$이면 $e^{rx},xe^{rx},\ldots,x^{m-1}e^{rx}$를 사용한다.
- 복소근 $\alpha\pm j\beta$의 중복도가 각각 $m$이면 $x^ke^{\alpha x}\cos\beta x$, $x^ke^{\alpha x}\sin\beta x$를 $k=0,\ldots,m-1$에 대해 사용한다.
예를 들어
\[y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=0\]의 특성다항식은 $(r-1)^2(r+1)$이므로
\[\boxed{y=(C_1+C_2x)e^x+C_3e^{-x}}\]이다. 독립인 해와 임의상수의 개수가 차수 3과 일치한다.
2.6 전공 연결: 근이 말해 주는 자연응답
시간에 대한 상계수 선형 동차방정식의 모드 $e^{rt}$를 보면 다음을 알 수 있다.
| 특성근 | 시간 응답의 특징 |
|---|---|
| 음의 실근 | 진동 없이 감쇠 |
| 실수부가 음수인 복소근 | 감쇠하면서 진동 |
| 실수부가 양수인 근 | 해당 모드가 성장 |
| 단순 순허수근 | 감쇠하지 않는 진동 |
| 실수부가 0인 중근 | $t$ 등의 인자로 성장할 수 있음 |
모든 초기조건에 대한 자연응답이 0으로 가려면 모든 특성근의 실수부가 음수여야 한다. 다만 자연응답의 안정성과 입출력 BIBO 안정성은 정의가 다르다. 전달함수의 극점 소거 등은 뒤의 시스템 단원에서 구분해 다룬다.
3. 미정계수법
3.1 우변과 비슷한 모양의 특수해를 가정한다
미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)은 상계수 비동차 선형방정식에서 우변의 형태를 보고 $y_p$를 가정한 뒤 계수를 결정하는 방법이다.
다항식, 지수함수, 사인·코사인 및 이들의 유한한 합과 곱에 적합하다. 이런 함수들은 반복해서 미분해도 유한한 종류의 함수들로 표현된다.
| 우변 $g(x)$ | 우선 가정할 특수해 |
|---|---|
| $n$차 다항식 | $A_nx^n+\cdots+A_1x+A_0$ |
| $e^{ax}$ | $Ae^{ax}$ |
| $\cos bx$ 또는 $\sin bx$ | $A\cos bx+B\sin bx$ |
| $e^{ax}P_n(x)$ | $e^{ax}Q_n(x)$ |
| $e^{ax}P_n(x)\cos bx$ 또는 사인 형태 | $e^{ax}[Q_n(x)\cos bx+R_n(x)\sin bx]$ |
$Q_n$, $R_n$은 미정계수를 가진 $n$차 다항식이다. 우변에 코사인만 있어도 미분하면 사인이 생기므로 둘 다 포함한다. 가정한 함수가 동차해와 겹치면 아래의 보정이 필요하다.
3.2 예제: 지수함수 입력
\[y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=e^x\]의 동차해는 $y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$이다. 우변의 $e^x$가 동차해와 겹치지 않으므로 $y_p=Ae^x$로 놓는다.
대입하면 $(A+3A+2A)e^x=e^x$이므로 $A=1/6$이다. 따라서
\[\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\frac16e^x}\]이다. 동차해가 감쇠해도 입력 자체가 성장하면 전체 출력은 성장할 수 있다.
3.3 예제: 다항식 입력
\[y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=x\]에서 $y_p=Ax+B$로 놓으면 $y_p^{\prime}=A$, $y_p^{\prime\prime}=0$이므로
\[2Ax+(3A+2B)=x\]이다. 계수를 비교하면 $A=1/2$, $B=-3/4$이므로
\[\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\frac{x}{2}-\frac34}\]이다. 우변의 상수항이 0이어도 특수해의 상수항은 필요하다.
3.4 동차해와 겹치면 $x$를 곱한다
우변에 대응하는 복소수 $a+jb$가 특성방정식의 $m$중근이면 기본 가정 전체에 $x^m$을 곱한다. 근이 아니면 $m=0$이므로 보정하지 않는다.
예제: 단순근과 겹치는 경우
\[y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=e^x\]의 특성근은 1, 2이다. $Ae^x$는 동차해이므로 대입하면 항상 0이 되어 우변을 만들 수 없다. 대신 $y_p=Axe^x$로 놓으면
\[y_p^{\prime}=A(x+1)e^x,\qquad y_p^{\prime\prime}=A(x+2)e^x\]이므로 좌변은 $-Ae^x$이다. 따라서 $A=-1$이고
\[\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x}\]이다.
예제: 중근과 겹치는 경우
\[y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=e^x\]에서는 $r=1$이 2중근이므로 $y_p=Ax^2e^x$를 사용한다. 대입하면 $2Ae^x=e^x$이므로
\[\boxed{y=(C_1+C_2x)e^x+\frac12x^2e^x}\]이다. 단순히 겹칠 때마다 $x$를 한 번만 곱하는 것이 아니라 중복도를 확인해야 한다.
3.5 예제: 사인파 입력과 위상차
\[y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=\cos x\]에서 $y_p=A\cos x+B\sin x$로 놓는다. 대입하면
\[(4A+2B)\cos x+(4B-2A)\sin x=\cos x\]이므로 $A=1/5$, $B=1/10$이다. 따라서
\[y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)+\frac15\cos x+\frac1{10}\sin x\]이다. 동차해는 사라지므로 오랜 시간 뒤에는
\[y_{\mathrm{ss}}=\frac1{\sqrt{20}}\cos(x-\phi),\qquad \phi=\tan^{-1}\frac12\]만 남는다. 입력과 같은 주파수이면서 진폭과 위상이 달라진다. 이것이 신호 및 시스템에서 배우는 정현파 정상상태 응답의 기본 모습이다.
3.6 예제: 감쇠가 없을 때의 공진
시간 $t$에 대한 무감쇠 방정식
\[\frac{d^2y}{dt^2}+\omega_0^2y=F_0\cos\omega_0t,\qquad \omega_0>0\]를 생각하자. 입력 주파수와 자연진동수가 같아서 코사인 가정이 동차해와 겹친다. $y_p=At\sin\omega_0t$를 대입하면
\[y_p^{\prime\prime}+\omega_0^2y_p=2A\omega_0\cos\omega_0t\]이므로
\[\boxed{y_p=\frac{F_0}{2\omega_0}t\sin\omega_0t}\]이다. 진폭이 시간에 비례하여 증가하므로 유계인 정현파 정상상태가 없다. 실제 수동 회로에는 손실이 있으며, 유한한 감쇠가 있을 때의 공진 응답은 6절에서 구분한다.
3.7 적용하기 어려운 입력
$g(x)=\tan x$, $\ln x$, $1/x$ 등에는 보통 위 표처럼 유한한 형태의 특수해를 가정하기 어렵다. 이럴 때는 매개변수 변화법을 사용한다. 계단·펄스 입력은 구간을 나눠 풀 수도 있지만, 다음 단원의 라플라스 변환이 더 체계적인 도구가 된다.
4. 매개변수 변화법
4.1 동차해의 상수를 함수로 바꾼다
매개변수 변화법(Variation of Parameters)은
\[y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=g(x)\]에서 독립인 동차해 $y_1,y_2$를 알고 있을 때 적용한다. 상계수일 필요는 없지만, 동차방정식을 먼저 풀 수 있어야 한다.
특수해를
\[y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)\]로 놓고 계산을 단순하게 하기 위해
\[u_1^{\prime}y_1+u_2^{\prime}y_2=0\]이라는 보조조건을 둔다. 그러면
\[y_p^{\prime}=u_1y_1^{\prime}+u_2y_2^{\prime}\]이고, 한 번 더 미분하여 대입하면 동차방정식 항들이 소거되어
\[u_1^{\prime}y_1^{\prime}+u_2^{\prime}y_2^{\prime}=g\]가 남는다. 따라서 두 식의 연립방정식을 풀어
\[u_1^{\prime}=-\frac{y_2g}{W},\qquad u_2^{\prime}=\frac{y_1g}{W}\]를 얻는다. 최종적으로
\[\boxed{ y_p=-y_1\int\frac{y_2g}{W}\,dx +y_2\int\frac{y_1g}{W}\,dx }\]이다. 원래 식이 $ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=f$라면 먼저 $a$로 나누고 $g=f/a$를 사용해야 한다. 적분상수로 생기는 동차해는 $y_h$에 흡수한다.
4.2 예제: $y^{\prime\prime}+y=\sec x$
$\cos x\neq0$인 구간에서 풀자. 동차해는
\[y_1=\cos x,\qquad y_2=\sin x,\qquad W=1\]이다. 따라서
\[u_1^{\prime}=-\sin x\sec x=-\tan x,\qquad u_2^{\prime}=\cos x\sec x=1\]이고
\[u_1=\ln|\cos x|,\qquad u_2=x\]로 둘 수 있다. 특수해와 일반해는 각각
\[y_p=\cos x\ln|\cos x|+x\sin x\] \[\boxed{ y=C_1\cos x+C_2\sin x+\cos x\ln|\cos x|+x\sin x }\]이다. 예를 들어 $(-\pi/2,\pi/2)$에서 유효하다. 직접 미분하면
\[y_p^{\prime}=-\sin x\ln|\cos x|+x\cos x\]이고 $y_p^{\prime\prime}+y_p=\sec x$가 되어 검산할 수 있다.
4.3 적분형 해와 임펄스 응답의 연결
\[y^{\prime\prime}+\omega_0^2y=g(t),\qquad y(0)=y^{\prime}(0)=0\]에서 도함수는 $t$에 대한 것으로 해석하자. $y_1=\cos\omega_0t$, $y_2=\sin\omega_0t$, $W=\omega_0$이다. 적분의 하한을 0으로 잡으면
\[y(t)=-\frac{\cos\omega_0t}{\omega_0} \int_0^t\sin\omega_0\tau\,g(\tau)\,d\tau +\frac{\sin\omega_0t}{\omega_0} \int_0^t\cos\omega_0\tau\,g(\tau)\,d\tau\]이다. 사인 덧셈공식으로 합치면
\[\boxed{ y(t)=\int_0^t\frac{\sin\omega_0(t-\tau)}{\omega_0}g(\tau)\,d\tau }\]를 얻는다. 이것은 뒤에서 배울 합성곱(컨볼루션)의 형태이다. 입력을 시간별로 나누어 각 입력이 만든 응답을 더한 것으로 해석할 수 있다.
인과적 임펄스 응답은 $h(t)=\sin(\omega_0t)/\omega_0$ ($t\geq0$), $h(t)=0$ ($t<0$)이다. 이 무감쇠 시스템은 $h$가 절대적분 가능하지 않아 BIBO 안정하지 않으며, 3절의 공진 입력이 그 예이다.
5. Cauchy–Euler 미분방정식
5.1 $e^{rx}$ 대신 $x^m$을 사용한다
Cauchy–Euler 방정식은
\[ax^2y^{\prime\prime}+bxy^{\prime}+cy=g(x),\qquad a\neq0\]처럼 미분 차수에 맞춰 $x$의 거듭제곱이 붙은 형태이다. $x=0$은 최고차항의 계수가 0인 특이점이므로 우선 $x>0$에서 푼다.
동차방정식에 $y=x^m$을 넣으면
\[y^{\prime}=mx^{m-1},\qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]이므로
\[\boxed{am(m-1)+bm+c=0}\]이라는 보조방정식을 얻는다. 상계수방정식처럼 $am^2+bm+c=0$으로 쓰지 않도록 주의한다.
| 보조방정식의 근 | $x>0$에서의 동차해 |
|---|---|
| 서로 다른 실근 $m_1,m_2$ | $C_1x^{m_1}+C_2x^{m_2}$ |
| 중근 $m$ | $x^m(C_1+C_2\ln x)$ |
| $\alpha\pm j\beta$ | $x^\alpha[C_1\cos(\beta\ln x)+C_2\sin(\beta\ln x)]$ |
$x<0$에서는 $\ln \vert x \vert $와 $\vert x \vert ^m$을 사용하여 별도 구간의 실수해를 구성할 수 있다. $x=0$을 가로지르는 해의 존재 여부는 원래 식으로 따로 확인한다.
5.2 예제: 서로 다른 실근
\[x^2y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2y=0,\qquad x>0\]의 보조방정식은
\[m(m-1)-2m+2=(m-1)(m-2)=0\]이므로
\[\boxed{y=C_1x+C_2x^2}\]이다. 1절에서 계수 낮추기로 얻은 결과와 같다. $y(1)=2$, $y^{\prime}(1)=3$이면 $C_1=C_2=1$이므로 $y=x+x^2$이다.
5.3 예제: 중근과 복소근
중근
\[x^2y^{\prime\prime}-xy^{\prime}+y=0\]이면 $m(m-1)-m+1=(m-1)^2=0$이므로
\[\boxed{y=x(C_1+C_2\ln x)},\qquad x>0\]이다. 상계수 중근의 $xe^{rx}$에 대응하는 추가 인자는 여기서는 $\ln x$이다.
복소근
\[x^2y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+4y=0\]이면 $m^2+4=0$이므로
\[\boxed{y=C_1\cos(2\ln x)+C_2\sin(2\ln x)},\qquad x>0\]이다. 진동이 $x$에 대해 일정한 주기를 가지는 것이 아니라 $\ln x$에 대해 주기적이라는 점이 다르다.
5.4 $z=\ln x$로 상계수방정식 만들기
$x=e^z$, $Y(z)=y(e^z)$로 놓으면 연쇄법칙에 의해
\[xy^{\prime}=Y^{\prime},\qquad x^2y^{\prime\prime}=Y^{\prime\prime}-Y^{\prime}\]이다. 여기서 $Y$의 도함수는 $z$에 대한 것이다. 따라서 원래 식은
\[\boxed{aY^{\prime\prime}+(b-a)Y^{\prime}+cY=g(e^z)}\]라는 상계수방정식이 된다.
비동차 예제
\[x^2y^{\prime\prime}-xy^{\prime}+y=x^2,\qquad x>0\]를 변환하면
\[Y^{\prime\prime}-2Y^{\prime}+Y=e^{2z}\]이다. 특수해 $Y_p=Ae^{2z}$를 대입하면 $A=1$이므로 $y_p=x^2$이다. 따라서
\[\boxed{y=x(C_1+C_2\ln x)+x^2}\]이다. Cauchy–Euler 방정식은 상계수 풀이법과 무관한 별개의 공식이 아니라, 독립변수를 바꾸면 상계수방정식이 되는 구조이다.
6. 선형·비선형 모델
6.1 질량–스프링–댐퍼와 RLC 회로
질량 $m$, 감쇠계수 $b$, 스프링 상수 $k$인 기계계에서 평형점으로부터의 변위를 $z(t)$라 하면
\[mz^{\prime\prime}+bz^{\prime}+kz=F(t)\]이다. 직렬 RLC 회로에서는 커패시터 전하 $q(t)$에 대해
\[Lq^{\prime\prime}+Rq^{\prime}+\frac1Cq=v_{\mathrm{in}}(t)\]를 얻는다.
| 기계계 | 전기계 | 역할 |
|---|---|---|
| 질량 $m$ | 인덕턴스 $L$ | 속도 또는 전류와 관련된 에너지 저장 |
| 감쇠계수 $b$ | 저항 $R$ | 에너지 소모 |
| 스프링 상수 $k$ | 커패시턴스의 역수 $1/C$ | 변위 또는 전하에 비례하는 복원 항 |
| 변위 $z$ | 전하 $q$ | 미지함수 |
| 힘 $F$ | 입력 전압 $v_{\mathrm{in}}$ | 외부 입력 |
6.2 직렬 RLC 회로의 방정식 유도
이상적인 전압원에 저항 $R$, 인덕터 $L$, 커패시터 $C$가 직렬로 연결되어 있다고 하자. 출력은 커패시터 양단 전압 $v_C$이며, 별도의 부하가 연결되지 않은 경우를 가정한다. $R,L,C$는 양의 상수이고, 소자의 전압과 전류 방향은 수동 부호 규약을 따른다.
Kirchhoff 전압법칙에서
\[v_{\mathrm{in}}=v_R+v_L+v_C\]이고, 소자 관계식은
\[v_R=Ri,\qquad v_L=L\frac{di}{dt},\qquad i=C\frac{dv_C}{dt}\]이다. 전류를 제거하면
\[\boxed{LCv_C^{\prime\prime}+RCv_C^{\prime}+v_C=v_{\mathrm{in}}(t)}\]를 얻는다. 표준형으로 쓰면
\[v_C^{\prime\prime}+\frac RL v_C^{\prime}+\frac1{LC}v_C=\frac1{LC}v_{\mathrm{in}}(t)\]이다. 커패시터 전압과 인덕터 전류가 두 초기조건을 제공한다.
\[v_C(0^+)=V_0,\qquad v_C^{\prime}(0^+)=\frac{I_0}{C}\]임펄스 전류나 전압이 없는 스위칭에서는 커패시터 전압과 인덕터 전류가 연속이므로, 스위칭 직전의 값을 직후의 초기값으로 사용한다. $v_C^{\prime}(0)=0$은 자동으로 성립하는 조건이 아니라 초기 전류가 0일 때의 조건이다.
6.3 자연진동수, 감쇠비, 감쇠진동수
표준적인 2차 시스템의 동차방정식은
\[y^{\prime\prime}+2\zeta\omega_ny^{\prime}+\omega_n^2y=0\]이다. RLC 회로와 비교하면
\[\boxed{ \omega_n=\frac1{\sqrt{LC}},\qquad \alpha=\frac{R}{2L},\qquad \zeta=\frac{\alpha}{\omega_n}=\frac R2\sqrt{\frac CL} }\]이다. $\omega_n$은 비감쇠 자연각주파수, $\alpha$는 감쇠율, $\zeta$는 무차원 감쇠비이다.
특성근은
\[r_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\]이므로 다음처럼 분류한다.
| 감쇠비 | 구분 | 자연응답 |
|---|---|---|
| $\zeta>1$ | 과감쇠 | 서로 다른 음의 실근, 지수항 두 개 |
| $\zeta=1$ | 임계감쇠 | 음의 중근, $(C_1+C_2t)e^{-\omega_nt}$ |
| $0<\zeta<1$ | 부족감쇠 | 감쇠하는 사인·코사인 |
| $\zeta=0$ | 무감쇠 | 지속되는 사인·코사인 |
부족감쇠일 때 실제 자연응답의 진동 각주파수는
\[\boxed{\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\]이다. $\omega_n$과 $\omega_d$는 일반적으로 다르다. 무감쇠 행은 이상적인 $R=0$의 한계에 해당한다.
6.4 예제: RLC 회로에 DC 전압을 인가할 때
다음 회로에 $t=0$부터 $1\,\mathrm{V}$의 일정한 전압을 인가하자.
\[L=1\,\mathrm{H},\qquad R=2\,\Omega,\qquad C=0.2\,\mathrm{F}\]초기에 저장된 에너지가 없어서 $v_C(0)=0$, $i(0)=0$이라고 하자. 수치는 계산을 단순하게 하기 위한 예제이며 $t$의 단위는 초이다.
1. 방정식과 초기조건
\[v_C^{\prime\prime}+2v_C^{\prime}+5v_C=5,\qquad v_C(0)=0,\quad v_C^{\prime}(0)=0\]2. 동차해와 특수해
특성근은 $-1\pm2j$이므로
\[v_h=e^{-t}(A\cos2t+B\sin2t)\]이다. 일정한 입력에 대한 특수해는 $v_p=1$이다.
3. 전체 해에 초기조건 적용
\[v_C=1+e^{-t}(A\cos2t+B\sin2t)\]에서 $1+A=0$, $-A+2B=0$이므로 $A=-1$, $B=-1/2$이다. 따라서
\[\boxed{ v_C(t)=1-e^{-t}\left(\cos2t+\frac12\sin2t\right)\quad [\mathrm{V}],\quad t\geq0 }\]이다. 커패시터 전류는
\[i(t)=Cv_C^{\prime}(t)=\frac12e^{-t}\sin2t\quad [\mathrm{A}]\]이다. $v_C(0)=0$, $i(0)=0$을 만족하며 $t\to\infty$이면 $v_C\to1\,\mathrm{V}$, $i\to0$이다. DC 정상상태에서 커패시터에 전류가 흐르지 않는다는 회로 해석과도 일치한다.
이 회로는 $\omega_n=\sqrt5$, $\zeta=1/\sqrt5$, $\omega_d=2$인 부족감쇠 시스템이다. 첫 최대값은 $v_C^{\prime}=0$에서 $t_p=\pi/2$초에 나타나고,
\[v_C(t_p)=1+e^{-\pi/2}\approx1.208\,\mathrm{V}\]이다. 최종값보다 약 $20.8\%$ 높아지는 오버슈트가 생긴다. 인덕터와 커패시터 사이에서 에너지가 교환되기 때문에 최종 전압을 한 번에 향하지 않고 진동하며 수렴한다.
6.5 동차해·특수해와 영입력·영상태 응답의 차이
앞에서는 $y=y_h+y_p$로 풀었는데 회로 수업에서는 영입력 응답, 영상태 응답, 과도응답, 정상상태 응답이라는 이름이 등장한다. 같은 해를 보고도 무엇을 기준으로 나누는지가 다르기 때문이다.
수학적인 분해: 어떤 방정식을 만족하는가?
$y_h$는 우변이 0인 방정식을 만족하고, $y_p$는 주어진 우변을 만드는 특수해 하나이다. 이때 $y_p$는 초기조건까지 만족할 필요가 없다. 예를 들어
\[v_C^{\prime\prime}+2v_C^{\prime}+5v_C=5\]에 대해 $v_p=1$은 특수해이지만 $v_C(0)=0$이라는 초기조건은 만족하지 않는다. 그래서 동차해를 더하고 전체 해에 초기조건을 적용했다.
물리적인 분해: 응답을 만드는 원인이 무엇인가?
회로가 반응하는 원인은 두 가지이다. 처음부터 커패시터·인덕터에 에너지가 저장되어 있을 수도 있고, 외부 전압원이 새롭게 에너지를 공급할 수도 있다. 선형 회로에서는 이 두 원인을 따로 계산하여 합할 수 있다.
\[\boxed{y=y_{\mathrm{zi}}+y_{\mathrm{zs}}}\]- 영입력 응답(Zero-input response): 외부 입력은 0으로 두고, 실제 초기 상태를 그대로 사용한 응답
- 영상태 응답(Zero-state response): 초기 상태는 모두 0으로 두고, 실제 외부 입력을 사용한 응답
여기서 상태는 미래 응답을 결정하는 데 필요한 내부 정보이다. 이 RLC 회로에서는 $v_C$와 $i$를 상태로 잡을 수 있다. 따라서 ‘영상태’는 단순히 출력 전압 하나만 0이라는 뜻이 아니라 $v_C(0)=0$, $i(0)=0$이라는 뜻이다.
같은 회로를 두 번 풀어서 비교하기
초기값이 $v_C(0)=V_0$, $v_C^{\prime}(0)=D_0=I_0/C$라고 하자. 입력을 제거한 문제는
\[v_{\mathrm{zi}}^{\prime\prime}+2v_{\mathrm{zi}}^{\prime}+5v_{\mathrm{zi}}=0,\qquad v_{\mathrm{zi}}(0)=V_0,\quad v_{\mathrm{zi}}^{\prime}(0)=D_0\]이다. 이미 배운 복소근 풀이와 초기조건을 적용하면
\[\boxed{ v_{\mathrm{zi}}(t)=e^{-t}\left[V_0\cos2t+\frac{D_0+V_0}{2}\sin2t\right] }\]를 얻는다. 반대로 초기 상태를 없애고 $1\,\mathrm{V}$의 계단 입력만 주면 6.4절의 결과인
\[\boxed{ v_{\mathrm{zs}}(t)=1-e^{-t}\left(\cos2t+\frac12\sin2t\right) }\]를 얻는다. 두 식을 더하면 실제 초기값과 실제 입력을 동시에 만족한다. 미분방정식의 좌변은 선형이므로 우변은 $0+5=5$가 되고, 초기값도 $(V_0,D_0)+(0,0)$으로 더해지기 때문이다.
특히 초기 에너지가 0이면 $v_{\mathrm{zi}}=0$이다. 그런데도 $v_{\mathrm{zs}}$ 안에는 $e^{-t}\cos2t$ 같은 동차해 모양의 항이 존재한다. 외부 전압이 켜지자마자 커패시터 전압이 1로 뛸 수는 없기 때문에, 이 감쇠항이 초기 순간의 값을 맞추는 역할을 한다.
시간에 따른 분해: 오래 지나도 남는가?
위 계단 응답에서 상수 1은 정상상태 응답이고, 감쇠하는 나머지는 과도응답이다. 따라서 세 분류를 다음처럼 구분해야 한다.
| 분해 | 나누는 기준 | 이 계단 입력 예제에서의 의미 |
|---|---|---|
| 동차해 + 특수해 | 만족하는 미분방정식 | 특수해를 1로 잡고 나머지로 초기조건을 맞춤 |
| 영입력 + 영상태 | 초기 상태와 외부 입력이라는 원인 | 초기 상태가 0이면 전체가 영상태 응답 |
| 과도 + 정상상태 | 시간이 지난 뒤 사라지는지 여부 | 감쇠항은 사라지고 1이 남음 |
이 구분은 이번 장에서 이해하고 넘어갈 내용이다. 다음 라플라스 단원에서는 같은 분해가 변환식의 ‘초기조건 항’과 ‘입력 항’으로 나타나는 것을 확인한다. 다만 무감쇠·불안정 시스템에서는 동차해가 사라지지 않을 수 있으므로 동차해를 항상 과도응답이라고 부를 수는 없다.
6.6 왜 사인파 대신 복소지수를 넣는가?
회로에 실제로 넣는 전압이 $V_m\cos\omega t$인데 갑자기 $V_me^{j\omega t}$를 대입하면, 입력을 다른 것으로 바꾼 것처럼 느껴질 수 있다. 여기에는 두 가지 설명이 필요하다. 왜 이런 표현이 편리한지, 그리고 계산 후 실수부를 취해도 왜 원래 문제의 답이 되는지이다.
이 부분은 Euler 공식과 선형 미분방정식만으로 설명할 수 있으며, 이번 절에서 먼저 이해한다. 푸리에 단원에서 새롭게 배울 것은 ‘하나의 사인파를 계산하는 법’을 넘어 다양한 신호를 사인파들의 합으로 표현하는 법이다.
Euler 공식은 두 삼각함수를 묶어 준다
허수단위 $j$에 대해
\[\boxed{e^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t}\]이다. 따라서
\[\cos\omega t=\operatorname{Re}\{e^{j\omega t}\},\qquad \sin\omega t=\operatorname{Im}\{e^{j\omega t}\}\]이다. 복소평면에서 $e^{j\omega t}$는 길이가 1이고 각도가 $\omega t$인 점이다. 시간이 흐르면 각속도 $\omega$로 회전하며, 실수축에 투영한 값이 코사인, 허수축에 투영한 값이 사인이다.
진폭과 위상까지 포함하면
\[V_m\cos(\omega t+\theta) =\operatorname{Re}\{\underbrace{V_me^{j\theta}}_{\text{복소 진폭}}e^{j\omega t}\}\]이다. $V_me^{j\theta}$라는 복소수 하나에 진폭 $V_m$과 위상 $\theta$가 함께 담긴다. 이처럼 공통 시간 인자 $e^{j\omega t}$를 따로 두고 진폭·위상만 기록한 것을 페이저(phasor)라고 한다. 이 글의 페이저 크기는 실효값이 아니라 최대 진폭 기준이다.
Euler 공식의 급수 유도는 이후 복소함수 단원에서 다시 다룬다. 여기서는 이 공식을 실수 사인파와 복소지수 사이의 연결식으로 사용한다.
미분할 때 모양이 그대로 유지된다
삼각함수를 미분하면
\[\frac d{dt}\cos\omega t=-\omega\sin\omega t,\qquad \frac d{dt}\sin\omega t=\omega\cos\omega t\]처럼 사인과 코사인이 서로 바뀐다. 그래서 미정계수법에서도 $A\cos\omega t+B\sin\omega t$를 함께 가정해야 했다.
반면 복소지수는
\[\frac d{dt}e^{j\omega t}=j\omega e^{j\omega t},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{j\omega t}=(j\omega)^2e^{j\omega t}=-\omega^2e^{j\omega t}\]이다. 함수의 모양은 유지되고 복소수만 곱해진다. 사인과 코사인의 계수 두 개를 연립해서 구하는 계산을 복소수 계수 하나의 계산으로 묶을 수 있다.
이것은 2절에서 $y=e^{rt}$를 대입하여 특성방정식을 만든 이유와 같다. 다만 동차방정식에서는 시스템이 스스로 가질 수 있는 $r$을 찾았고, 지금은 입력이 정해 준 $j\omega$에 대한 응답 크기를 구한다. 자연응답의 특성근과 외부 입력의 주파수는 서로 다른 역할을 한다.
실수부를 취하면 원래 방정식으로 돌아온다
실수 계수의 미분연산자를
\[\mathcal{D}[v]=LCv^{\prime\prime}+RCv^{\prime}+v\]라고 하자. 계산을 위해 복소 입력에 대한 방정식
\[\mathcal{D}[z]=V_me^{j\omega t}\]을 풀고 $z=a(t)+jb(t)$로 쓰면, 계수가 실수이고 연산자가 선형이므로
\[\mathcal{D}[a]+j\mathcal{D}[b] =V_m\cos\omega t+jV_m\sin\omega t\]이다. 실수부끼리 비교하면
\[\boxed{\mathcal{D}[a]=V_m\cos\omega t}\]를 얻는다. 따라서 $a=\operatorname{Re}z$는 실제 코사인 입력에 대한 해이다. 복소 입력은 코사인 문제와 사인 문제를 한꺼번에 계산하기 위한 보조 표현이며, 실제 전압을 허수로 바꿔 놓은 것이 아니다.
이 설명은 선형성에 의존한다. 예를 들어 비선형 항 $z^2$가 있으면 $\operatorname{Re}(z^2)=a^2-b^2$여서 $a^2$와 같지 않다. 그런 방정식에서는 같은 방법을 그대로 사용할 수 없다.
같은 복소지수 모양으로 특수해를 구한다
복소 입력이 $V_me^{j\omega t}$이므로 특수해를
\[z_p(t)=\widetilde V_Ce^{j\omega t}\]로 놓는다. 미정계수법에서 지수 입력에 같은 지수 모양을 가정했던 것과 같은 단계이다. 대입하면
\[\left[LC(j\omega)^2+RC(j\omega)+1\right]\widetilde V_Ce^{j\omega t} =V_me^{j\omega t}\]이다. 공통 인자를 나누면 미분방정식이
\[(1-LC\omega^2+jRC\omega)\widetilde V_C=V_m\]이라는 대수방정식이 된다. 따라서
\[\boxed{ H(j\omega)=\frac{\widetilde V_C}{V_m} =\frac1{1-LC\omega^2+jRC\omega} }\]이다. $H(j\omega)$는 주파수 $\omega$의 입력 복소 진폭에 곱하면 출력 복소 진폭이 되는 수이다. 주파수를 바꾸면 이 수가 어떻게 변하는지를 나타내므로 주파수 응답이라고 부른다.
분모가 0이면 이 특수해 가정은 성립하지 않는다. 예를 들어 이상적인 무감쇠 LC 회로에서 입력이 자연진동수와 같으면 3.6절처럼 $t$가 곱해진 공진해가 필요하다. 반면 지금의 $R,L,C>0$인 회로에서는 실수 주파수에 대해 위 분모가 0이 되지 않는다.
복소수 곱이 진폭과 위상 변화가 되는 이유
$H(j\omega)=\vert H(j\omega) \vert e^{j\phi}$로 쓰면
\[z_p(t)=V_m|H(j\omega)|e^{j(\omega t+\phi)}\]이다. 실수부를 취하면
\[\boxed{ v_{C,\mathrm{ss}}(t)=V_m|H(j\omega)|\cos(\omega t+\phi),\qquad \phi=\angle H(j\omega) }\]를 얻는다. 즉 복소수의 크기는 진폭 배율이고, 복소수의 각도는 위상 변화이다. 입력의 각주파수 $\omega$ 자체는 유지된다.
이 회로에서는
\[|H(j\omega)|=\frac1{\sqrt{(1-LC\omega^2)^2+(RC\omega)^2}}\] \[\angle H(j\omega)=-\operatorname{atan2}(RC\omega,\,1-LC\omega^2)\]이다. $\operatorname{atan2}$는 실수부와 허수부의 부호를 함께 보아 위상의 사분면을 결정한다. 단순한 $\tan^{-1}(b/a)$만 사용하면 실수부가 음수인 경우 위상을 잘못 고를 수 있다.
일정한 위상 지연을 한 주파수의 사인파에서는 시간 지연으로 해석할 수 있지만, 여러 주파수가 섞인 신호 전체가 모양 그대로 지연되려면 더 강한 조건이 필요하다. 위상 응답과 군지연은 뒤의 푸리에 변환·필터 해석에서 다룬다.
수치 예제: 미정계수법과 복소수 계산은 같은 답을 준다
앞의 $L=1$, $R=2$, $C=0.2$ 회로에 $\cos t\,\mathrm{V}$를 인가하자. $\omega=1\,\mathrm{rad/s}$에서
\[H(j)=\frac1{0.8+0.4j}=1-\frac12j\]이다. 직접 곱하면
\[\left(1-\frac12j\right)(\cos t+j\sin t) =\left(\cos t+\frac12\sin t\right) +j\left(\sin t-\frac12\cos t\right)\]이므로 실수 출력은
\[v_{C,\mathrm{ss}}(t)=\cos t+\frac12\sin t =\frac{\sqrt5}{2}\cos\left(t-\tan^{-1}\frac12\right)\quad [\mathrm{V}]\]이다. 미정계수법으로 $A\cos t+B\sin t$를 가정해도 $A=1$, $B=1/2$가 나온다. 두 방법의 차이는 물리가 아니라 계산을 정리하는 방식이다.
수동 회로인데 전압 진폭이 입력보다 큰 이유도 여기서 질문할 수 있다. 이는 특정 소자의 전압비이고, 회로가 전력을 생성한다는 뜻은 아니다. 저장 소자 사이의 에너지 교환 때문에 소자 양단 전압은 입력 전압보다 커질 수 있다.
왜 정상상태만 구했다고 하는가?
위 특수해는 $v_{C,\mathrm{ss}}(0)=1$, $v_{C,\mathrm{ss}}^{\prime}(0)=1/2$이다. 따라서 입력을 $t=0$에 켰고 초기 상태가 0인 문제의 전체 해는 아니다. 초기조건을 맞추려면 동차해를 더해야 한다.
\[v_C(t)=\cos t+\frac12\sin t+e^{-t}(A\cos2t+B\sin2t)\]에 $v_C(0)=v_C^{\prime}(0)=0$을 적용하면 $A=-1$, $B=-3/4$이므로
\[\boxed{ v_C(t)=\cos t+\frac12\sin t-e^{-t}\left(\cos2t+\frac34\sin2t\right),\qquad t\geq0 }\]이다. 마지막 항이 사라진 뒤에야 주파수 응답으로 구한 정현파만 남는다. 페이저 계산은 이 안정한 회로에서 정현파 정상상태를 빠르게 구하는 도구이며, 스위칭 직후의 초기조건까지 자동으로 처리하는 도구는 아니다.
신호 및 시스템에서 이를 ‘복소지수가 LTI 시스템의 고유함수’라고 표현하기도 한다. LTI는 선형·시불변(Linear Time-Invariant)을 뜻한다. 시불변은 동일한 입력을 늦게 가하면 응답도 같은 만큼 늦어지는 성질이다. 일반적인 LTI 시스템에서 복소지수가 상수배로 나오는 이유는 합성곱을 이용해 푸리에 단원에서 증명한다. 지금 계산한 것은 그 성질이 상계수 미분방정식에서 나타나는 구체적인 예이다. 입력을 켤 때 생기는 과도응답까지 ‘같은 사인파 모양’이라고 해석해서는 안 된다.
6.7 저역통과 특성과 공진 주파수
6.6절에서는 주파수 하나를 고정해서 계산했다. 이제 입력 진폭은 일정하게 유지하고 주파수만 천천히 바꾸면서, 각 주파수의 정상상태 출력 진폭을 따로 측정한다고 생각하자. 이때의 진폭비를 주파수에 따라 나열한 것이 $\vert H(j\omega) \vert$이다. 시간에 따라 진동하는 파형 자체를 그린 그래프와는 가로축의 의미부터 다르다.
커패시터 전압 출력에 대해 $H(0)=1$이고, $\omega\to\infty$이면 크기가 약 $1/(LC\omega^2)$로 작아진다. 따라서 이 회로는 2차 저역통과 필터로 해석할 수 있다. 낮은 주파수의 전압 변화는 잘 전달하고 높은 주파수의 변화는 약하게 전달한다는 뜻이다. ‘2차’는 이 회로의 지배방정식과 전달함수 분모의 차수에 대응한다.
아직 임의의 입력 신호를 여러 주파수로 나누지는 않았다. 그것은 푸리에 단원의 역할이다. 여기서는 사인파를 주파수별로 하나씩 넣었을 때의 결과로 필터의 성질을 파악한다. 주파수 축을 로그 눈금으로, 크기를 데시벨로 그리는 Bode 선도와 차단주파수·대역폭은 이후 라플라스 응용 및 푸리에 필터 해석에서 다룬다.
감쇠비로 표현하면
\[H(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2-\omega^2+j2\zeta\omega_n\omega}\]이다. $\rho=\omega/\omega_n$으로 정규화하면 크기의 분모 제곱은
\[D(\rho)=(1-\rho^2)^2+4\zeta^2\rho^2\]이고,
\[D^{\prime}(\rho)=4\rho(\rho^2+2\zeta^2-1)\]이다. 따라서 $0<\zeta<1/\sqrt2$일 때 양의 주파수에서 공진 피크가 존재하고,
\[\boxed{\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}}\]에서 최대가 된다. 감쇠가 충분히 작으면 특정 주파수에서 에너지 저장 소자 사이의 교환이 큰 전압 응답을 만들지만, $R>0$인 이 회로에서는 에너지 손실 때문에 유한한 정상상태 진폭으로 제한된다. 이는 3.6절의 무감쇠 공진에서 진폭이 시간에 따라 계속 증가하는 현상과 구분해야 한다.
$\zeta\geq1/\sqrt2$이면 이 출력의 크기는 DC에서 최대이며 양의 주파수에 공진 피크가 없다.
앞의 회로에서는
\[\omega_n=\sqrt5,\qquad \omega_d=2,\qquad \omega_r=\sqrt3\]으로 세 값이 모두 다르다. 자연진동수, 감쇠진동수, 주파수 응답의 피크 위치를 구분해야 한다.
한편 직렬 회로의 전류를 출력으로 보면 임피던스
\[Z(j\omega)=R+j\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)\]이다. 이 식 역시 새 규칙을 외워서 얻는 것이 아니다. 정현파에 대해 $v_L=L i^{\prime}$는 $\widetilde V_L=j\omega L\widetilde I$가 되고, $i=Cv_C^{\prime}$는 $\widetilde V_C=\widetilde I/(j\omega C)$가 된다. 직렬 소자의 전압을 더하면 위의 $Z=\widetilde V_{\mathrm{in}}/\widetilde I$가 나온다. 임피던스는 이처럼 정현파 정상상태의 전압–전류 비를 복소수로 나타낸 것이다.
$Z$의 크기가 최소인 $\omega=1/\sqrt{LC}$에서 전류 진폭이 최대이다. 공진 주파수를 말할 때는 어떤 출력을 관측하는지도 명시해야 한다.
7. 라플라스·푸리에 단원으로 이어지는 내용
6.6절에서는 한 주파수의 사인파 입력을 다루었다. 이제 두 가지 질문이 남는다.
- 스위치를 켜거나 펄스를 넣었을 때 초기조건까지 포함한 전체 응답은 어떻게 계산하는가?
- 사각파나 음성처럼 한 개의 사인파가 아닌 입력은 어떻게 분석하는가?
첫 번째 질문에는 라플라스 변환이, 두 번째 질문에는 푸리에 급수·변환이 특히 유용하다. 두 도구가 완전히 분리된 것은 아니며, 같은 시스템을 시간과 주파수의 관점에서 연결한다. 이번 절은 뒤 단원의 공식을 먼저 외우기 위한 부분이 아니라 어떤 문제가 남아 있고, 다음 도구가 왜 필요한지를 설명하는 연결 부분이다.
7.1 라플라스 변환: 초기조건을 버리지 않고 대수방정식으로 만들기
페이저 계산에서 해결하지 못한 것
6.6절의 복소지수 가정은 정현파 특수해를 빠르게 구했지만, 초기조건을 맞추는 동차해는 따로 계산해야 했다. 또한 입력이 중간에 켜졌다 꺼지는 펄스라면 구간마다 해를 구하고 경계에서 전압·전류를 연결해야 한다.
라플라스 변환은 이러한 시간영역 문제를 초기조건이 포함된 대수방정식으로 바꾸는 방법이다.
$s$는 무엇이고, 왜 미분이 $s$의 곱으로 바뀌는가?
복소변수 $s=\sigma+j\omega$에 대해 단측 라플라스 변환은 대략 다음 적분으로 정의한다. 여기서는 $t\geq0$에서 매끄럽고 변환이 수렴하는 함수를 생각한다.
\[F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt\]가중함수 $e^{-st}=e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}$에는 크기를 조절하는 지수항과 회전하는 복소지수항이 함께 들어 있다. $\sigma$를 적절히 정하면 시간이 지나며 커지는 함수도 적분이 수렴하도록 만들 수 있다. 이 허용 범위를 체계적으로 다루는 것이 수렴영역이다.
미분의 변환을 부분적분하면, 무한대의 경계항이 사라지는 $s$에서
\[\begin{aligned} \mathcal{L}\{f^{\prime}(t)\} &=\left[f(t)e^{-st}\right]_0^\infty+s\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt\\ &=sF(s)-f(0^+) \end{aligned}\]이다. 즉 ‘$d/dt$를 그냥 $s$로 치환한다’는 규칙이 아니라, 부분적분으로 생긴 경계항에 초기값이 남는 것이다. 한 번 더 적용하면
\[\mathcal{L}\{f^{\prime\prime}(t)\}=s^2F(s)-sf(0^+)-f^{\prime}(0^+)\]이다. 스위칭 직전 $0^-$과 직후 $0^+$, 원점의 임펄스를 포함하는 단측 변환의 규약은 제3장에서 따로 정리한다. 여기서는 임펄스가 없는 RLC 예제의 직후 초기값을 사용한다.
같은 RLC 회로에서 두 응답이 다시 나타난다
\[v_C^{\prime\prime}+2v_C^{\prime}+5v_C=5v_{\mathrm{in}}\]에 변환을 적용하자. $V_C(s)$와 $V_{\mathrm{in}}(s)$를 각 신호의 변환, $V_0=v_C(0^+)$, $D_0=v_C^{\prime}(0^+)$를 초기값이라 하면
\[(s^2V_C-sV_0-D_0)+2(sV_C-V_0)+5V_C=5V_{\mathrm{in}}\]이다. $V_C$를 모아 정리하면
\[\boxed{ V_C(s)=\frac5{s^2+2s+5}V_{\mathrm{in}}(s) +\frac{(s+2)V_0+D_0}{s^2+2s+5} }\]를 얻는다. 첫 항은 초기값이 모두 0일 때의 출력이므로 영상태 응답, 두 번째 항은 입력을 0으로 둔 출력이므로 영입력 응답이다. 6.5절에서 두 번 풀어 더했던 과정이 하나의 식에 나타난다.
초기 상태가 0인 입출력 관계를 정리하는 함수가 전달함수이다.
\[\boxed{ H(s)=\frac5{s^2+2s+5},\qquad V_C(s)=H(s)V_{\mathrm{in}}(s)\quad\text{(초기 상태 0)} }\]초기값이 0이 아니면 전체 출력에는 별도의 초기조건 항이 있으므로 $V_C=HV_{\mathrm{in}}$만으로 계산하면 안 된다.
$H(s)$와 $H(j\omega)$는 왜 같은 식처럼 보이는가?
상계수 미분방정식의 같은 연산이 두 계산에 등장하기 때문이다.
- 정현파 특수해 $Ae^{j\omega t}$를 대입하면 미분할 때마다 $j\omega$가 곱해진다.
- 라플라스 변환에서는 미분이 $s$의 곱과 초기값 항으로 바뀐다. 초기 상태가 0이면 초기값 항이 사라진다.
그래서 이 회로에서는 $H(s)$의 식에 $s=j\omega$를 넣으면 6.6절에서 직접 구한 주파수 응답을 얻는다. 다만 이를 일반적인 푸리에 주파수 응답으로 해석하려면 수렴 조건도 필요하며, 그 조건은 7.3절에서 구분한다.
분모의 근 $-1\pm2j$는 이 전달함수의 극점이며 자연응답의 $e^{-t}\cos2t$, $e^{-t}\sin2t$와 연결된다. 반면 정현파 입력의 $j\omega$는 입력 주파수를 선택하는 값이다. 시스템 고유의 극점을 구하는 일과, 정해진 시스템에 여러 입력 주파수를 넣어 보는 일은 다르다.
제3장에서는 계단 입력의 변환 $1/s$를 넣어 $V_C(s)=5/[s(s^2+2s+5)]$를 얻고, 역변환하여 6.4절의 계단 응답이 다시 나오는 과정까지 계산한다.
7.2 푸리에 급수: 한 사인파의 해를 여러 성분으로 확장하기
먼저 두 주파수만 더해 보자
입력이
\[v_{\mathrm{in}}(t)=\cos t+\frac12\cos3t\]라고 하자. 선형성 때문에 두 입력에 대한 출력을 따로 구해 더할 수 있다. 앞의 RLC 회로에서 $H(j)=1-j/2$이고
\[H(3j)=\frac1{1-0.2(3)^2+j0.4(3)} =\frac1{-0.8+1.2j}=-\frac5{13}-\frac{15}{26}j\]이므로 주기 정상상태 출력은
\[\boxed{ v_{C,\mathrm{ss}}(t)=\cos t+\frac12\sin t-\frac5{26}\cos3t+\frac{15}{52}\sin3t }\]이다. 주파수 1과 3은 그대로 있지만 각각 진폭과 위상이 달라졌다.
푸리에 급수에서 새롭게 배우는 것은 주어진 주기 신호를 보고 어떤 주파수를 얼마씩 더해야 그 신호가 되는지 구하는 방법이다. 계수를 추출할 수 있는 이유가 삼각함수의 직교성이다.
왜 양의 주파수와 음의 주파수가 모두 등장하는가?
Euler 공식에서
\[\boxed{\cos\omega t=\frac12e^{j\omega t}+\frac12e^{-j\omega t}}\]이다. 반대 방향으로 회전하는 두 복소지수를 더하면 허수부가 상쇄되어 실수 코사인이 된다. 따라서 실수 주기 신호를 복소지수의 합으로 표현할 때는 일반적으로 $+\omega$와 $-\omega$가 쌍으로 나타난다.
이것은 6.6절의 페이저와 혼동하기 쉬운 부분이다. 페이저 방식에서는 $\cos\omega t=\operatorname{Re}{1\cdot e^{j\omega t}}$로 썼다. 복소 푸리에 급수에서는 실수부 연산을 따로 붙이지 않고 두 항을 더하므로 계수가 각각 $1/2$이다. 한쪽 회전의 실수부를 취하는 표현과 양쪽 회전을 합하는 표현의 차이 때문에 계수 2배 문제가 생긴다.
음의 주파수의 기하학적 의미, 실수 신호의 켤레대칭, 페이저 진폭과 푸리에 계수의 관계는 푸리에 급수 단원에서 예제로 다시 정리한다.
성분의 개수를 늘리면 푸리에 급수가 된다
주기 $T$인 입력을 적절한 의미에서
\[v_{\mathrm{in}}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jk\omega_0t},\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}\]로 표현할 수 있다고 하자. $c_k$는 $k$번째 주파수 성분의 복소 계수이고, $c_0$는 평균값인 DC 성분이다. 충분한 수렴 조건 아래 안정한 LTI 시스템의 주기 정상상태 출력은
\[\boxed{ v_{C,\mathrm{ss}}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}H(jk\omega_0)c_ke^{jk\omega_0t} }\]로 얻는다. 앞에서 두 성분에 대해 했던 계산을 모든 성분에 적용한 것이다.
이 계산은 주기 정상상태에 관한 것이다. $t=0$에 신호를 켠 경우의 전체 응답에는 초기조건을 맞추는 과도응답도 필요하다.
7.3 푸리에 변환: 주기가 없는 신호와 수렴 조건
이산적인 주파수의 합에서 연속적인 주파수의 적분으로
주기 신호의 성분은 $k\omega_0$라는 일정한 간격의 주파수에 놓인다. 비주기 신호를 다루는 푸리에 변환에서는 주파수가 연속적으로 변하며, 합 대신 적분으로 신호를 표현한다.
변환과 역변환이 성립하는 조건에서 쓰는 한 가지 규약은
\[X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt,\qquad x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega\]이다. 앞의 식은 각 주파수 성분을 분석하고, 뒤의 식은 그 성분을 다시 합쳐 신호를 복원한다. 분석할 때 음의 지수, 합성할 때 양의 지수가 들어가는 이유는 복소지수의 켤레와 직교성에 연결된다.
따라서 6.6절에서 $e^{j\omega t}$를 가정한 것과, 여기서 신호 전체를 푸리에 변환하는 것은 같은 작업이 아니다. 앞에서는 한 사인파에 대한 방정식을 풀었고, 여기서는 일반 신호의 여러 주파수 성분을 분석하는 도구를 도입한다.
합성곱과 주파수 응답의 연결
4.3절에서는 매개변수 변화법으로 입력을 적분하여 출력으로 바꾸는 식을 얻었다. 일반적인 LTI 시스템에서도 초기 상태가 0일 때, 필요한 적분이 존재하면
\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau\]라는 합성곱으로 출력을 표현한다. $h$는 임펄스 응답이다. 인과적 시스템과 $t<0$에서 0인 입력에 대해서는 적분 범위를 $0\leq\tau\leq t$로 줄일 수 있다.
이 식에 모든 시간에 걸친 입력 $x(t)=e^{j\omega t}$를 넣으면
\[\begin{aligned} y(t) &=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{j\omega(t-\tau)}\,d\tau\\ &=e^{j\omega t}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau}_{H(j\omega)} \end{aligned}\]이다. 이것이 복소지수가 입력되면 복소수 배율만 바뀐다는 성질의 적분 표현이다. $H(j\omega)$는 임펄스 응답의 푸리에 변환으로 정의된다. 시간영역에서 시스템을 나타내는 $h(t)$와 주파수영역에서 나타내는 $H(j\omega)$는 이렇게 연결된다.
일반 신호에 대해서는 합성곱 정리에 의해
\[\boxed{Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}\]가 된다. ‘모든 시간에 걸친 복소지수’와 ‘$t=0$부터 켠 복소지수’가 다른 입력이라는 점도 중요하다. 후자는 켜지는 순간의 과도응답을 포함한다.
왜 $s=j\omega$를 무조건 대입하면 안 된다고 하는가?
전달함수의 식에 값을 대입하는 대수 계산과, 그 값이 수렴하는 푸리에 적분을 나타내는지는 구분해야 한다. $h$의 양측 라플라스 변환에서 $s=\sigma+j\omega$의 허수축은 $\sigma=0$이다. 수렴영역이 허수축을 포함하면 라플라스 변환을 그 축에서 평가하여 푸리에 주파수 응답으로 연결할 수 있다.
앞의 안정한 인과적 RLC 회로에서는 이 조건이 성립한다. 하지만 예를 들어 인과적 임펄스 응답이 $h(t)=e^t$ ($t\geq0$), $h(t)=0$ ($t<0$)이면
\[H(s)=\frac1{s-1},\qquad \operatorname{Re}s>1\]이다. 식만 보면 $1/(j\omega-1)$를 계산할 수 있지만, 실제 적분 $\int_0^\infty e^te^{-j\omega t}\,dt$는 수렴하지 않는다. 따라서 이 대입 결과를 보통의 푸리에 변환이나 ‘과도응답이 사라진 뒤의 정상상태 배율’로 해석할 수 없다.
8. 풀이법 선택과 확인 문제
8.1 방법을 고르는 기준
| 문제의 특징 | 먼저 고려할 방법 |
|---|---|
| 2계 선형 동차방정식의 해 하나를 알고 있음 | 계수 낮추기 |
| 상계수 선형 동차방정식 | 특성방정식 |
| 상계수 비동차식, 다항식·지수·삼각함수 입력 | 미정계수법 |
| 동차해를 알고 있으나 입력이 미정계수법에 부적합 | 매개변수 변화법 |
| $x^2y^{\prime\prime}$, $xy^{\prime}$, $y$의 형태 | Cauchy–Euler, $x=e^z$ 치환 |
| 회로 스위칭과 불연속 입력 | 구간별 풀이, 이후 라플라스 변환 |
| 비선형 소자가 포함된 모델 | 동작점 선형화, 수치해석 등 |
풀이를 마친 뒤에는 독립인 상수의 개수, 전체 해의 초기조건, 원래 식의 잔차, 정의구간을 확인한다. 회로에서는 단위, 초기 전압·전류, DC 극한도 함께 확인한다.
8.2 확인 문제
문제 1. 중근과 초기조건
\[y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+9y=0,\qquad y(0)=2,\quad y^{\prime}(0)=-3\]특성근은 $r=-3$의 중근이다. $y=(C_1+C_2x)e^{-3x}$에서 $C_1=2$, $C_2-3C_1=-3$이므로
\[\boxed{y=(2+3x)e^{-3x}}\]이다.
문제 2. 공진 입력
\[y^{\prime\prime}+4y=\cos2x,\qquad y(0)=y^{\prime}(0)=0\]코사인·사인이 동차해에 있으므로 $x$를 곱한 가정을 사용한다. $y_p=(x/4)\sin2x$가 초기조건도 만족하여
\[\boxed{y=\frac{x}{4}\sin2x}\]이다. 입력은 유계지만 출력 진폭은 증가한다.
문제 3. Cauchy–Euler의 비동차식
\[x^2y^{\prime\prime}-xy^{\prime}+y=x^2,\qquad y(1)=0,\quad y^{\prime}(1)=0,\quad x>0\]5절의 일반해에 초기조건을 넣으면 $C_1=-1$, $C_2=-1$이므로
\[\boxed{y=x^2-x-x\ln x}\]이다.
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